函数f(x)=2acos^2 x+bsinxcosx满足f(0)=2,f(п/3)=1/2+√3/2求：若α,β∈（0,п）,f(α)=f(β)且α≠β.求tan(α+β)的值.
tan(α+β)=-1；过程见图
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2012版步步高高考数学考前三个月专题复习课件9（2）： 题型突破
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* 二、解答题热点聚焦 我们认真分析近几年各省市高考数学试题，虽略有差别，但总体上高考五至六个解答题的模式基本不变，分别为三角函数与平面向量型解答题、立体几何型解答题、排列组合、二项式定理及概率型解答题、函数与不等式型解答题、解析几何型解答题、数列型解答题．这是高考数学的重头戏，这部分内容包含的知识容量大、解题方法多、综合能力要求高，它们突出了中学数学的主要思想和方法，考查了考生的创新能力和创新意识．解题是要有方法的．学会运用数学思想方法去自觉地分析问题，弄清题意，善于转化，能够将面对的新问题拉入自己的知识网络里，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现学习效率的最优化．美国著名数学教育家波利亚在名著《怎样解题》里，把数学解题的一般思维过程划分为：弄清问题→拟订计划→实现计划→回顾．这是数学解题的有力武器，对怎样解答高考数学题有直接的指导意义．§1　三角函数[考情解读]　三角函数、平面向量和三角形中的正、余弦定理相互交织，是高考中考查的热点．纵观近几年来的高考试题，许多新颖别致的三角函数解答题就是以此为出发点设计的，在这类问题中平面向量往往只是起到“包装”的作用，实质考查考生利用三角函数的性质、三角恒等变换与正、余弦定理进行解决问题的能力．解决这类问题的基本思路是“脱掉向量的外衣，抓住问题的实质，灵活地实现问题的转化，选择合理的解决方法”，在解题过程中要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，做到推理严谨、计算准确、表达确切，为顺利解答后面的题目提供充分的信心．分类突破热点一　三角函数图象及性质例1　已知函数f(x)＝cos2(x＋)，g(x)＝1＋sin 2x.(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．[规范解答示例]解　(1)由题设知f(x)＝[1＋cos(2x＋)]．因为x＝x0是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，所以2x0＋＝kπ(k∈Z)，即2x0＝kπ－(k∈Z).2分所以g(x0)＝1＋sin 2x0＝1＋sin(kπ－)．当k为偶数时，g(x0)＝1＋sin(－)＝1－＝；当k为奇数时，g(x0)＝1＋sin＝1＋＝.6分(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝[1＋cos(2x＋)]＋1＋sin 2x＝[cos(2x＋)＋sin 2x]＋＝(cos 2x＋sin 2x)＋＝sin(2x＋)＋.……………………………………………12分当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数h(x)＝sin(2x＋)＋是增函数．故函数h(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z).14分构建答题模板第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角”、“一次”、“一函数”．第二步：由三角函数值求角；由角求三角函数值．第三步：由sin x、cos x的单调性，将“ωx＋φ”看作一个整体，转化为解不等式问题．第四步：明确规范表述结论．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．如本题中，由x0求g(x0)时，由于x0中含有变量k，应对k的奇偶进行讨论．[归纳拓展]　函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体，然后类比y＝sin x，即可求得结果．易错点是忽视当ω<0时，单调性与原来相反．热点二　三角函数与正余弦定理例2　在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a2＋c2－b2＝ac.(1)求2sin2＋sin 2B的值；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．[规范解答示例]解　(1)由已知条件及余弦定理得：cos B＝＝＝，sin B＝，2分∴2sin2＋sin 2B＝1－cos(A＋C)＋sin 2B＝1＋cos B＋2sin Bcos B＝1＋＋2??＝.………………………………………6分(2)∵b＝2，∴a2＋c2＝ac＋4，8分又∵a2＋c2≥2ac，∴2ac≤ac＋4，∴ac≤5，12分∴S△ABC＝acsin B≤?5?＝2，∴△ABC面积的最大值为2.14分构建答题模板第一步：实现边角互化．(本题边化角)第二步：三角变换，化简、消元，从而向已知角转化．第三步：代入求值．第四步：反思回顾，检查公式是否用错．[归纳拓展]　在处理边角关系时要灵活运用正、余弦定理，把题设中的角或边统一，因此边角条件在整合时要灵活，细心到位．热点三　三角函数与平面向量例3 在锐角△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且(tan A－tan B)＝1＋tan A?tan B．又已知向量m＝(sin A，cos A)，n＝(cos B，sin B)，求|3m－2n|的取值范围．[规范解答示例]　　因为(tan A－tan B)＝1＋tan A?tan B，所以＝，即tan (A－B)＝.2分又△ABC为锐角三角形，则0<A<，0<B<.所以－<A－B<.所以A－B＝.又|3m－2n|2＝9m2＋4n2－12m?n＝13－12sin(A＋B)＝13－12sin(2B＋)，6分因为0<C＝π－A－B<，0<A＝＋B<，所以<B<，<2B＋<.10分所以sin(2B＋)∈(，1)，所以|3m－2n|2∈(1,7)．所以|3m－2n|的取值范围是(1，).14分[易错提醒]　本题中的△ABC为锐角三角形应该是三角形的三个内角都是锐角，容易只考虑角B是锐角的情况．在利用正余弦定理解决有关三角形中的问题和实际应用问题时，由于思维不够缜密或理解不透等原因造成失分，是非常可惜的，所以在平时的解题训练中要注意思维的提升训练．[归纳拓展]　本题主要考查了三角形中的三角函数与平面向量等问题，考查了知识的本源，这样就紧扣教材这个纲．向量与三角的结合一直是高考命题的热点，这之中既体现了向量的“包装”作用，也体现了向量的工具作用，同时，正弦定理、余弦定理是处理三角形中的问题的核心工具．仿真模拟演练1．已知向量a＝(2sin x，cos x)，b＝(cos x,2cos x)，定义函数f(x)＝a?b－1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调减区间；(3)在下面坐标轴上画出函数g(x)＝f(x)，x∈的图象，由图象研究并写出g(x)的对称轴和对称中心．解　f(x)＝a?b－1＝2sin xcos x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)．(1)T＝＝π.(2)2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋2kπ＋≤2x≤2kπ＋kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函数f(x)的单调减区间为(k∈Z)．(3)x－－－2x＋－π－0πy0－2020从图象上可以直观看出，此函数有一个对称中心(－，0)，无对称轴．2．函数f(x)＝cos(－)＋sin(π－)，x∈R.(1)求f(x)的周期；(2)求f(x)在[0，π)上的减区间；(3)若f(α)＝，α∈(0，)，求tan(2α＋)的值．解　(1)f(x)＝cos(－)＋sin(π－)＝sin ＋cos ＝sin(＋) ，∴f(x)的周期T＝＝4π.(2)由＋2kπ≤＋≤π＋2kπ，k∈Z，得＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z.令k＝0，得≤x≤；令k＝－1，得－≤x≤－π(舍去)，又x∈[0，π)，∴f(x)在[0，π)上的减区间是.(3)由f(α)＝，得sin ＋cos ＝.∴1＋sin α＝，∴sin α＝.又α∈(0，)，∴cos α＝＝＝，∴tan α＝＝，∴tan 2α＝＝＝，∴tan(2α＋)＝＝＝－.3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 cos A＝，b＝5c.(1)求sin C的值；(2)求sin (2A＋C)的值；(3)若△ABC的面积S＝sin Bsin C，求a的值．解　(1)因为a2＝b2＋c2－2bccos A＝26c2－10c2×＝18c2，所以a＝3c.因为cos A＝，0<A<，所以sin A＝.又＝，所以sin C＝＝＝.(2)因为c<a，所以C为锐角，所以cos C＝＝.因为sin 2A＝2sin Acos A＝2××＝，cos 2A＝2cos2A－1＝2×－1＝，所以sin(2A＋C)＝sin 2Acos C＋cos 2Asin C＝×＋×＝.(3)由题知S＝sin Bsin C＝acsin B．又a＝3 c，sin C＝，则a＝.4．已知A、B、C为锐角△ABC的三个内角，向量m＝(2－2sin A，cos A＋sin A)，n＝(1＋sin A，cos A－sin A)，且m⊥n.(1)求A的大小：(2)求y＝2sin2B＋cos (－2B)取最大值时B的大小．解　(1)∵m⊥n，∴(2－2sin A)(1＋sin A)＋(cos A＋sin A)(cos A－sin A)＝0，即2(1－sin2A)＝sin2A－cos2Acos2A＝，∵△ABC是锐角三角形，∴cos A＝，∴A＝.(2)∵△ABC是锐角三角形，且A＝，∴<B<，y＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos 2B－cos 2B＋sin 2B＝sin (2B－)＋1，当2B－＝，即B＝时，y取最大值．5．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<，－<β<0，且sin β＝－，求sin α的值．解　(1)∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，∴a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，∵|a－b|＝，∴＝，即2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝.(2)∵0<α<，－<β<0，∴0<α－β<π.∵cos (α－β)＝，∴sin(α－β)＝.∵sin β＝－，∴cos β＝.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝.6．已知△ABC的周长为6，角A，B，C所对的边a，b，c成等比数列．(1)求角B及边b的最大值；(2)设△ABC的面积为S，求S＋的最大值．解　(1)∵a＋b＋c＝6，b2＝ac，∴cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c时取等号，故角B有最大值.又b＝≤＝，当且仅当a＝c时取等号，从而b≤2，即b有最大值2.(2)∵S＝acsin B＝b2sin B，∴由(1)知，当B＝，b＝2时，S有最大值.∵?＝accos B＝＝＝＝－(b＋3)2＋27.∴＝≤，当且仅当b＝2时取等号．∴S＋的最大值为＋.2012版步步高高考数学考前三个月专题复习课件9（2）： 题型突破--博才网
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