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已知函数y=log2（1-x）的值域为（-∞，0），则其定义域是（ ）A．（-∞，1）B．C．（0，1）D．（1，+∞）
由题意结合对数函数的性质可得0＜1-x＜1，解此不等式可得．
∵函数y=log2（1-x）的值域为（-∞，0），
∴0＜1-x＜1，即-1＜x-1＜0，
解得0＜x＜1，故定义域为（0，1），
考点分析：
考点1：函数的定义域
考点2：函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．【解题方法点拨】（1）求函数的值域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．（2）函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．（3）运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型．
相关试题推荐
下列不等式成立的是（ ）A．B．log32＜log25＜log35C．loga2＜loga3＜loga4（a＞0，a≠1）D．
已知函数，则=（ ）A．B．C．-8D．8
设幂函数f（x）的图象经过点，设0＜a＜1，则f（a）与f（a-1）的大小关系是（ ）A．f（a-1）＜f（a）B．f（a-1）=f（a）C．f（a-1）＞f（a）D．不能确定
已知函数f（x）=xa，g（x）=ax，h（x）=logax（其中a＞0，a≠1）在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是（ ）A．B．C．D．
已知关于x的二次函数f（x）=3x2-2mx+log227在区间（-∞，2）上是单调函数，则m的取值范围是（ ）A．（-∞，-12]∪[6，+∞）B．[6，+∞）C．（0，+∞）D．（-∞，6]
题型：选择题
难度：中等
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& 【创新设计】2016秋高中数学湘教版必修1练习：第2章 指数函数、对数函数和幂函数 2.2.3 第2课时
【创新设计】2016秋高中数学湘教版必修1练习：第2章 指数函数、对数函数和幂函数 2.2.3 第2课时
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资料概述与简介
第2课时　对数函数的图象和性质的应用
[学习目标]　1.进一步加深理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质及其应用．
[知识链接]
　对数函数的图象和性质
a＞1 0＜a＜1
性质 定义域 (0，＋∞)
过定点 (1,0)，即当x＝1时，y＝0
单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
[预习导引]
形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质
(1)函数y＝logaf(x)的定义域须满足f(x)＞0.
(2)当a＞1时，函数y＝logaf(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝logaf(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．
解决学生疑难点
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要点一　对数值的大小比较
例1　比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln0.3，ln2；
(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；
(3)log30.2，log40.2；
(4)log3π，logπ3.
解　(1)因为函数y＝lnx是增函数，且0.3＜2，
所以ln0.3＜ln2.
(2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.
(3)方法一　因为0＞log0.23＞log0.24，所以＜，即log30.2＜log40.2.
方法二　如图所示
由图可知log40.2＞log30.2.
(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.
同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.
规律方法　比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．
1．若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
2．若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
3．若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大的规律画出函数的图象，再进行比较．
4．若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．
跟踪演练1　(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)
A．a＞c＞b　　　　　　　B．b＞c＞a
C．c＞b＞aD．c＞a＞b
(2)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则(　　)
A．a＞b＞cB．a＞c＞b
C．b＞a＞cD．c＞a＞b
答案　(1)D　(2)B
解析　(1)利用对数函数的性质求解．
a＝log32＜log33＝1；c＝log23＞log22＝1，
由对数函数的性质可知log52＜log32，∴b＜a＜c，故选D.
(2)a＝log23.6＝log43.62，函数y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数，3.62＞3.6＞3.2，所以a＞c＞b，故选B.
要点二　对数函数单调性的应用
例2　求函数y＝(1－x2)的单调增区间，并求函数的最小值．
解　要使y＝(1－x2)有意义，则1－x2＞0，
∴x2＜1，则－1＜x＜1，
因此函数的定义域为(－1,1)．令t＝1－x2，x∈(－1,1)．
当x∈(－1,0]时，x增大，t增大，y＝t减小，
∴x∈(－1,0]时，y＝(1－x2)是减函数；
同理当x∈[0,1)时，y＝(1－x2)是增函数．
故函数y＝(1－x2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值ymin＝(1－02)＝0.
规律方法　1.求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f(x)＞0，先求定义域．
2．求此类型函数单调区间的两种思路：(1)利用定义求证；(2)借助函数的性质，研究函数t＝f(x)和y＝logat在定义域上的单调性，从而判定y＝logaf(x)的单调性．
跟踪演练2　(1)函数f(x)＝|x|的单调递增区间是(　　)
A.B．(0,1]
C．(0，＋∞)
D．[1，＋∞)
(2)设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)
A．[－1,2]B．[0,2]
C．[1，＋∞)
D．[0，＋∞)
答案　(1)D　(2)D
解析　(1)f(x)＝
当x≥1时，t＝x是减函数，
f(x)＝－x是增函数．
∴f(x)的单调增区间为[1，＋∞)．
(2)f(x)≤2或0≤x≤1或x＞1，故选D.
要点三　对数函数的综合应用
例3　已知函数f(x)＝loga(a＞0且a≠1)，
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性和单调性．
解　(1)要使此函数有意义，
解得x＞1或x＜－1，
此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)f(－x)＝loga＝loga
＝－loga＝－f(x)．
又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，
∴f(x)为奇函数．
f(x)＝loga＝loga(1＋)，
函数u＝1＋在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减．所以当a＞1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减；当0＜a＜1时，f(x)＝loga在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增．
规律方法　1.判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．
2．求函数的单调区间有两种思路：(1)易得到单调区间的，可用定义法来求证；(2)利用复合函数的单调性求得单调区间．
跟踪演练3　已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a＞0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．
(1)求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若f(3)＝2，求使h(x)＜0成立的x的集合．
解　(1)∵f(x)＝loga(1＋x)的定义域为{x|x＞－1}，
g(x)＝loga(1－x)的定义域为{x|x＜1}，
∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x>－1}∩
{x|x＜1}＝{x|－1＜x＜1}．
函数h(x)为奇函数，理由如下：
∵h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)，
∴h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)
＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－h(x)，
∴h(x)为奇函数．
(2)∵f(3)＝loga(1＋3)＝loga4＝2，∴a＝2.
∴h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，
∴h(x)＜0等价于log2(1＋x)＜log2(1－x)，
∴解之得－1＜x＜0.
∴使得h(x)＜0成立的x的集合为{x|－1＜x＜0}.
1．函数y＝lnx的单调递增区间是(　　)
A．[e，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析　函数y＝lnx的定义域为(0，＋∞)，在(0，＋∞)上是增函数，故该函数的单调递增区间为(0，＋∞)．
2．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则(　　)
A．a＜c＜bB．b＜c＜a
C．a＜b＜cD．b＜a＜c
解析　∵1＝log55＞log54＞log53＞log51＝0，
∴1＞a＝log54＞log53＞b＝(log53)2.
又∵c＝log45＞log44＝1.∴c＞a＞b.
3．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．(1，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，2)
解析　由题意有解得1＜x≤2.
4．函数f(x)＝的值域为________．
答案　(－∞，2)
解析　当x≥1时，x≤1＝0，
∴当x≥1时，f(x)≤0.当x＜1时，0＜2x＜21，
即0＜f(x)＜2.因此函数f(x)的值域为(－∞，2)．
5．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
解析　要使y＝log5(2x＋1)有意义，则2x＋1＞0，
即x＞－，而y＝log5u为(0，＋∞)上的增函数，
当x＞－时，u＝2x＋1也为(－，＋∞)上的增函数，
故原函数的单调增区间是.
1.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性．若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a＞1和0＜a＜1两类分别求解．
2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.
一、基础达标
1．若集合A＝，则RA等于(　　)
A．(－∞，0]∪
C．(－∞，0]∪
解析　x≥，即x≥，
∴0＜x≤，即A＝，
∴RA＝.故选A.
2．设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则(　　)
A．a＞b＞c　　　　　　　B．a＞c＞b
C．b＞a＞cD．b＞c＞a
解析　a＝log3π＞1，
b＝log2＝log23∈，
c＝log3＝log32∈，
故有a＞b＞c.
3．函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是(　　)
A．0　　　　B．1C．2　　　　D．a
解析　∵0＜a＜1，∴f(x)＝logax在[a2，a]上是减函数，
∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2.
4．函数f(x)＝lg()是(　　)
A．奇函数B．偶函数
C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数
解析　f(x)定义域为R，
f(－x)＋f(x)
＝lg()＋lg()
＝lg＝lg1＝0，
∴f(x)为奇函数，选A.
5．函数y＝(－x2＋4x＋12)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－2,2)
D．(－2,6)
解析　y＝u，u＝－x2＋4x＋12.
令u＝－x2＋4x＋12＞0，得－2＜x＜6.
∴x∈(－2,2)时，u＝－x2＋4x＋12为增函数，
∵y＝u为减函数，
∴函数的单调减区间是(－2,2)．
6．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则不等式f(log4x)＜0的解集是________．
答案　{x|＜x＜2}
解析　由题意可知，f(log4x)＜0－＜log4x＜log44＜log4x＜log44＜x＜2.
7．已知f(x)＝(x)2－3x，x∈[2,4]．试求f(x)的最大值与最小值．
解　令t＝x，
则y＝t2－3t＝(t－)2－，
∵2≤x≤4，∴4≤x≤2，
即－2≤t≤－1.
可知y＝(t－)2－在[－2，－1]上单调递减．
∴当t＝－2时，y取最大值为10；
当t＝－1时，y取最小值为4.
故f(x)的最大值为10，最小值为4.
二、能力提升
8．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)
A．c＞b＞aB．b＞c＞a
C．a＞c＞bD．a＞b＞c
解析　a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，
b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，
c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，
∵log32＞log52＞log72，∴a＞b＞c，故选D.
9．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是(　　)
A．[1,2]B.C．[，2]
解析　∵f(a)＝f(－log2a)＝f(log2a)，
∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1)．
又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，
∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2.
∵f(x)是偶函数，∴f(log2a)≤f(－1)．
又f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，
∴－1≤log2a≤0，∴≤a≤1.
综上可知≤a≤2.
10．已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．
答案　{a|2＜a≤3}
解析　∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，
∴a的取值需满足
解得2＜a≤3.
11．讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
解　由3x2－2x－1＞0得函数的定义域为
则当a＞1时，
若x＞1，则u＝3x2－2x－1为增函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
若x＜－，则u＝3x2－2x－1为减函数．
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数．
当0＜a＜1时，
若x＞1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数；
若x＜－，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
三、探究与创新
12．已知x满足不等式：2(x)2＋7x＋3≤0，求函数f(x)＝·的最大值和最小值．
解　由2(x)2＋7x＋3≤0，
可解得－3≤x≤－，即≤x≤8，
∴≤log2x≤3.
∵f(x)＝(log2x－2)(log2x－1)
∴当log2x＝，即x＝2时，f(x)有最小值－.
当log2x＝3，即x＝8时，f(x)有最大值2.
∴f(x)min＝－，f(x)max＝2.
13．已知f(x)＝log2(x＋1)，当点(x，y)在函数y＝f(x)的图象上时，点在函数y＝g(x)的图象上．
(1)写出y＝g(x)的解析式；
(2)求方程f(x)－g(x)＝0的根．
解　(1)依题意
则g＝log2(x＋1)，
故g(x)＝log2(3x＋1)．
(2)由f(x)－g(x)＝0得，
log2(x＋1)＝log2(3x＋1)，
解得，x＝0或x＝1.
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