亲爱的阿基米德网友：f(x)=1 g(x)=...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-15 19:23 标签： 祖国啊我亲爱的祖国
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可以插入公式啦！&我知道了&
（;威海一模）设函数f（x）=aex（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线．
（Ⅰ）求函数f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值；
（Ⅲ）若对∀x≥-2，kf（x）≥g（x）恒成立，求实数k的取值范围．
正在获取……
(为防止盗链，此处答案可能存在乱码，查看完整答案不会有乱码。)
解：（Ⅰ） f'（x）=aex（x+2），g'（x）=2x+b----------------------（1分）
由题意，两函数在x=0处有相同的切线．
∴f'（0）=2a，g'（0）=b，
∴2a=b，f（0）=a=g（0）=2，∴a=2，b=4，
∴f（x）=2ex（x+1），g（x）=x2+4x+2．----------------------（3分）
（Ⅱ） f'（x）=2ex（x+2），由f'（x）＞0得x＞-2，由f'（x）＜0得x＜-2，
∴f（x）在（-2，+∞）单调递增，在（-∞，-2）单调递减．-----------------------------------（7分）
∵∀x≥-2，kf（x）≥g（x）恒成立，∴F（0）=2k-2≥0，∴k≥1----------------------（8分）
F'（x）=2kex（x+1）+2kex-2x-4=2（x+2）（kex-1），----------------------（9分）
∵x≥-2，由F'（x）＞0得ex＞1k，∴x＞ln1k；由F'（x）＜0得x＜ln1k
∴F（x）在(-∞，ln1k]单调递减，在[ln1k，+∞)单调递增----------------------（10分）
①当ln1k＜-2，即k＞e2时，F（x）在--（4分）
∵t＞-3，∴t+1＞-2
①当-3＜t＜-2时，f（x）在[t，-2]单调递减，[-2，t+1]单调递增，
∴f(x)min＝f(-2)＝-2e-2．----------------------（5分）
②当t≥-2时，f（x）在[t，t+1]单调递增，∴f(x)min＝f(t)＝2et(t+1)；
∴f(x)＝-2e-2_
(t≥-2)----------------------（6分）
（Ⅲ）令F（x）=kf（x）-g（x）=2kex（x+1）-x2-4x-2，
由题意当x≥-2，F（x）min≥0---------2，+∞）单调递增，F(x)min＝F(-2)＝-2ke-2+2＝2e2(e2-k)＜0，不满足F（x）min≥0．----------------（11分）
②当ln1k＝-2，即k=e2时，由①知，F(x)min＝F(-2)＝2e2(e2-k)＝0，满足F（x）min≥0．-------（12分）
③当ln1k＞-2，即1≤k＜e2时，F（x）在[-2，ln1k]单调递减，在[ln1k，+∞)单调递增F(x)min＝F(ln1k)＝lnk(2-lnk)＞0，满足F（x）min≥0．
综上所述，满足题意的k的取值范围为[1，e2]．----------------------（13分）
分析：（Ⅰ）求导函数，利用两函数在x=0处有相同的切线，可得2a=b，f（0）=a=g（0）=2，即可求函数f（x），g（x）的解析式；
<）-g（x）=2kex（x+1）-x2-4x-2，对&#8704;x≥-2，kf（x）≥g（x）恒成立，可得当x≥-2，F（x）min≥0，即可求实数（Ⅱ）求导函数，确定函数的单调性，再分类讨论，即可求出函数f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值；
（Ⅲ）令F（x）=kf（x的取值范围．
点评：本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(点击上面的蓝色链接“查看完整答案与解析”字样可以查看完整答案)
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