考点：勾股定理,全等三角形的判定,等边三角形的判定
专题：几何综合题,动点型
分析：（1）分别求出AP、AQ的长，根据等边三角形的判定推出即可；（2）根据已知分别求出AP、CP、AQ、CQ的长，根据全等三角形的判定推出即可；（3）根据勾股定理求出BC，根据已知得出方程2t-t=AB+BC，求出t的值即可．
解答：解：（1）△APQ是等边三角形，理由是：∵t=1，∴AP=3-1×1=2，AQ=2×1=2，∵∠A=60°，∴△APQ是等边三角形；（2）存在t=1.5，使△APQ≌△CPQ，理由如下：∵t=1.5s，∴AP=CP=1.5cm，∵AQ=3cm，∴AQ=AC．又∵∠A=60°，∴△ACQ是等边三角形，∴AQ=CQ，在△APQ和△CPQ中AQ=CQAP=CPPQ=PQ∴△APQ≌△CPQ；（3）在Rt△ABC中，BC=AB2-AC2=62-32=27，由题意得：2t-t=AB+BC，即t=6+27，∴点P运动的路程是（6+27）cm，∵3+6＜6+27＜3+6+27，∴第一次相遇在BC边上，又（9+27）-（6+27）=3，∴经过（6+27）秒点P与点Q第一次在边BC上距C点3cm处相遇．
点评：本题考查了勾股定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定的应用，题目是一道综合性比较强的题目，有一定的难度．
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科目：初中数学
如图1，已知双曲线y=，P是双曲线上一点，正方形PMNQ（点P、M、N、Q按逆时针排列）的顶点N在双曲线的另一个分支上（1）若点P的横坐标是2，求点N的坐标；（2）若改变点P的坐标，设直线PN的解析式为y=kx+b（k≠0），进行探究可得k=，若点P的横坐标是m，则b=；（用含m的代数式表示）（3）根据（2）中的规律，若点P的横坐标是-3，请在图2中画出相应的图形，并求出点N的坐标和点M的坐标．
科目：初中数学
七位评委对甲、乙两位歌手的评分（单位：分）如下表：
6请从平均分方面评析一下哪位歌手比较有实力．（计算平均分时，去掉一个最高分和一个最低分）
科目：初中数学
计算：（1）×（2）×（-）×（）
科目：初中数学
已知关于x的一元二次方程x2-（4m+1）x+3m2+m=0．（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围；（3）抛物线y=x2-（4m+1）x+3m2+m与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，当m取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求n的取值范围（直接写出答案即可）．
科目：初中数学
已知是方程组的解，求k和m的值．
科目：初中数学
定义[p，q]为一次函数y=px+q的特征数．（1）若特征数是[2，m+1]的一次函数为正比例函数，求m的值；（2）已知抛物线y=（x+n）（x-2）与x轴交于点A、B，其中n＞0，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且△OAC的面积为4，O为原点，求图象过A、C两点的一次函数的特征数．
科目：初中数学
如图：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过D作DE∥AC，交BC的延长线于E，BD与ED相等吗？请说明理由．
科目：初中数学
某队在足球联赛的5场比赛中得8分，这个队胜了几场，平了几场，负了几场？（足球联赛得分规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得O分）
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已知：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若CD=2，求BE的长．
题型：解答题难度：中档来源：北京期中题
1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠ADE+∠BDE=∠ADB=∠C+∠CAD，∠ADE=∠C，∴∠BDE=∠CAD．∴△BDE∽△CAD．（2）解：由（1）得．∵AB=AC=5，BC=8，CD=2，∴DB=BC﹣CD=6．∴．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分别为BC，AB边上一点..”主要考查你对&&相似三角形的判定，相似三角形的性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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相似三角形的判定相似三角形的性质
相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形。例如图中，若B'C'//BC，那么角B=角B'，角BAC=角B'A'C'，是对顶角，那么我们就说△ABC∽△AB'C'相似三角形的判定：1.基本判定定理(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。)(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。)(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），那么这两个三角形相似。2.直角三角形判定定理(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。3.一定相似：（1）.两个全等的三角形（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1：1）（2）.两个等腰三角形（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那么这两个等腰三角形相似。） （3）.两个等边三角形(两个等边三角形，三个内角都是60度，且边边相等，所以相似)　（4）.直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。相似三角形判定方法：证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。一、（预备定理）平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）二、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。三、如果两个三角形的两组对应边成比例，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。& 四、如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似五（定义）对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形六、两三角形三边对应垂直，则两三角形相似。七、两个直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，那么两三角形相似。八、由角度比转化为线段比：h1/h2=Sabc易失误比值是一个具体的数字如：AB/EF=2而比不是一个具体的数字如：AB/EF=2：1相似三角形性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.(9)不必是在同一平面内的三角形里①相似三角形对应角相等，对应边成比例.②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.③相似三角形周长的比等于相似比
定理推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
发现相似题
与“已知：如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分别为BC，AB边上一点..”考查相似的试题有：
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如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．(1)求证：AE＝BC；(2)如图(2)，过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0°＜α＜144°)得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′＝BF′；(3)在(2)的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．
主讲：杨朝粉
(1)证明：∵AB＝BC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝36°，∴∠BEC＝180°－∠C－∠CBE＝72°，∴∠ABE＝∠A，∠BEC＝∠C，∴AE＝BE，BE＝BC，∴AE＝BC．(2)证明：∵AC＝AB且EF∥BC，∴AE＝AF；由旋转的性质可知：∠E′AC＝∠F′AB，AE′＝AF′，∵在△CAE′和△BAF′中，∴△CAE′≌△BAF′，∴CE′＝BF′．(3)存在CE′∥AB，理由：由(1)可知AE＝BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径(圆弧)与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，如图：①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，∴∠BAM＝∠ABC＝72°，又∠BAC＝36°，∴α＝∠CAM＝36°．②当点E的像E′与点N重合时，由AB∥l得，∠AMN＝∠BAM＝72°，∵AM＝AN，∴∠ANM＝∠AMN＝72°，∴∠MAN＝180°－2×72°＝36°，∴α＝∠CAN＝∠CAM＋∠MAN＝72°．所以，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．
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京ICP备号 京公网安备分析：（1）取BC中点F，连接DE，DF．利用三角形中位线性质可知四边形DFCE是平行四边形，由已知中角的相等，利用等量相加和相等，可得∠PDF=∠QDE，DF∥AC，可得DFBF=ACAB，即DF=kDE（DE=BF=12BC），可证出△PDF∽△QDE．就有∠DFB=∠DEQ，又DE，BC平行可得∠DEQ=∠EHC，那么等量代换就有∠EHC=∠DFB=∠C，因此得证．（2）和（1）的证法相同．（3）连接AQ，利用已知条件可证出△DPQ∽△ACB，那么就有∠ABC=∠BAC，且∠DBQ=∠DQB，那么DB=DQ．能判定△ABQ是直角三角形，同样，△AQC也是直角三角形，HE是斜边上的高，所以就有EH=12AC．解答：解：结论：EH=12AC．（1分）证明：取BC边中点F，连接DE、DF．（2分）∵D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点．∴DE∥BC且DE=12BC，DF∥AC且DF=12AC，（4分）EC=12AC∴四边形DFCE是平行四边形．∴∠EDF=∠C．∵∠C=∠PDQ，∴∠PDQ=∠EDF，∴∠PDF=∠QDE．（6分）又∵AC=kBC，∴DF=kDE．∵DP=kDQ，∴DPDQ=DFDE=k．（7分）∴△PDF∽△QDE．（8分）∴∠DEQ=∠DFP．（9分）又∵DE∥BC，DF∥AC，∴∠DEQ=∠EHC，∠DFP=∠C．∴∠C=∠EHC．（10分）∴EH=EC．（11分）∴EH=12AC．（12分）选图2．结论：EH=12AC．（1分）证明：取BC边中点F，连接DE、DF．（2分）∵D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，∴DE∥BC且DE=12BC，DF∥AC且DF=12AC，（4分）EC=12AC，∴四边形DFCE是平行四边形．∴∠EDF=∠C．∵∠C=∠PDQ，∴∠PDQ=∠EDF，∴∠PDF=∠QDE．（6分）又∵AC=BC，∴DE=DF，∵PD=QD，∴△PDF≌△QDE．（7分）∴∠DEQ=∠DFP．∵DE∥BC，DF∥AC，∴∠DEQ=∠EHC，∠DFP=∠C．∴∠C=∠EHC&（8分）∴EH=EC．（9分）∴EH=12AC．（10分）选图3．结论：EH=12AC．（1分）证明：连接AH．（2分）∵D是AB中点，∴DA=DB．∵AC=kBC，DP=kDQ，∴ACBC=DPDQ=k，又∵∠C=∠PDQ，∴△ACB∽△PDQ，∴∠ABC=∠PQD，∴DB=DQ，∴DQ=DP=AD，∵∠DBQ+∠DQB+∠DQA+∠DAQ=180°，∴∠AQB=90°，∴AH⊥BC．（4分）又∵E是AC中点，∴HE=12AC．（6分）点评：本题利用了三角形中位线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识．
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科目：初中数学
23、如图1，在△ABC和△DEF中，AC∥DE，∠EFD与∠B互补，DE=kAC（k＞1）．试探索线段EF与AB的数量关系，并证明你的结论．说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取k=1（图2）来证明，此时满分7分．
科目：初中数学
（;济南）（1）如图1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且点B，C，E在一条直线上．求证：∠A=∠D．（2）如图2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的长．
科目：初中数学
数学活动课上，甲、乙两位同学在研究一道数学题：“已知：如图1，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，∠B=50°，∠E=32°，且BC=EF．试画直线m，l，使直线m将△ABC分成的两个小三角形与直线l将△DEF分成的两个小三角形分别相似，并标出每个小三角形各内角的度数．”甲同学是这样做的：如图2，使得两个直角三角形的斜边重合，以斜边中点0为圆心，OB长为半径作出辅助圆，根据到定点的距离等于定长的点在圆上，可知A、B（E）、C（F）、D在⊙0上．设BD所在的直线m与AC所在的直线l交于点G，根据同弧所对的圆周角相等，由∠ABC=50°，∠DEF=32°，易求得∠ABG=DFG=18°，再由∠A=∠D=90°，可求得∠AGB=∠DGF=72°，∠GCB=40°，∠BGC=108°，从而△AGB∽△DGF．△GBC∽△GEF．乙同学在甲同学的启发下，利用辅助圆又补充了其它分割方法．你看明白甲同学的分割方法了吗？请你仿照甲同学的方法，把这道题其它的所有分割方法补充完整．要求：不需写解答过程．如图2所示．利用辅助圆画出示意图，标明直线及每个小三角形各内角的度数即可．
科目：初中数学
如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．（1）试说明CF=CH；（2）如图2，△ABC不动，将△EDC从△ABC的位置绕点C顺时针旋转，当旋转角∠BCD为多少度时，四边形ACDM是平行四边形，请说明理由；（3）当AC=时，在（2）的条件下，求四边形ACDM的面积．
科目：初中数学
如图1，在△ABC和△DBE中，AB=AC，DB=DE，∠CAB+∠BDE=180°，∠CAB=α，P为CE的中点，连接AP、DP．若α=120°，探究线段AP、DP的关系．说明：如果你经过反复探索没有解决问题，可以更改条件将“α=120°”改为“α=90°”，选取图2完成证明得10分．
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作业讨论群：知识点梳理
判定：&&(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。&&(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。&&(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。&&(4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)&&(5)直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”)&所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。性质：&&(1)的对应角相等。&&(2)全等三角形的对应边相等。&&(3)全等三角形的对应边上的高对应相等。&&(4)全等三角形的对应角的角平分线相等。&&(5)全等三角形的对应边上的中线相等。&&(6)全等相等。&&(7)全等三角形周长相等。&&(8)全等三角形的对应角的相等。
1.定义：三边相等的三角形叫做，也称。等边三角形与的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。 2.等边三角形的性质：(1)等边三角形的内角都相等，且为60度 (2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一) (3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线 3.等边三角形的性质： (1)等边三角形的内角都相等，且为60度 (2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一) (3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知：如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°...”，相似的试题还有：
如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜180°)，得到△AB′C′(如图2)．(1)探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；(2)当DB′∥AE时，试求旋转角α的度数．
已知△ABC是等边三角形．(1)将△ABC绕点A逆时针旋转角θ(0°＜θ＜180°)，得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．&&&&&&&①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等？_____(填“是”或“否”)，∠BOE=_____度；②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；(2)如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB=\sqrt{3}AB′，AC=\sqrt{3}AC′，连接B′C′，将△AB′C′绕点A逆时针旋转角(0°＜θ＜180°)，得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜180°)，得到△AB′C′(如图②)．(1)探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；(2)当DB′∥AE时，求此时旋转角α的度数；(3)如图③，在旋转过程中，设&AC′与DE所在直线交于点P，当△ADP成为等腰三角形时，求此时的旋转角α的度数．(直接写出结果)