已知数列{an},a1=1a2=2 ,a(n+1)=2an+3a(n-1) (1) 证明数列{an+a(n+1)}是等比数列
血刺熊猫zo
在a(n+1)=2an+3a(n-1)两边同时加上an得：a(n+1)+an=3an+3a(n-1)=3[an+a(n-1)]因此数列{an+a(n+1)}是等比数列,公比为3,首项为a1+a2=3
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a(n+1)=2an+3a(n-1)a(n+1)+an=3[an+a(n-1)][a(n+1)+an]/[an+a(n-1)]=3{an+a(n+1)}是等比数列
∵a(n+1)=2an+3a(n-1) （n≥2)∴a(n+2)=2a(n+1)+3a(n)∴[a(n+1)+a(n+2)]/[an+a(n+1)]=[a(n+1)+2a(n+1)+3a(n)]/[an+a(n+1)]=3[an+a(n+1)]/[an+a(n+1)]=3∴{an+a(n+1)}为等比数列，公比为3，首项为a1+a2=3
由已知 a(n+1)=2an+3a(n-1)，1）两边同时加上 an ，则 a(n+1)+an=3an+3a(n-1)=3[an+a(n-1)]，所以 ｛a(n+1)+an｝是首项为a1+a2=3，公比为3 的等比数列，即 a(n+1)+an=3^n
(1)2）两边同时减 3an，则 a(n+1)-3an=-an+3a(n-...
扫描下载二维码考点：数列的求和,数列递推式
专题：等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2代入求出a2和a3，再由等差中项的性质列出关于p的方程求解，利用“{an}是递增数列”对求出的p的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“|an+1-an|=pn”、不等式的可加性，求出a2n-a2n-1=122n-1和a2n+1-a2n=-122n，再对数列{an}的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n项和公式，求出数列{an}的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．
解：（Ⅰ）∵数列{an}是递增数列，∴an+1-an＞0，则|an+1-an|=pn化为：an+1-an=pn，分别令n=1，2可得，a2-a1=p，a3-a2=p2，即a2=1+p，a3=p2+p+1，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化简得3p2-p=0，解得p=13或0，当p=0时，数列an为常数数列，不符合数列{an}是递增数列，∴p=13；（2）由题意可得，|an+1-an|=12n，则|a2n-a2n-1|=122n-1，|a2n+2-a2n+1|=122n+1，∵数列{a2n-1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1-a2n-1＞0，且a2n+2-a2n＜0，则-（a2n+2-a2n）＞0，两不等式相加得a2n+1-a2n-1-（a2n+2-a2n）＞0，即a2n+1-a2n+2＞a2n-1-a2n，又∵|a2n-a2n-1|=122n-1＞|a2n+2-a2n+1|=122n+1，∴a2n-a2n-1＞0，即a2n-a2n-1=122n-1，同理可得：a2n+3-a2n+2＞a2n+1-a2n，即|a2n+3-a2n+2|＜|a2n+1-a2n|，则a2n+1-a2n=-122n当数列{an}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），a2-a1=12，a3-a2=-122，a4-a3=123，…，a2m-a2m-1=122m-1，这2m-1个等式相加可得，a2m-a1=(121+123+…+122m-1)-(122+124+…+122m-2)=12(1-14m)1-14-14(1-14m-1)1-14=13+13&#，则a2m=43+13&#；当数列{an}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*）a2-a1=12，a3-a2=-122，a4-a3=123，…，a2m+1-a2m=-122m，这2m个等式相加可得，a2m+1-a1=(121+123+…+122m-1)-(122+124+…+122m)=12(1-14m)1-14-14(1-14m)1-14=13-13•22m，则a2m+1=43-13•22m，且当m=0时a1=1符合，故an=43-13&#，综上得，an=43-13&#，n为奇数43+13&#，n为偶数．
点评：本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．
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作业讨论群：已知数列an中,a1=1,a(n+1)=2an+1.设bn=an+1_百度知道
已知数列an中,a1=1,a(n+1)=2an+1.设bn=an+1
设bn=an+1(1)求证,a(n+1)=2an+1,a1=1已知数列an中:数列bn是等比数列(2)写出数列an的通项公式(3)设Cn=(n+1)/(an+1)
提问者采纳
a(n+1)=2an+1所以a(n+1)+1=2an+2=2(an+1)那么an+1=bn 也就是等比数列 公比为2 b1=a1+1=2所以bn=2*2^(n-1)=2^n那么an=2^n-1第3问Cn=(n+1)/2^n用错位相减求和需要些过程吗？ 不好打
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(n+1)=2an+2^n
等式两边同除以2^n
a(n+1)/2^n=an/2^(n-1) +1
a(n+1)/2^n -an/2^(n-1)=1，为定值。
a1/2^(1-1)=1/1=1
数列{an/2^(n-1)}是以1为首项，1为公差的等差数列。
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an=n×2^(n-1)
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bn=an/2^(n+1)=n×2^(n-1)/2^(n+1)=n/4
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瑞瑞滳懀擱
an=3a(n-1)/ [a(n-1)+3],取倒数,1/an=[a(n-1)+3]/( 3a(n-1)),1/an=1/3+1/a(n-1),所以数列{1/an}是等差数列,首项是1/a1=2,公差是1/3.1/an=2+(n-1)*(1/3),1/an=(n+5)/3,an=3/(n+5),所以a100=3/105=1/35.
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