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（2014绵阳）（14分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点M（2，），顶点坐标为N（1，），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．【版权所有：21教育】
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站长：朱建新考点：利用导数研究函数的单调性
专题：分类讨论,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：（Ⅰ） 首先求出函数f（x）的导数f'（x），对a讨论，分a≥0，a＜0①-1＜a＜0，②a=-1，③a＜-1，分别求出单调区间，再求并集；（Ⅱ）化简a=0时的g（x），由两点的斜率公式写出k，运用分析法证（x1+x2）k＞2，注意运用对数的运算法则和同时除以x1的变形，再令x2x1=x，构造函数h（x）=lnx-2(x-1)x+1（x＞1），求出导数，求出单调区间，运用单调性说明h（x）＞0成立即可．
解：（Ⅰ）函数f（x）的导数f'（x）=[2ax+（a-1）2]•ex+[ax2+（a-1）2x+a-（a-1）2]•ex=[ax2+（a2+1）x+a]•ex，当a≥0时，∵x∈（2，3），∴f'（x）＞0，∴f（x）在（2，3）上单调递增，当a＜0时，∵f（x）在（2，3）上单调递增，∴f'（x）=a（x+a）（x+1a）•ex≥0，①当-1＜a＜0时，解得-a≤x≤-1a，由题意知（2，3）⊆[-a，-1a]，得-13≤a＜0，②当a=-1时，f'（x）=-（x-1）2•ex≤0，不合题意，舍去，③当a＜-1时，解得-1a≤x≤-a，则由题意知（2，3）⊆[--1a，-a]，得a≤-3，综上可得，实数a的取值范围是（-∞，-3]∪[-13，+∞）；（Ⅱ）a=0时，g（x）=f(x)ex+lnx-x=lnx-1，k=lnx2-lnx1x2-x1，∵x2-x1＞0，要证（x2+x1）k＞2，即证（x1+x2）lnx2-lnx1x2-x1＞2，即证lnx2x1-2(x2x1-1)x2x1+1＞0（x2x1＞1），设h（x）=lnx-2(x-1)x+1（x＞1），h'（x）=1x-4(x+1)2=(x-1)2x(x+1)2＞0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（x）＞h（1）=0，∴lnx2x1-2(x2x1-1)x2x1+1＞0（x2x1＞1）成立，即（x1+x2）k＞2成立．
点评：本题是导数在函数中的综合运用，考查应用导数求单调区间，运用单调性解决不等式问题，同时考查分类讨论的思想方法以及构造函数运用单调性灵活解决问题的能力．
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科目：高中数学
设函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（　　）
A、f（ln2014）＜2014f（0）B、f（ln2014）=2014f（0）C、f（ln2014）＞2014f（0）D、f（ln2014）与2014f（0）的大小关系不确定
科目：高中数学
设函数f（x）=x2+ax-lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切点的横坐标为1．
科目：高中数学
近年来，我国许多地方出现雾霾天气，影响了人们的出行、工作与健康．其形成与PM2.5有关．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值越小，空气质量越好．为加强生态文明建设，我国国家环保部于日，发布了《环境空气质量标准》见表：
PM2.5日均值k（微克）
空气质量等级
超标某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况，在某月中分别随机抽取了甲、乙两市6天的PM2.5日均值作为样本，样本数据茎叶图如图所示（十位为茎，个位为叶）．（Ⅰ）求甲、乙两市PM2.5日均值的样本平均数，据此判断该月中哪个市的空气质量较好；（Ⅱ）若从甲市这6天的样本数据中随机抽取两天的数据，求恰有一天空气质量等级为一级的概率．
科目：高中数学
已知f（x）=丨2x-a丨-a（a∈R），不等式f（x）≤2的解集为{x丨-1≤x≤3}．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若丨f（x）-f（x+2）丨≤m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
科目：高中数学
已知函数f（x）=2cosxsinx+23cos2x-3，将函数f（x）的图象整体向右平移π6个单位，所得图象对应的函数记为g（x）．（1）求函数f（x）的最小正周期和函数f（x）的单调增区间；（2）当x∈[π6，π3]时，求函数g（x）的值域．
科目：高中数学
设平面向量m=（cos2x2，3sinx），n=（2，1），函数f（x）=m•n．（Ⅰ）当x∈[-π3，π2]时，求函数f（x）的取值范围；（Ⅱ）当f（α）=135，且-2π3＜α＜π6时，求sin（2α+π3）的值．
科目：高中数学
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科目：高中数学
以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ-π3）=6，圆C的参数方程为x=10cosθy=10sinθ（θ为参数），则直线l被圆C截得的弦长为．
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＞＞＞如果函数f（x）=ax（ax-3a2-1）（a＞0且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，..
如果函数f（x）=ax（ax-3a2-1）（a＞0且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，那么实数a的取值范围是
题型：填空题难度：中档来源：不详
令ax=t则f（x）=ax（ax-3a2-1）可转化成y=t2-（3a2+1）t，其对称轴为t=3a2+12＞0当a＞1时，t＞1，要使函数y=t2-（3a2+1）t在（1，+∞）上是增函数则t=3a2+12＜1，故不存在a使之成立；当0＜a＜1时，0＜t＜1，要使函数y=t2-（3a2+1）t在（0，1）上是减函数则t=3a2+12＞1，故33≤a＜1综上所述，33≤a＜1故答案为：33≤a＜1．
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据魔方格专家权威分析，试题“如果函数f（x）=ax（ax-3a2-1）（a＞0且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，..”主要考查你对&&函数的单调性、最值&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性、最值
单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间&&3、最值的定义：最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2； ②作差f（x1）-f（x2）或作商 ，并变形；③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较 与1的大小； ④根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
发现相似题
与“如果函数f（x）=ax（ax-3a2-1）（a＞0且a≠1）在区间[0，+∞）上是增函数，..”考查相似的试题有：
248305455576405441553259573631768322当前位置：
＞＞＞已知函数f（x）=ax2+（1-3a）x+a在区间[1，+∞）上递增，求a的取值范围..
已知函数f（x）=ax2+（1-3a）x+a在区间[1，+∞）上递增，求a的取值范围是______．
题型：填空题难度：偏易来源：不详
若a=0，则函数f（x）=ax2+（1-3a）x+a=x，此时函数f（x）在区间[1，+∞）上递增，满足条件；若a≠0，若函数f（x）=ax2+（1-3a）x+a在区间[1，+∞）上递增，则a＞0-1-3a2a≤1解得：0＜a≤1综上，a的取值范围是0≤a≤1故答案为0≤a≤1
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=ax2+（1-3a）x+a在区间[1，+∞）上递增，求a的取值范围..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的性质及应用
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
发现相似题
与“已知函数f（x）=ax2+（1-3a）x+a在区间[1，+∞）上递增，求a的取值范围..”考查相似的试题有：
249056558378473217428680252321272263已知函数f(x)=ax^2+(b-1)x+3a-b为偶函数,且定义域为[a+1,2a],则a= ,b=
因为偶函数的定义域要关于原点对称所以,a+1=-2a,且2a>a+1,则a无解（怀疑题目有问题）又因为f(x)偶函数,所以f(-x)=f(x)f(-x)=a(-x)^2+(b-1)(-x)+3a-b=ax^2-(b-1)x+3a-b=ax^2+(b-1)x+3a-b所以,-(b-1)=b-1,解得b=1
偶函数的定义域应该是关于y轴对称叭
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