实变函数与泛函分析
《实变函数与泛函分析（上）》课程教学大纲
一、课程基本情况
■必修 □限选 □任选
（中文）实变函数与泛函分析(上)
（英文）Real Variable Function and Functional Analysis（upper）
■课堂讲授为主&& &□实验为主&& &□自学为主&& &□专题讨论为主
课内总学时
课内学时分配
课外学时分配
■闭卷 &&□开卷& &□口试&&& &□实际操作&&& □大型作业
期末考试（70%）＋平时成绩（30%）
数学与应用数学专业
二.课程性质与任务
《实变函数与泛函分析》是我院数学与应用数学专业的一门院定必修课，本课程分上、下两册，上册即“实变函数”部分。实变函数是数学与应用数学专业重要的通识基础课之一，这一部分内容为进一步学习分析数学中的一些专门理论，如函数论，泛函分析，概率论，微分方程，群上调和分析等提供必要的测度和积分论基础，同时又是对数学分析课程中许多重要概念的加深与拓广，融合在实变函数理论中的思想方法和数学语言对学生的数学素养培养是必不可少的。通过本课程的学习，应使学生较好的掌握勒贝格测度和积分这个基本工具，特别是极限（或积分）和积分顺序的交换，并且在一定程度上掌握集合的分析方法。
三. 课程主要教学内容及学时分配
&章&&&&& &节
&课程时数分配
集合及其运算
映射、对等与基数
不可数集合
度量空间n维欧氏空间
聚点 内点 界点
开集 闭集 完备集
直线上开集闭集构造
可测函数及性质
叶果洛夫定理
可测函数的构造
依测度收敛
Lebesgue积分的定义
L-积分的性质
一般可积函数
积分的极限定理
单调函数的可微性
有界变差函数
Stieltjes积分
合　　　计
四.课程教学基本内容和基本要求
本课程以课堂讲授为主，精讲多练，注重理论联系实际。各章中平行的内容或某些定理较长的证明可安排学生自学，以提高学生独立思考和解决问题的能力。课堂上对相关的现代数学知识做简单介绍。
第一章 集合（7学时）
&本章重点是集合基本概念和集合的基数（特别是可数基数与连续基数），难点是上、下限集概念及集合的基数概念。 §1、集合及其运算 1、掌握集合的基本概念和集合的并、交、差（余）等运算的概念和法则。 2、理解上限集、下限集的定义，并能运用它及并交表示式解题。 §2、映射，对等与基数（势） 1、理解映射、对等和基数概念，理解并能应用伯恩斯坦定理。 2、掌握并会验证二集对等的基本方法。 §3、可数集合 1、深刻理解可数集和基数的定义，理解“可数集是最小的无限集”的确切含义。 2、掌握本节中几个定理及其证明方法，并能运用它们证明一个集合为可数集。 §4、不可数集合 1、理解不可数集合的确切定义，了解（0,1）的基数大于可数基数的证明方法。 2、了解连续基数概念，并了解本节中几个定理的证明方法。
第二章　点集（7学时）
&& 本章重点是介绍欧氏空间中的内点、外点、界点、聚点、孤立点及开集，闭集，完备集等基本概念，一个重要的点集――Cantor集的构造与性质，直线上开、闭集的构造。难点是与内点，聚点等概念有关的定理的证明，要求学生深入地理解这些概念，学会去证明书中各定理，不能只停留在背这些定义上。 §1、度量空间，n维欧氏空间 1、理解 中的距离、邻域、点列收敛等概念 2、了解距离的性质、点到集合的距离、两集合之间的距离、集合的直径等概念，理解有界集、无界集、区间及区间的体积等概念。 3、了解邻域的四条性质。 §2、内点、聚点、界点 1、深刻理解内点、外点、界点、聚点、孤立点的概念，弄清它们的区别与联系。 2、理解并掌握开核、导集、闭包、边界及孤立点集等概念，对一个已知的点集E ，会求这些相关的点集。 3、了解Bolzano--Weierstrass定理。 §3、开集、闭集、完备集 1、掌握开集、闭集和完备集的概念、性质及相关定理（对偶性定理及运算方面的定理）。 2、理解Heine--Borel有限覆盖定理（证明只要求了解）。 §4、直线上开集、闭集及完备集的构造。 1、掌握直线上开集、闭集、完备集的构造。 2、理解稠密与疏朗的概念，深入理解Cantor集的构造与性质。 3、了解 (n＞1)中开集的构造性质。
第三章测度论（8学时） &&& 本章重点是两个重要概念：外测度与可测集的定义，可测集的性质及可测集与Borel集的关系。难点：外测度定义及可测集概念的导入。要求学生在两个定义上多花功夫，外测度与可测集的性质要熟练掌握。 §1、外测度 1、掌握外测度的定义及其基本性质。 2、理解区间及有理点集的外测度及其证明方法。 §2、可测集 1、深刻理解可测集的定义，学会用Caratheodory条件验证集合的可测性。 2、掌握并能运用可测集的性质。 §3、可测集类 1、熟悉并掌握用开集、闭集、 型集、 型集刻画可测集的几个定理，弄清可测集类和Borel集类之间的关系。 2、了解一些集合可测的充要条件。 §4、不可测集 了解不可测集的构造思路和步骤。 &&& 注：本章内容是为了建立Lebesgue积分准备的，概念抽象难懂，必须多下功夫，在讲外测度时，重点复习下确界特性（两点）。关于不可测集，可以先行安排学生自学，然后在与学生进行探讨。
第四章可测函数（8学时） &&& 本章重点是可测函数概念及性质，依测度收敛概念。几个重要定理：叶果洛夫定理，鲁津定理，黎斯定理及勒贝格定理。难点是叶果洛夫定理等定理的证明，依测度收敛概念的理解。 §1、可测函数的概念和性质： 1、掌握可测函数的定义及其充要条件以及可测函数的基本性质，并运用它们讨论函数的可测性。掌握用集合可测性解决函数可测性的方法。 2、理解可测函数的简单函数列逼近定理。 §2、叶果洛夫定理 1、深刻理解“几乎处处收敛”，“近一致收敛”（由叶果洛夫定理结论引出）等概念，弄清它们之间的区别与联系。 2、理解叶果洛夫定理，了解定理的证明。 §2、可测函数的结构 1、理解可测函数与连续函数的关系――鲁津定理，并能够简单的应用。 2、理解集合E上连续函数概念。 §3、依测度收敛 1、掌握依测度收敛概念。 2、理解勒贝格定理，黎斯定理的条件和结论，并能运用它们。借助这几个定理和叶果洛夫定理以及适当的反例，弄清可测函数列的这几种不同类型收敛性之间的内在联系。
第五章积分论（12学时） &&& 本章重点是建立Lebesgue积分，研究Lebesgue积分的性质和积分的极限定理。难点是积分定义。 §1、黎曼（Riemann）积分 理解Riemann积分的确界式定义及可积条件，了解有界函数R可积的充要条件是一切不连续点成一零测度集。 §2、测度有限，函数有界时Lebesgue积分的定义。 1、理解并掌握测度有限、函数有界条件下Lebesgue积分定义。 2、掌握在此条件下可积的充要条件。 §3、Lebesgue积分的性质 1、掌握并能运用积分的性质。 2、掌握测度有限、函数有界条件下Lebesgue积分与Riemann积分之间的关系。§4、一般函数的Lebesgue积分 1、弄清由§2中积分定义到一般可测集上非负可测函数的情形 ，再到一般可测函数的逐步扩充定义的基本思想。 2、掌握一般意义下积分的性质，并能熟练地加以运用它。 §5、积分的极限定理 1、理解并能应用积分的极限定理，弄清三大收敛定理之间关系。 2、了解Lebesgue积分的极限定理比Riemann积分极限定理优越。 §6、积分的几何意义，Fubini定理 了解截口、下方图形等概念，理解Fubini定理，并能简单地应用它。 &&& 注：本章内容是实变函数的核心内容，要采用启发式与讨论式相结合的教学方法，精讲多练，必须多下功夫. 第一节与第六节可以安排学生先行自学，然后在与学生进行探讨。
第六章 微分与不定积分（6学时） &&& 本章重点是讨论微分与不定积分之间的关系，刻画牛顿-莱布尼茨公式成立的条件。难点是有界变差函数与绝对连续函数等概念。 §1、单调函数的可微性 了解单调函数不连续点集的特点，记住单调函数的微分定理。 §2、有界变差函数 1、熟悉有界变差函数的定义及性质。 2、深入理解单调函数与有界变差函数的关系。 §3、不定积分 1、理解绝对连续函数定义与性质，以及它与有界变差函数的关系。 2、领会L积分意义下的牛顿一莱布尼兹公式，掌握绝对连续函数与不定积分之间的关系。 §4、斯蒂尔切斯（Stieltjes）积分 && 了解黎曼-斯蒂尔切斯积分概念及性质，了解勒贝格-斯蒂尔切斯测度与积分概念。
五.课程内容的重点和深广度要求
《实变函数与泛函分析》上册是“实变函数”部分，课程的基本任务概括地说，是使学生较好的掌握勒贝格测度和积分这个基本工具，特别是极限（或积分）和积分顺序的交换，并在一定程度上掌握集合分析方法，培养学生抽象思维、逻辑推理、自己获取知识，应用数学知识解决实际问题等方面的能力，以提高数学素养。在教学过程中，通过分折、归纳、类比、联想、几何直观等方法和现代教育手段逐步提高学生的数学理解力和探索创新的精神。同时，要对该课程的集合分析的数学思想方法予以足够的重视，使学生在学完本课程后，对这些思想方法有一定的领悟。
六.课后作业与课外辅导的要求
每2学时一次作业，作业量根据教学内容确定。原则上每次作业数量不少于10；每周至少批改作业和辅导答疑各1次，每次作业至少批改选课人数的二分之一,每次集中答疑时间不少于2学时。
七．教材及主要参考书
程其襄等. 实变函数与泛函分析基础（第三版）. 高等教育出版社, 2009年10月.
主要参考书：
[1] 薛昌兴.实变函数与泛函分析（上册）. 高等教育出版社，1993.[2] 江泽坚、吴智泉. 实变函数论（第二版）. 高等教育出版社，1994.[3] 周民强. 实变函数. 北京大学出版社，1985[4] 夏道行等.实变函数与泛函分析（上册）. 高等教育出版社，1987. [5] 郑维行、王声望.实变函数与泛函分析概要.高等教育出版社，2002. [6] 胡适耕. 实变函数. 高等教育出版社，1999.
八.学习方法与建议
在本课程的学习中应重视对基本概念的学习和理解，注意相关性质的理解和解题技巧。
九.教学方法与教学手段说明
本课程教学方法以讲授为主，在课堂或每章末适当安排一些讨论与解题训练，强化学生的数学素养的培养。在教学中可辅以电子课件，提高课堂教学效率以解决内容多课时紧的矛盾。
《实变函数与泛函分析（下）》课程教学大纲
一、课程基本情况
■必修 □限选 □任选
（中文）实变函数与泛函分析(下)
（英文） Real Variable Function and Functional Analysis（lower）
■课堂讲授为主&& &□实验为主&& &□自学为主&& &□专题讨论为主
课内总学时
课内学时分配
课外学时分配
■闭卷 &&□开卷& &□口试&&& &□实际操作&&& □大型作业
期末考试（70%）＋平时成绩（30%）
数学与应用数学专业、信息与计算科学专业
数学分析、实变函数与泛函分析(上)
二.课程性质与任务
《实变函数与泛函分析》是我院数学与应用数学、信息与计算科学专业的一门院定必修课，本课程分上、下两册，下册即“泛函分析”部分。通过对本门课程的学习, 使学生了解和掌握赋范线性空间，有界线性算子，Hilbert空间，Banach空间的基本概念和基本理论，培养学生的理论思维能力，为进一步学习数学的有关学科和从事数学学科的教学打下一定的理论基础。
三. 课程主要教学内容及学时分配
章&&&&& &节
&课程时数分配
度量空间的进一步例子
度量空间的极限，稠密集，可分空间
柯西点列和完备度量空间
度量空间的完备化
压缩映射原理及其应用
赋范线性空间和Banach空间
有界线性算子和连续线性泛函
线性算子空间和共轭空间
广义函数大意
内积空间的基本概念
希尔伯特空间中的规范正交系
希尔伯特空间上的连续线性泛函
自伴算子、酉算子和正常算子
泛函延拓定理
C[a，b]的共轭空间
纲定理和一致有界定理
强收敛、弱收敛和一致收敛
逆算子定理
闭图像定理
合　　　计
四.课程教学基本内容和基本要求
（一）度量空间和线性赋范空间（16学时）
1．理解离散的度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等概念，掌握度量三公理、度量空间等基本内容，并能够验证一个抽象函数空间是否是度量空间等.
2．理解收敛点列、有界集、稠密、可分空间等基本概念.能说明一些具体空间中点列收敛的具体意义，并能判断一个空间是否是可分函数空间.
3．掌握连续映射的定义；能够证明有关连续映射的充要条件的两个定理.
4．掌握Cauchy点列和完备度量空间的定义；理解度量空间完备性的证明.
掌握等距同构的定义，并理解度量空间的完备化定理.
5.掌握压缩映射的定义；能够深入理解压缩映射原理并能证明；能够应用压缩映射原理解决一些实际问题.
6．理解线性空间的一些基本概念，并能够判断线性相关与无关，空间是有限维还是无限维.
7．掌握赋范空间和Banach空间的有关定义；能够证明并能应用Holder不等式与Minkowski不等式；能够判断一些空间是否是Banach空间.
（二）有界线性算子和连续线性泛函（8学时）
1．理解算子、连续泛函的概念，并能够掌握常见的积分算子与微分算子.
2．掌握有界线性算子构成的空间，并理解有关定理的证明.
3.理解基本空间和广义函数的概念.
（ 三）内积空间和Hilbert空间（10学时）
1．理解内积空间的基本概念；能够证明并应用Schwarz不等式； 并掌握内积空间的判断和极化恒等式等.
2．掌握极小化定理和投影定理的基本内容；能够证明极小化定理和投影定理；并掌握正交、正交补等概念与有关引理.
3．掌握规范正交系的定义；掌握Bessel不等式与Parseval等式，并能够理解有关的重要定理.
4．理解掌握Riesz表示定理及其证明，并掌握Hilbert共轭算子的定义与性质.
5．掌握自伴算子、酉算子和正常算子的定义，并理解有关定理的基本内容.
（ 四）Banach空间中的基本定理（14学时）
1．掌握泛函延拓定理的基本内容，并能够理解泛函延拓定理的证明.
2．掌握C[a, b]的共轭空间，并能够理解Riesz定理的证明.
3．掌握Baire纲定理和Banach-Steinhaus定理的基本内容，并且能够理解Baire纲定理和Banach-Steinhaus定理的证明.
5．理解强收敛、弱收敛和一致收敛的定义，并能够掌握强收敛、弱收敛和一致收敛的区别.
6．掌握逆算子定理、闭图像定理的内容，并能够理解逆算子定理、闭图像定理的证明.
五.课程内容的重点和深广度要求
《实变函数与泛函分析》下册是“泛函分析”部分，课程的基本任务概括地说，是研究拓扑线性空间(TVS)到拓扑线性空间(TVS)之间各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，其是从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理学等的研究中发展起来的，形成于20世纪30年代。应用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，泛函分析可看作无限维的分析学。通过传授泛函分析的基础知识，培养学生抽象思维、逻辑推理、自己获取知识，应用数学知识解决实际问题等方面的能力，以提高数学素养。在教学过程中，通过分折、归纳、类比、联想、几何直观等方法和现代教育手段逐步提高学生的数学理解力和探索创新的精神。同时，要对极重要应用的数学思想方法，予以足够的重视，使学生在学完本课程后，对这些思想方法有一定的领悟。
六.课后作业与课外辅导的要求
每2学时一次作业，作业量根据教学内容确定。原则上每次作业数量不少于10；每周至少批改作业和辅导答疑各1次，每次作业至少批改选课人数的二分之一,每次集中答疑时间不少于2学时。
七．教材及主要参考书
程其襄等. 实变函数与泛函分析基础（第三版）. 高等教育出版社, 2009年10月.
主要参考书：
[1] 郭大钧等.实变函数与泛函分析，山东大学出版社，1986.[2] 胡适耕. 泛函分析，高等教育出版社，2001.[3] 周民强. 实变函数. 北京大学出版社，1985.[4] 江泽坚，吴智泉. 实变函数论，高等教育出版社，1994. [5] W. Rudin, Functional Analysis. Second edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, Inc., New York, 1991. [6] 江泽坚，孙善利. 泛函分析，高等教育出版社，1994.
[7] 夏道行等. 实变函数论与泛函分析，高等教育出版社，1987.
[8] 郑维行，王声望. 实变函数与泛函分析概要，高等教育出版社，1989.
八.学习方法与建议
在本课程的学习中应重视对基本概念的学习和理解，注意相关性质的理解和解题技巧。
九.教学方法与教学手段说明
本课程教学方法以讲授为主，在课堂或每章末适当安排一些讨论与解题训练，强化学生的数学素养的培养。在教学中可应用现代教育技术，结合计算机软件与多媒体辅助教学，提高课堂教学效率以解决内容多课时紧的矛盾。同时，可在章节结束后指导学生总结本章教学内容，撰写学习小论文。如何学好理论物理（转载）
但凡爱看武侠的人都知道练武功有内功和招式，其实学物理也是大同小异。
物理所对应的内功就是数学。想必物理系二年级正在学“电动力学”的小弟弟小妹妹们已经从王那领教了(对了也许上学期王不在，算你们走运)。从纯粹物理学的角度讲，一旦建立了MAXWELL方程组，里面的物理就少得可怜了。但是就是为了那么一点点最精粹的物理，我们需要实用大量的数学工具，包括物理系的四门数学基础课：高等数学，复变函数，数理方程和线性代数。这些都是相当基础的课程，重要性自不必说。但是仅仅是这些课程学好了对于物理来讲是不够的。我建议想学物理的人应当学一些更加高等的课程。
高等数学由于教学时间的限制对很多“古典分析”中的基础问题没有涉及。我建议大家看看北大的张筑生写的《数学分析新讲》。当年我收集过各种版本的“数学分析”，比来比去还是张的这套好，内容充实适合自学。当然不要忘了北大的《数学分析习题集》，虽然此书是给林源渠的《数学分析》配套的，但是里面的题多而且好，可以补充张的书的习题不足的毛病。我建议大家花一年到一年半的时间好好读读这套书。
复变函数。我建议大家着重于它的应用，也就是要会算。复变函数中有许多定理在数学分析中有对应，并不困难。我建议大家去学复变函数中“古典分析”之外的理论，比如共形映射，作为进一步学习的基础。我推荐北大庄钦泰的《复变函数》，也许前面的内容和钟玉泉的类似，但是后面就不一样了。这本书我也没看完。
线性代数。我建议大家看看王萼芳和丁石孙的《高等代数》。这是以前清华高等代数课程的教材。这本书以古典的方法讲授了“古典代数”的全部内容，而且习题丰富，仔细学下来很有好处。
数学物理方程。我建议大家看看希尔伯特和柯朗的《数学物理方法》。这套书写得很精粹和全面。对于掌握了“古典分析”和“古典代数”的同学，一方面可以以此来复习已经学到的几乎全部内容，另一方面这套书可以说是学物理的人的看家本领，学到此为止可以说是“小成”，更重要的是这本书中的许多内容已经涉及现代数学的内容。相比之下梁昆淼，郭敦仁和王竹溪的书虽然各有所长，但是境界已经是纯粹应用了。当然如果精通这三位的书中的一本也算“小成”。
我看能在短短的四年中有此“小成”已经很不容易，就算以前上五年有此小成的人也不多。往往有许多人还没有“小成”就开始想“大成”，结果是一事无成。
如果你不想做数学物理，“小成”已经是足够了。关键是学得要扎实，比如你可以不知道许多定理，但是一定要知道所学的脉络，要知道“根”，这样才能举一反三。
上面所说的只是内功修为，要学物理还有招式呀。
学物理应当从普通物理入手，这无可争辩。通过普通物理，可以慢慢感受什么是物理，从而真正入门。力学就可以选物理系的教材，那套绿皮的《力学与热学》的上。热学选《力学与热学》的下。这套书浅显易懂，内容全面，是初学的好书。电磁学可以选赵凯华的《电磁学》。这套书很经典，而且内容也很丰富，是学习电动力学的良好前导。光学可以选赵凯华的《光学》，这本书的部份内容已经超出了普通物理的水平，应当属于中级物理的范畴，而且是光学专业的同学的看家书。至于量子物理，我很难找出满意的书，因为量子现象几乎没有简单而正确的解释，所以普通物理中很难含盖。
至于四大力学，虽然是物理的一个核心，但是我不建议初学物理的人要在四年之内学完它们，因为这四大力学可以说是高深莫测，而且就算勉强学完了也不会精通。对于物理的学士而言，我认为精通经典力学和电动力学之一已经是很不容易的事了。经典力学可以选朗道的《经典力学》。这本书很薄，但是是朗道一套书中最好的。从朗道对拉氏量的讨论，你可以发现，理论物理完全不是你以前所认为的理论物理。电动力学可以选郭硕鸿的《电动力学》就可以了，看JACKSON的书需要很好的数学基础，关键是对位势形偏微分方程有相当的了解。至于量子力学和统计力学我认为不以物理为职业的人没有必要学。电动力学学好了学习电子工程类的电磁场理论并不困难；经典力学学好了，学习机械类的振动理论也很轻松。而量子力学和统计力学的物理以外的用处就不大了。所以对于以后并不一定干物理的本科生而言，这种既学不会又“没用”的课，最好还是不学。
学过普通物理，经典力学和电动力学，作为一个本科生已经足够了。如果不打算继续学物理了，那么可以学学其它的东西。你会惊讶的发现，由于你学了足够多的数学，其它学科是那样的容易，而且它们细致和精巧的程度不会超过经典力学和电动力学。如果打算继续学物理，那么就得学习物理学中最困难的量子力学和统计力学了。这两门（实际是一门）学问可以说是高深莫测。就是对于一个内功小成的人而言，它们的数学也是你所不掌握的。实际上，曾经有许多人试图把量子力学变成经典力学和电动力学那样的“形式物理”，但是这种努力总是以失败高终。这两门学问的深度远远超过我们今天的数学所能达到的范畴。
量子力学实际上是一种量子理论。它所包含的内容极广，从大学三年级学生学的一维无穷神势井，到超弦可以说都是量子理论。量子力学大致分两个层次，非相对论的量子力学以及量子场论和量子规范场论。对于前者P.A.M&DIRAC在1937年写过著名的《量子力学的原理》。无论如何要从这本书学起。这本书会告诉你，量子力学不仅仅是薛定谔方程，而是一组原理。从原理出发，而不是从具体问题出发，这正是真正的高手做法。但是DIRAC的书的练习太少，不妨参考曾谨言的《量子力学I，II》和《量子力学习题集》。曾先生过于强调量子力学的丰富内容，而忽视了量子力学首先是一组基本原理，这是曾先生书的不足。但是通过看DIRAC的书“顿悟”也好还是看曾先生的书“渐悟”也好，最终是殊途同归。但是我以为还是要先看曾先生的书，多做习题为妙。不然如果悟性不够那么光看DIRAC的书，你一点收获都得不到，而先看曾先生的书至少可以照猫画虎打打基础，等到表面上的东西学得差不多了，再看DIRAC的书才会有“顿悟”之感。但是你要明白，你所学的量子力学从数学角度讲是“形式的”和“未经证明的”，并不可以和经典力学和电动力学相提并论。实际上，很少有学物理的人关心这个问题，但是有一本《Quantum&Physics》对此详细地进行了讨论。此书虽然叫《Quantum&Physics》但是里面的内容是量子力学的数学基础。但是里面的许多概念是是现代数学的内容，看起来很艰难。
量子场论的数学基础并不完善，但是作为一种“形式”理论近几年的物理学中用得越来越多。搞物理，尤其是理论的人，应当学学。经典的教材是卢里的《粒子与场》。这本书从DIRAC方程起手，容易为初学者接受，而且此书写得比较早，有许多现在流行的量子场论的书中没有的内容。这可以使初学者体会到，我们是在某种原理下进行尝试和探索，许多东西并不是天经地义的。
量子规范场论在学李群和李代数之前，是不能学的。
学到量子场论为止，那么也算是学理论物理有了“根”。接下来的事情就要看你的兴趣了。
如果对凝聚态理论感兴趣，你可以学统计力学。这方面的书以朗道的书为上。朗道在这方面可是得过诺贝尔奖。朗道在两册统计力学中，以俄国人惯有的繁琐（他的《经典力学》是例外）将统计物理的原理和方法讲得清清楚楚。当然朗道讲的不全，你可以参考雷克老太太的《现代统计物理教程》。这书几乎含盖了统计物理的所有内容，但是言之不详，好在有参考文献。学凝聚态不能不学固体物理，我选的是黄昆的《固体物理》，这本书很好理解。当年黄老爷子在文化大革命时还说“学（我的）固体物理不用学量子力学“呢!
不过那时候正在批判量子力学，黄老爷子可是为了固体物理不受牵连才说的这句话。不过黄老爷子的《固体物理》确实写的容易懂，是初学者的良师。作为学凝聚态的人，群论是必修了。不过我们学的是群表示论。学群论，孙洪洲（不是鲤鱼洲）的《群论》就足够了。群论的内容大致是有限群和连续群两部份，前一部份和晶体的对称性直接相关，后一部份和角动量理论有关，学凝聚态的人做含有d或f电子的紧束缚方法时自然会用到。如果想做点FANCY的凝聚态理论，那么就得看点FANCY的书了。比如马汉的《多粒子问题》（该有中译本了）或者北大的《固体物理中格林函数方法》。不过读这些书之前最好读过量子场论，否则比较艰难。而且作为过渡，最好先看过卡拉威的《固体理论》。不过能懂《固体理论》已经是不简单了，清华没几个。
如果对光学感兴趣，那么除了赵凯华的《光学》作为基础外还要看看光学的名著。本人当年对光学深恶痛绝，没看过什么光学的书，总是考试之前背三天公式。如果想做量子光学那么量子场论就有用了。量子光学的麻烦在于边界条件，一般量子场论的边界很简单，而量子光学就不是了。一个有限体系的量子光学性质是很有意思的问题。比如微腔中的光吸收和发射以及由此引申出的光子晶体中的若干问题。这里要分清光子晶体和人工电介质。光子晶体中存在量子效应，而人工电介质中没有。所以一个有三维人工周期机构工作在微波波段的陶瓷算不上光子晶体，只是人工电介质。
如果对核物理感兴趣，那我建议你多看看角动量理论或者群论的书。这算是量子力学的一部份。但是搞核理论的要求对这些东西极其熟悉，能够拿来就用。同样这些东西对搞量子化学和能带论的人也很重要。不过做核理论是很辛苦的，不如凝聚态和光学那么轻松。
对物理学理论本身感兴趣的人恐怕内功“小成”就不够了。他们需要进一步学习数学。可以从实变函数和泛函分析学起。学习实变函数，有利于你建立现代数学的一些基本观念（如函数类）掌握一些基本方法以及积累一些素材。学过实变函数就可以进入现代数学的基础，泛函分析了。只有学过泛函分析，你才能对（非相对论）量子力学有清楚的认识。这时量子力学才不是形式的而是严格的。实变函数和泛函分析的书最好的当属《REAL&AND
ANALYSIS》为了准备学微分几何，还要学一些拓朴和代数。这只是准备概念，不必费太多时间。代数可以看蓝以中的《高等代数教程》，这书用近式代数的语言将古典的矩阵和线性空间的理论加以重复，对于理解抽象的代数概念很有好处。拓朴可以看《拓朴学基础》。这书上的习题狂多，不过只要第一章会了其它章节很简单。
学过泛函分析和拓朴就可以学真正在发展物理理论中有用的微分几何了。微分几何内容十分庞杂，从最基础的导数的值等于切线斜率，一直到函数空间中的几何学。这些东西要在短时间内学会很不容易，不过也有迹可寻。首选的入门书是陈维桓的《微分几何基础》这书不需要高深的基础，但是却是微分几何的入门。学过之后就可以看陈省身的《微分几何》了。这两本书读过以后再回头读《数学物理中的微分形式》，学习如何应用这些数学。《数学物理中的微分形式》算不上严格的数学书，但是里面对如何使用数学却讲得很好。如果觉得李群和李代数有用，还可以专门看看这方面的书。不过我建议找一本以特殊函数为工具，介绍李群的书。看过以后你就知道Bessel函数等那些在数理方法中学过的东西是何等重要。它们直接是对称性的反映，只不过那时你还小并没有认识这一点。学过这以后你知道量子力学真正关心的是什么了。原来量子力学做来做去是一种关于对称的理论。在这一理论中作为群的表示的基的波函数是次要的，而群本身和代表它的特征值才重要，而这些被物理量正是特征值。
再往下就得听天由命了，也许你走运，发现了融合量子论和广义相对论的方法，也许不走运什么也没发现。这可就是天数了，看再多的书也没用。
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