已知二次函数y ax2函数f(x)=xlnx+ax(a为...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-22 10:27 标签： 已知二次函数y ax2
（2015o开封模拟）已知函数f（x）=xlnx-（x-1）（ax-a+1）（a∈R）．（Ⅰ）若a=0，判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若x＞1时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
江公主糠煌2
（Ⅰ）若a=0，f（x）=xlnx-x+1，f′（x）=lnx，x∈（0，1），f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数．（Ⅱ）f（x）=xlnx-（x-1）（ax-a+1）＜0，在（1，+∞）恒成立．①若a=0，f（x）=xlnx-x+1，f′（x）=lnx，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，∴f（x）为增函数．∴f（x）＞f（1）=0，即f（x）＜0不成立；∴a=0不成立．②∵x＞1，，在（1，+∞）恒成立，不妨设，x∈（1，+∞）′(x)＝-ax2-x-a+1x2＝-(x-1)(ax+a-1)x2，x∈（1，+∞）′(x)＝0，x1＝1，x2＝1-aa，若a＜0，则2＝1-aa＜1，x＞1，h′（x）＞0，h（x）为增函数，h（x）＞h（1）=0（不合题意）；若，，h′（x）＞0，h（x）为增函数，h（x）＞h（1）=0（不合题意）；若，x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）为减函数，h（x）＜h（1）=0（符合题意）．综上所述若x＞1时，f（x）＜0恒成立，则．
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（1）判断函数的单调性，利用求导，判断导函数与0的关系，问题得解决；（2）求f（x）＜0恒成立，求参数a的取值范围，设，求导，利用分类讨论的思想，问题得以解决．
本题考点：
利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评：
本题考查了，函数的单调性与导函数的关系，并如何利用分类讨论的思想求函数在某区间上恒成立，参数的取值范围．
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已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax-1，求实数a的取值范围．
（1）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值．
（2）将f（x）≥ax-1在[1，+∞）上恒成立转化为不等式对于x∈[1，+∞）恒成立，然后令，对函数g（x）进行求导，根据导函数的正负可判断其单调性进而求出最小值，使得a小于等于这个最小值即可．
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．
令f'（x）＞0...
考点分析：
考点1：函数恒成立问题
考点2：利用导数求闭区间上函数的最值
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题型：解答题
难度：中等
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满分5 学习网 . All Rights Reserved.已知函数f（x）=xlnx．（I）若函数g（x）=f（x）+ax在区间[e2，+∞]上为增函数，求a的取值范围；（II）若对任意x∈(0，+∞)，f(x)≥
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（I）由题意得，g′（x）=f′（x）+a=lnx+a+1，∵函数g（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，∴当x∈[e2，+∞）时，g′（x）≥0，即lnx+a+1≥0在[e2，+∞）上恒成立，∴a≥-1-lnx，又当x∈[e2，+∞）时，lnx∈[2，+∞），∴-1-lnx∈（-∞，-3]，∴a≥-3．（II）因为2f（x）≥-x2+mx-3，即mx≤2xolnx+3+x2，又x＞0，所以m≤
2xolnx+x2+3
，令h（x）=
2xolnx+x2+3
，h′（x）=
(2xlnx+x2+3)x′-(2xlnx+x2+3)ox′
，令h′（x）=0解得：x=1或x=-3（舍），当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）在（0，1）上单调递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，所以h（x）min=h（1）=4，
因为对任意x∈(0，+∞)，f(x)≥
恒成立，所以m≤h（x）min=4，即m的最大值为4．
试题“已知函数f（x）=xlnx．（I）若函数g（x）...”；主要考察你对
等知识点的理解。
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