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2.5指数函数|2​.指​数​函​数
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指数与指数函数教案|指​数​和​指​数​函​数​的​教​案​,​有​指​数​的​运​算​法​则​,​指​数​函​数​的​图​像​及​性​质​,​例​题
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你可能喜欢3-5 指数与指数函数_百度文库
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3-5 指数与指数函数|
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你可能喜欢指数函数和对数函数单元教学设计
指数函数和对数函数单元教学设计 &
一．教学分析
教材把指数函数、对数函数当作两种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图像的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题。
&在学习北师大版必修一第二章《函数》后，学生对函数的概念及性质有了比较深入的认识，而本章的学习将进一步加深学生对函数的理解，丰富函数内涵，再次体会研究函数的一般思想方法。理解函数模型在刻画研究自然界变量间关系的作用，进而学会用变量的眼光、函数的观点去观察世界、分析问题和解决问题，增强学生数学应用意识。
二．课标解读
1.课标要求
（1）总体要求：
学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。
（2）具体要求：
l.了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义；
2.理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=ax的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像,
探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特别点)，通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型；
3.理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数 ,
了解对数的简化运算的作用；
4.通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=logax的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;
5.能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像,探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点);
6.知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a＞0,a≠1),初步了解反函数的概念和f－1(x)的意义.
2. 课标解读
（1）削弱的内容
关于反函数只需知道指数函数与对数函数互为反函数，暂不要求理解、求解和应用，将复合函数的概念放到“导数及应用”的相关内容中。
（2）指数函数与对数函数处理上的变化
突出指数函数与对数函数这两个现实世界中的重要数学模型，强调它们的实际背景和应用价值。这一变化同样是为了使数学学习不仅是对知识的学习、理解和掌握，更要体现以知识为载体育人的价值，使学生更好地认识数学，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的应用价值等。
三．重点分析
本章的重点有三个：
1. 指数函数与对数函数的概念；
2. 指数函数与对数函数的图像、性质和运算性质；
3. 函数增长快慢的比较。
四．教学建议
继续发展学生对变量数学的认识。使学生进一步认识到，在充满变化的现实世界中，有一类反映运动变化的数量关系，它们都直接与指数函数、对数函数相联系。例如，国民经济增长、人口增加、细胞分裂、放射性物质的衰变等。
2. 使学生经历幂指数由整数逐步扩充到实数及由指数得到对数的过程。
指数函数和对数函数是高中阶段最重要的两个函数模型，必须让学生掌握包括定义域与值域、特殊点、单调性及增长速度等基础知识和研究函数的基本方法。
4.由于对数增长、多项式增长、指数增长是刻画增长的最基本的模式，因而教学中要通过具体函数，让学生利用计算工具，感知指数函数、对数函数以及幂函数增长差异，体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
本章教学时间约需14课时,具体分配如下(仅供参考):
正整数指数函数
指数扩充及其运算性质
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
五．部分教学设计
1．对数的概念
【教学目标】
1. 知识与技能
（1）理解对数的定义: 这一符号的含义，字母 的取值范围；
（2）理解指数式和对数式之间的关系，能熟练地进行对数式和指数式的互化.培养学生对立统一，相互联系，相互转化的思想；
（3）根据对数的定义，归纳总结出对数的3条性质和对数恒等式 ；
（4）理解常用对数的概念；
2．过程与方法
通过与指数式的比较，引入对数的概念，进而研究它的性质。
3．情感、态度、价值观
通过对数式与指数式的转换，培养学生分析、归纳能力，在学习过程中培养学生的探究意识。
【教学重难点】
重点：对数的概念，对数式与指数式的互化
难点：对数的概念及性质的理解
【教学过程】
一．支架引导
1.锚式问题
&由指数函数中的细胞分裂问题，引出细胞分裂第 次后，细胞的个数 ；
如果知道细胞分裂若干次后的个数为 ，如何求出分裂次数 ；这就是已知底数和幂，要求指数的问题；
2.先行组织者：
类比、对比、归纳、总结
二．梯次探究
链式问题1：对数的概念
如果a(a＞0且a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
链式问题2：指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系？
（1）在对数定义中，为什么也要限定a＞0且a≠1?
&因为对数概念源出于指数，对数式logaN＝b是由指数式ab＝N转化而来，对数的底数就是指数的底数，而ab＝N中要使它对任意实数b都有意义，必须a＞0且a≠1，所以对数式中也必须要求a＞0且a≠1．
（2）1的对数等于多少，logaa ( a＞0且a≠1
)的对数等于多少，零和负数有没有对数？
当a＞0且a≠1时，a0＝1，即a的零次幂为1，所以0就是以a为底1的对数；a1＝a，即a的1次幂为a，所以1就是以a为底a的对数；在ab＝N中，对任意实数b，都有ab＞0，即N＞0，所以不存在实数b，使ab≤0，即零和负数是没有对数的．
链式问题3：
&对数的性质
&若a＞0且a≠1
（1）loga1=0；
（2）logaa=1；
（3）零和负数没有对数，即真数N＞0；
（4）对数恒等式 ，logaaN=N。
链式问题4：
常用对数和自然对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，log10N可简记为lgN；
以e为底的对数叫做自然对数， logeN简记为lnN．
三．应用质疑
1. 典例分析
例1.将下列指数式写成对数式：
（1）54=625;&&
&&&&&&（2）3-3=1/27；&&&&&&
（3）84/3=16；&&&&&&
（4）5a =15.
例2.将下列对数式写成指数式：
log1/216= —4；（2）log3243=5;
（3）log327=3; （4）lg0.1=—1.
例3.求下列各式的值：
log525；（2）log1/232;
（3）3log310;
（4）ln1；（5）log77.
习题3—4，A组每1，2题
四．课外延伸
对数的发明者：布尔基与耐普尔
数学史册上的对数发明者是两个人：英国的约翰·耐普尔（John
Naeipr，）和瑞士的乔伯斯特·布尔基（Jobst
B&rgi，）．
布尔基原是个钟表技师，1603年被选为布拉格宫庭技师后，开始与著名的天文学家开普勒接触，了解到天文学计算的一些具体情况．他体察天文学家的辛劳，并决定为他们提供简便的计算方法．布尔基所提出的简便计算方法就是一张实用的对数表．从原则上说，史提非已经解决了将乘（除）运算转为加（减）运算的途径.但是史提非所给出的两个数列中的数字十分有限,它不能付之于实用，实用的对数表必须包括所有要乘的数在内．耐普尔原是苏格兰的贵族．生于苏格兰的爱丁堡，十二岁进入圣安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院学习．十六岁大学尚未毕业时又到欧洲大陆旅行和游学，丰富了自己的学识．耐普尔虽不是专业数学家，但酷爱数学，他在一个需要改革计算技术的时代里尽心尽力．正如他所说：“我总是尽量使自己的精力和才能去摆脱麻烦而单调的计算，因为这种令人厌烦的计算常使学习者望而生畏．”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”，而为制作对数表他花了整整20年时间．对数产生于17世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确定航程和船舶的位置，为了适应天文事业的发展，需要处理观测行星运动的数据，就是为了解决很多位数的数字繁杂的计算而产生了对数．恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价．
2.对数函数概念、图像及性质
【教学目标】
1.知识与技能
（1）掌握对数函数的概念。
（2）根据对数函数图象探索并理解对数函数的性质。
2.过程与方法：
（1）通过对对数函数的学习，渗透数形结合的思想。
（2）能够用类比的观点看问题，体会知识间的有机联系。
3.情感态度与价值观：
（1）培养学生观察、分析能力，从特殊到一般的归纳能力。
（2）培养学生的合作交流、共同探究的良好品质，调动学生学习数学的积极性。
【教学重难点】
重点：对数函数的定义、图像、性质
难点：对数函数与指数函数的关系
【教学过程】
一、支架引导
1.锚式问题：
某种细胞分裂时，得到的细胞的个数 是分裂次数 的函数，这个函数可以用指数函数 = 表示。
现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数就是要得到的细胞个数的函数
根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是 。
2.先行组织者：
方法性组织者：类比、对比、猜想、归纳、总结
二．梯次探究
1.链式问题1：对数函数的概念
我们在 = 与 这两个式子中，对数式 可由指数式 =
得到，像这样，对于任意的一个y∈(0,+∞),通过，x∈R中都有唯一确定的值和他对应，即可以把y作为自变量，x作为y的函数，这是我们就说是函数
= 的反函数。如果用 表示自变量，表示函数，这个函数就是 。对数函数 与指数函数 互为反函数。
一般地，我们把函数叫做对数函数。我们知道指数函数的定义域为（-∞，+∞），值域为（0，+∞）。由反函数的定义我们可以推出对数函数的定义域为（0，+∞），值域为（-∞，+∞）。而底数a与指数函数中的a是相同的，所以限制条件也同为a&0，a≠1
① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如： ，
&都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
②对数函数对底数的限制：
2．链式问题2.
对数函数的图像
在同一坐标系中画出下列对数函数的图象：
（1）①
；&&&&&&&&&
② ；
做图步骤：列表、描点、用平滑曲线连结起来
学生练习：
（2）③
&&&&&&&&&&&④
思考：这些函数的图象有什么关系？
类比底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 轴对称，得出底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 轴对称
同理我们也可以画出底数为 ……等等的对数函数图象，我们不难发现如下共同特征：
3.链式问题3：
类比指数函数图象和性质，研究对数函数图象和性质
(1)过定点：（1，0）即 时，
(2)单调性：在 上是增函数
在 上是减函数
(3)最值：没有最值
(4)奇偶性：不具有奇偶性
与 的对应关系
三．运用质疑
1.典例分析
&例1.求下列函数的定义域
(1) y=loga(2x-3)&& (2)
y=loga(9-x2)
首先我们观察这两个函数，都是限制了真数，那我们就可以由对数的真数大于0得出定义域
注意对数中真数和底数的限制
例2.利用对数函数单调性比较下列各组数的大小
& (1) loga 5.1,
&&loga5.9&&
(2) log67,&&
我们先看第一题，这两个对数的底数都是a,那我们对a的大小进行讨论就可以比较出两个数的大小了。再看第二题&
两个对数的底数与真数都不相同，那我们就只能与特殊值比较了，很明显，第一个数log67&log66&1，第二个数log7677&1。
2.练习：课本91页练习2，3，4题
3.作业：习题3—5 A组1，2，3题
本节课主要学习了以下内容：对数函数的概念、图像和性质。
（1）函数定义域的求法；
（2）会比较两对数的大小。
（一）同底数比较大小时
1、当底数确定时，则可由函数的单调性直接进行判断。
2、当底数不确定时，应对底数进行分类讨论
（二）同真数的比较大小, 常借助函数图象进行比较
（三）若底数、真数都不相同,& 则常借助1、0等中间量进行比较
四．课外延伸
比较底数与真数均不相同的两个对数的大小时，应借助中间量，比如log23与log0.52比较大小，log23大于0，log23小于0，借助中间量0发现log23&log0.52。
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