已知函数．（1）设a=1，讨论f（x）的单调性；（2）若对任意的，都有f（x）＜-2，求实数a的取值范围．
（1）当a=1时，，其定义域为（0，+∞）．f′（x）=2-1x＝1-lnx-xx2．设g（x）=1-x-lnx（x＞0），则g′（x）=-1-＜0，所以g（x）在（0，+∞）上是减函数，又g（1）=0，于是x∈（0，1）时，g（x）＞0，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0．所以f（x）的增区间是（0，1），减区间是（1，+∞）．（2）由f（x）＜-2可得，由于，则lnx＜0，于是．令，则h′（x）=1-2x=2+1ln2x，当x∈（0，）时，h′（x）＞0，于是h（x）在上单调递增，因此h（x）在上的最大值为，因此要使f（x）＜-2恒成立，应有．故实数a的取值范围是．
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（1）当a=1时，先求出f′（x），然后解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．（2）本题属于恒成立问题，转化为函数最值问题，利用导数求出最值即可求得．
本题考点：
利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．
考点点评：
本题考查了如何利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，转化为求函数最值问题是解决不等式恒成立的常用方法．
扫描下载二维码本题难度：0.45&&题型：计算题
已知函数f（x）=xlnx+ax-x2（a∈R）．（1）若函数f（x）在[e，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞-x2+（k+a-1）x-k恒成立，求正整数k的值．
来源：2016o宜宾模拟 | 【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．
已知函数f（x）=xlnx+ax+b在点（1，f（1））处的切线为3x-y-2=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若k∈Z，且存在x＞0，使得k＞成立，求k的最小值．
已知函数f（x）=xlnx，则下列说法正确的是（　　）
A、f&（x）在（0，+∞）上单调递增B、f&（x）在（0，+∞）上单调递减C、f&（x）在（0，）上单调递增D、f&（x）在（0，）上单调递减
已知函数f（x）=-，设其在x0处有最大值，则下列说法正确的是（　　）
A、f（x0）＞B、f（x0）＜C、f（x0）=D、f（x0）与的大小关系不确定
已知函数f（x）=xex，则f′（x）等于（　　）
A、exB、xexC、ex（x+1）D、xlnx
已知函数f（x）=xlnx，则下列说法正确的是（　　）
A、f（x）在（0，+∞）上单调递增B、f（x）在（0，+∞）上单调递减C、f（x）在（0，）上单调递增D、f（x）在（0，）上单调递减
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“已知函数f（x）=xlnx+ax-x2（a∈R）．（1）若函数f（x）在[e，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞-x2+（k+a-1）x-k恒成立，求正整数k的值．”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数利用函数f（x）在区间[e+∞）&nbsp上为减函数f′（x）≤0即lnx+1+a-2x≤0在区间[e+∞）上恒成立推出a≤2x-lnx-1在x∈[e+∞）&nbsp上恒成立．构造新函数求出新函数的最小值推出结果．（Ⅱ）若对任意x∈（1+∞）f（x）＞-x2+（k+a-1）x-k恒成立转化为k（x-1）＜xlnx+x恒成立．法一：问题转化为k＜xlnx+xx-1&nbsp对任意x∈（1+∞）恒成立构造新函数求解新函数的最小值然后求解k的值为123．&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp…（14分）法二令g（x）=f（x）-[（k+a-1）x-k]求出函数的导数通过当2-k≥0时导数的符号求解k．当2-k＜0时即k＞2时求解k．即可．
【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx+ax-x2（a∈R）可知x＞0有：f′（x）=lnx+1+a-2x∵函数f（x）在区间[e+∞）&nbsp上为减函数∴当x∈[e+∞）时f′（x）≤0即lnx+1+a-2x≤0在区间[e+∞）上恒成立…（2分）∴a≤2x-lnx-1在x∈[e+∞）&nbsp上恒成立．令g（x）=2x-lnx-1g′(x)=2-1x=2x-1x当x∈[12+∞)时g′（x）≥0g（x）单增&nbspx∈(012]时g′（x）≤0g（x）单减．∴x∈[e+∞）时g（x）min=g（e）=2e-2∴a≤2e-2．&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp…（5分）（Ⅱ）若对任意x∈（1+∞）f（x）＞-x2+（k+a-1）x-k恒成立即k（x-1）＜xlnx+x恒成立．法一：∵x∈（1+∞）∴x-1＞0．则问题转化为k＜xlnx+xx-1&nbsp对任意x∈（1+∞）恒成立…（7分）设函数h(x)=xlnx+xx-1则h′(x)=x-lnx-2(x-1)2再设m（x）=x-lnx-2则m′(x)=1-1x．∵x∈（1+∞）∴m'（x）＞0则m（x）=x-lnx-2在x∈（1+∞）上为增函数∵m（3）=1-ln3＜0m（4）=2-ln4＞0∴?x0∈（34）使m（x0）=x0-lnx0-2=0．∴当x∈（1x0）时m（x）＜0h（x）＜0当x∈（x0+∞）时m（x）＞0h（x）＞0&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp…（10分）∴h(x)=xlnx+xx-1在x∈（1x0）上递减在x∈（x0+∞）上递增．∴h（x）的最小值为h(x0)=x0lnx0+x0x0-1．∵m（x0）=x0-lnx0-2=0∴ln（x0）+1=x0-1代入函数h(x0)=x0lnx0+x0x0-1得h（x0）=x0∵x0∈（34）且k＜h（x）对任意x∈（1+∞）恒成立∴k＜h（x）min=x0∴k≤3∴k的值为123．&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp…（14分）法二（同比例给分）：令g（x）=f（x）-[（k+a-1）x-k]=xlnx-（k-1）x+k（x＞1）∴g′（x）=lnx+1-（k-1）=lnx+2-k当2-k≥0时即k≤2时g′（x）＞0g（x）在（12）上单调递增∴g（x）＞g（1）=1＞0恒成立而k∈N*∴k=1或k=2．当2-k＜0时即k＞2时g′（x）=0=>x=ek-2∴g（x）在（1ek-2）上单调递减在（ek-2+∞）上单调递增∴g(x)min＞g(ek-2)=ek-2(k-2)-(k-1)ek-2+k=k-ek-2＞0恒成立∴k＞ek-2而k∈N*∴k=3．综上可得k=1或k=2或k=3时成立．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．
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知识点讲解
经过分析，习题“已知函数f（x）=xlnx+ax-x2（a∈R）．（1）若函”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
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作业互助QQ群：(小学)、(初中)、(高中)设函数f(x)=ax²-xlnx-(2a-1)x+a-1(a属于R) 0时,f设函数f(x)=ax²-xlnx-(2a-1)x+a-1(a属于R)1.当a=0时,求函数f(x)在点P(e,f(e))处的切线 2对任意的x属于[1,正无穷大)函数f(x)大于等于0恒成立,求实数a的取值得范围
第1问：a=0时,f(X)=-x Inx+x-1,所以f'（X）=-InX,所以在点P(e,f(e))处的切线斜率k=-Ine=-1,f(e)=-1所以切线过点（e,-1)所以切线方程为y+1=(x-e)(-1)为y=-x+e-1第二问：因为对任意X∈［1,∞),f(X)≥0恒成立,所以f'（X）=2ax-2a-Inx,所以［f'(x)］'=2a-1/x=(2ax-1)/x,因为x∈［1,∞),f'(1)=0所以只要［f'(x)］'≥0,则f'（X）≥f'(1)=0,则f'(x)恒递增,则f(x)≥f(1)=0所以只要2ax-1≥0,所以a≥1/2即a的取值范围为a≥1/2
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因为对任意X∈［1,∞),f(X)≥0恒成立，所以f'（X）=2ax-2a-Inx,所以［f'(x)］'=2a-1/x=(2ax-1)/x,因为x∈［1,∞),f'(1)=0所以只要［f'(x)］'≥0，则f'（X）≥f'(1)=0，则f'(x)恒递增，则f(x)≥f(1)=0所以只要2ax-1≥0，所以a≥1/2即a的取值范围为a≥1/2
扫描下载二维码设函数f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x）（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）证明：对?_答案_百度高考
设函数f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x）（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）证明：对?_答案_百度高考
数学 数学归纳法...
设函数f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x）（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）证明：对?x1，x2∈R+，都有x1lnx1+x2lnx2≥（x1+x2）[ln（x1+x2）-ln2]；（Ⅲ）若，证明：（i，n∈N*）．
第-1小题正确答案及相关解析
解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x），（0＜x＜1），则．令f‘（x）=0，得．当时，f'（x）＜0，f（x）在是减函数，当时，f'（x）＞0，f（x）在是增函数，所以 f（x）在时取得最小值，即．
…（4分）（Ⅱ）因为 f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x），所以 ．所以当时，函数f（x）有最小值．?x1，x2∈R+，不妨设x1+x2=a，则=（x1+x2）[ln（x1+x2）-ln2]．
…（8分）（Ⅲ）（证法一）数学归纳法ⅰ）当n=1时，由（Ⅱ）知命题成立．ⅱ）假设当n=k（ k∈N*）时命题成立，即若，则．当n=k+1时，x1，x2，…，，满足 ．设，由（Ⅱ）得==．由假设可得 F（x）≥-ln2k-ln2=-ln2k+1，命题成立．所以当 n=k+1时命题成立．由ⅰ），ⅱ）可知，对一切正整数n∈N*，命题都成立，所以 若，则 （i，n∈N*）．
…（13分）（证法二）若，那么由（Ⅱ）可得===-ln2n．…（13分）（若用其他方法解题，请酌情给分）已知函数f(x)=xlnx．-a(x-1).其中a∈R.求函数g(x)的单调区间,.并且与曲线y=f(x)相切.求直线l的方程． 题目和参考答案——精英家教网——
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已知函数f（x）=xlnx．（1）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）的单调区间；（2）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．
解：（1）∵f（x）=xlnx，∴g（x）=f（x）-a（x-1）=xlnx-a（x-1），则g′（x）=lnx+1-a，由g′（x）＜0，得lnx+1-a＜0，解得：0＜x＜ea-1；由g′（x）＞0，得lnx+1-a＞0，解得：x＞ea-1．所以g（x）在（0，ea-1）上单调递减，在（ea-1，+∞）上单调递增．（2）设切点坐标为（x0，y0），则y0=x0lnx0，切线的斜率为lnx0+1．所以切线l的方程为y-x0lnx0=（lnx0+1）（x-x0），又切线l过点（0，-1），所以有-1-x0lnx0=（lnx0+1）（0-x0），即-1-x0lnx0=-x0lnx0-x0，解得x0=1，y0=0，所以直线l的方程为y=x-1．分析：（1）把函数f（x）=xlnx代入g（x）=f（x）-a（x-1），求导后利用导函数的正负求解函数g（x）的单调区间；（2）设出切点，求出函数在切点处的导数，利用直线方程的点斜式写出直线方程，把点（0，-1）代入求切点的横坐标，则切线方程可求．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数导函数的符号和函数单调性之间的关系，考查了曲线上某点处切线方程的求法，解答此类问题时要注意题目的问法，是在某点处的切线方程还是过某点处的切线方程，以免解答出错，此题是中档题．
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科目：高中数学
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=2sin(πx+π6)(x∈R)B、f(x)=2sin(2πx+π6)(x∈R)C、f(x)=2sin(πx+π3)(x∈R)D、f(x)=2sin(2πx+π3)(x∈R)
科目：高中数学
（;深圳一模）已知函数f(x)=13x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．（1）求f（x）；（2）设g(x)=xf′(x)&，&m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
科目：高中数学
（;上海模拟）已知函数f(x)=(xa-1)2+(bx-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．求证：f1(x)+f2(x)＞4c2k(k+c)．
科目：高中数学
来源：上海模拟
题型：解答题
已知函数f(x)=(xa-1)2+(bx-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．求证：f1(x)+f2(x)＞4c2k(k+c)．
科目：高中数学
来源：深圳一模
题型：解答题
已知函数f(x)=13x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．（1）求f（x）；（2）设g(x)=xf′(x)&，&m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
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