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用空间向量解决空间几何的问题讲义
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空间向量与立体几何期末复习题（含解析新人教A版选修2-1）
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
空间向量与立体几何期末复习题（含解析新人教A版选修2-1）
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文 章来源莲山 课件 w ww.5 Y
空间向量与立体几何期末复习题（含解析新人教A版选修2-1）(时间：100分钟　满分：120分)一、(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，如果a与b为共线向量，则&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)．A．x＝1，y＝1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B．x＝12，y＝－12C．x＝16，y＝－32&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．x＝－16，y＝32解析　∵a＝(2x，1，3)与b＝(1，－2y，9)共线，故有2x1＝1－2y＝39，∴x＝16，y＝－32.答案　C2．已知a＝3i＋2j－k，b＝i－j＋2k，则5a与3b的数量积等于&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)．A．－15&&&&&&&&& B．－5&&&&&&&&&&&& C．－3&&&&&&&&&&&&& D．－1解析　a＝(3，2，－1)，b＝(1，－1，2)，∴5a•3b＝15a•b＝－15.答案　A3．已知a•b＝0，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)•(λa－b)＝0，则λ等于&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)．A.32&&&&&&&&&&&&& B．－32&&&&&&&&&&&&& C．±32&&&&&&&&&&&&& D．1解析　由a•b＝0及(3a＋2b)•(λa－b)＝0，得3λa2＝2b2，又|a|＝2，|b|＝3，所以λ＝32，故选A.答案　A4．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是&&&&&&&&&&&&& (　　)．A．2a，a－b，a＋2b&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B．2b，b－a，b＋2aC．a，2b，b－c&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．c，a＋c，a－c解析　不共面的三个向量才可以构成基底，A中，a＋2b＝32(2a)＋(－2)(a－b)，三个向量共面：B中，b＋2a＝32(2b)＋(－2)(b－a)，三个向量共面；D中，a＋c＝2c＋(a－c)，三个向量共面；只有C中的三个向量不共面．答案　C5．空间直角坐标系中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)．A．平行&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B．垂直C．相交但不垂直&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．无法确定解析　∵AB→＝(－2，－2，2)，CD→＝(1，1，－1)，又∵AB→＝－2CD→∴AB→∥CD→，即AB∥CD.答案　A6．已知a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，则下列结论正确的是&&&&&&&&&&&&&& (　　)．A．a•b＝b•c&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B．|a|＝|b＋c|C．|a＋b－2c|＝5&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．a＋c＝b解析　对于A：a•b＝2×2－3×0＋1×3＝7，b•c＝2×0＋0×0＋3×2＝6故A错．对于B：|a|＝4＋9＋1＝14，|b＋c|＝22＋02＋52＝29，故B错．对于C：a＋b－2c＝(4，－3，0)．∴|a＋b－2c|＝5.故C正确．答案　C7．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是&&&&& (　　)．A.5&&&&&&&&&& B．45&&&&&&&&&& C．35&&&&&&&&&&& D．25解析　如图所示，以BC边上的垂线为y轴，建立空间直角坐标系，则PD的长即为所求，由A(0，0，0)，P(0，0，8)，D(0，4，0)，则|PD→|＝42＋（－8）2＝45.答案　B8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是(　　)．A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．向量AD→与CB1→的夹角为60°解析　以D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则有A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)．BD→＝(－1，－1，0)，AC1→＝(－1，1，1)，CD1→＝(0，－1，1)，B1D1→＝(－1，－1，0)，CB1→＝(1，0，1)．对于选项A.由B1D1→＝BD→知结论正确；对于选项B，由AC1→•BD→＝(－1，1，1)•(－1，－1，0)＝0知结论正确；对于选项C，由选项B，再由AC1→•B1C→＝(－1，1，1)•(－1，0，－1)＝0知结论正确；对于选项D，由cos〈AD→，CB1→〉＝ ＝－22，知结论不正确．答案　D9．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)．A.π6&&&&&&&&& B.π4&&&&&&&&&& C.π3&&&&&&&&&& D.π2解析　以A为坐标原点，AC、AB、AA1所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝AB＝AC＝2，则AM→＝(0，2，1)，Q(1，1，0)，P(1，0，2)，QP→＝(0，－1，2)，所以QP→•AM→＝0，所以QP与AM所成角为π2.答案　D10．已知OA→＝(1，2，3)，OB→＝(2，1，2)，OP→＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当QA→•QB→取得最小值时，点Q的坐标为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (　　)．A．(12，34，13)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B．(12，32，34)C．(43，43，83)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D．(43，43，73)解析　设Q(x，y，z)，因Q在OP→上，故有OQ→∥OP→，可得：x＝λ，y＝λ，z＝2λ，则Q(λ，λ，2λ)，QA→＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB→＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA→•QB→＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－43)2－23，故当λ＝43时，QA→•QB→取最小值，此时Q(43，43，83)，故选C.答案　C二、题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)11．若a＝(2，－3，5)，b＝(－3，1，－4)，则|a－2b|＝________．解析　因为a－2b＝(8，－5，13，)，所以|a－2b|＝82＋（－5）2＋132＝258.答案　25812．已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，1，1)是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________．解析　OM→•e＝(x，y，z)&#，1)＝x＋y＋z＝0.答案　x＋y＋z＝013．设a，b是直线，α，β是平面，a⊥α，b⊥β，向量a1在a上，向量b1在b上，a1＝(1，1，1)，b1＝(－3，4，0)，则α，β所成二面角中较小的一个的余弦值为________．解析　由题意，cos θ＝|cos〈a1，b1〉|＝|a1•b1||a1||b1|＝（1，1，1）•（－3，4，0）3&#5.答案　31514．已知四面体顶点A(2，3，1)、B(4，1，－2)、C(6，3，7)和D(－5，－4，8)，则顶点D到平面ABC的距离为______．解析　设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)则n•AB→＝0，n•AC→＝0，即（x，y，z）•（2，－2，－3）＝0，（x，y，z）•（4，0，6）＝0.∴2x－2y－3z＝0，4x＋6z＝0⇒y＝2x，z＝－23x，令x＝1，则n＝(1，2，－23)，AD→＝(－7，－7，7)，故所求距离为|AD→•n||n|＝|－7－14－143|1＋4＋49＝11.答案　11三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15．(10分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1，2)，B(1，2，－1)，C(－1，1，－3)，D(3，－5，3)．求证：四边形ABCD是一个梯形．证明　因为AB→＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)，CD→＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)，因为－24＝3－6＝－36，所以AB→和CD→共线，即AB∥CD.又因为AD→＝(3，－5，3)－(3，－1，2)＝(0，－4，1)，BC→＝(－1，1，－3)－(1，2，－1)＝(－2，－1，－2)，因为0－2≠－4－1≠1－2，所以AD→与BC→不平行，所以四边形ABCD为梯形．16．(10分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.(1)证明：AC⊥BC1；(2)求二面角C1&AB&C的余弦值大小．解　直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，故AC，&&&& BC，CC1两两垂直，建立空间直角坐标系(如图)，则C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)．&(1)证明　AC→＝(－3，0，0)，BC1→＝(0，－4，4)，∴AC→•BC1→＝0.故AC⊥BC1.(2)平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，设平面C1AB的一&& 个法向量为n＝(x，y，z)，AC1→＝(－3，0，4)，AB→＝(－3，4，0)，由n•AC1→＝0，n•AB→＝0.得－3x＋4z＝0，－3x＋4y＝0，令x＝4，则y＝3，z＝3.n＝(4，3，3)，故cos〈m，n〉＝334＝33434.即二面角C1－AB－C的余弦值为33434.17．(10分)已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB→，b＝AC→.(1)求a和b的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．解　a＝AB→＝(－1，1，2)－(－2，0，2)＝(1，1，0)，b＝AC→＝(－3，0，4)－(－2，0，2)＝(－1，0，2)．(1)cos θ＝a•b|a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a与b的夹角θ的余弦值为－1010.(2)ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k，k，0)－(－2，0，4)＝(k＋2，k，－4)，∴(k－1，k，2)•(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.即2k2＋k－10＝0，∴k＝－52或k＝2.18．(12分)如图，M，N分别是空间四边形ABCD的棱AB，CD的中点，试判断向量MN→与向量AD→，BC→是否共面．解　根据图形可以得到MN→＝MA→＋AD→＋DN→，①MN→＝MB→＋BC→＋CN→.②由已知得MA→＝－MB→，DN→＝－CN→.所以①＋②得2MN→＝AD→＋BC→，即MN→＝12AD→＋12BC→.故向量MN→与向量AD→，BC→共面．19．(12分)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，(1)求证：B1D⊥平面ABD；(2)求证：平面EGF∥平面ABD；(3)求平面EGF与平面ABD的距离．&(1)证明　如图所示，建立空间直角坐标系，设A1(a，0，0)，则C1(0，2，0)，F(0，1，0)，E(0，0，1)，&&&&&&&&&&& A(a，0，4)，B(0，0，4)，D(0，2，2)，G(a2，1，0)．∴B1D→＝(0，2，2)，AB→＝(－a，0，0)，BD→＝(0，2，－2)，∴B1D→•AB→＝0＋0＋0＝0，B1D→•BD→＝0＋4－4＝0.∴B1D⊥AB，B1D⊥BD.又AB∩BD＝B，∴B1D⊥平面ABD.(2)证明　∵AB→＝(－a，0，0)，BD→＝(0，2，－2)，GF→＝(－a2，0，0)，EF→＝(0，1，－1)，∴GF→∥AB→，EF→∥BD→，∴GF∥AB，EF∥BD.又GF∩EF＝F，AB∩BD＝B，∴平面EGF∥平面ABD.(3)解　由(2)知平面EGF与平面ABD的距离即为点D到平面EGF的距离由(1)(2)知平面EGF的法向量为B1D→＝(0，2，2)，又ED→＝(0，2，1)，∴所求距离d＝|ED→•B1D→||B1D→|＝322.
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没有相关试题上一个试题： 下一个试题：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?向量 空间几何题目,三维空间坐标系中有向量A,B,C.均过原点.B与AC所在平面垂直.向量A与地面夹角为a,向量B与地面夹角为b,向量C与地面夹角为c.请用abc表示向量A与向量C夹角
cos=cosc*cosb-cosc*cosa 由于向量方向问题,还需最后用目测确定是钝角还是锐角.这应该是最小角定理
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你可能喜欢高等代数 向量与空间解析几何为什么a和b相加和相减就可以得到对角线呢?
■暗灵团■0609
你好,这是向量的基础知识,即三角形法则和平行四边形法则如果你连这个都不清楚,怎么做向量的题目呢?还涉及外积在以a和b为邻边的平行四边形中,一条对角线是：a-b这是向量的减法：差向量a-b由被减去向量b的终点指向被减向量a的终点另一条对角线是a+b,这是向量的加法：将要加的向量b起点放置在被加向量a的终点上,由被加向量a的起点指向被加上向量b的终点的向量就是和向量a+b要多看看教材了
又遇上你了....什么叫外积?
你上面的：l1×l2就是外积，就向量积、叉乘
你所说的a-b是当a和b起点相同时的一对角线,a+b是当a和b首尾相连时的一对角线...我疑惑的是题目不是要求知道这个平行四边形的两条对角线才可以求吗??可是按你所说的每次a和b的情况不同得出的对角线,好像都是同一条对角线,只是方向不同>
怎么会是同一条呢？
a-b是b的终点到a的终点
a+b是和a、b有相同的起点
将b平移后，与a尾首相连就是了
自己画个图看看就很清楚了
另外，我回答过你很多问题吗？
谢谢,自己太死脑经了....目前为止两条而已......再请教/question/.html
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