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极、柱坐标系下第一、二类边界条件Poisson方程配置点谱方法求解器的研究
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极、柱坐标系下第一、二类边界条件Poisson方程配置点
官方公共微信拉普拉斯方程
拉普拉斯方程
皮埃尔-西蒙·拉普拉斯
&· &· &·
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[显示]多元微积分
[显示]微分方程
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拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种。因为由法国数学家首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是、、和等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以的形式描写了、和等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。[1]:619ff
1 定义2 边界条件3 二维拉普拉斯方程
3.1 解析函数3.2 流体动力学3.3 静电学
4 三维拉普拉斯方程
4.1 基本解4.2 格林函数4.3 圆球壳案例
5 参见6 参考文献7 外部链接
三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶的实函数φ：
这组方程常常又写为
其中，div表示的（结果是一个），grad表示标量场的（结果是一个）。
这方程又可写为
其中，Δ称为。
拉普拉斯方程的解称为。[1]:671-672 如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即
则该方程称为。拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的。偏微分算子或（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为。
边界条件[]
对于二维（内半径r=2、外半径R=4），满足（u(r=2)=0、u(R=4)=4sin(5*θ)）的拉普拉斯方程的电脑绘图。
拉普拉斯方程的可归结为求解在区域内定义的函数φ，使得在的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。[2]:37-38
拉普拉斯方程的不直接给出区域边界处的温度函数φ本身，而是φ沿的边界法向的。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。[2]:37-38
拉普拉斯方程的解称为，此函数在方程成立的区域内是。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数的任意同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为。可以根据该原理将各种通解线性组合起来，以满足所有边界条件。[1]:124-130
二维拉普拉斯方程[]
两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：
解析函数[]
解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若 z = x + iy，并且
那么 f(z) 是解析函数的是 u(x,y)，v(x,y) 可微，且满足下列：[1]:671-672
上述方程继续求导就得到
所以 u 满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得 v 同样满足拉普拉斯方程。
反之，给定一个由解析函数（或至少在某点及其邻域内解析的函数）f(z) 的实部确定的调和函数，若写成下列形式：
成立就可使得柯西-黎曼方程得到满足。上述关系无法确定ψ，只能得到它的微增量表达式：
φ 满足拉普拉斯方程意味着 ψ 满足可积条件：
所以可以通过一个线积分来定义 ψ。可积条件和的满足说明线积分的结果与积分经过的具体路径无关，仅由起点和终点决定。于是，我们便通过方法得到了 φ 和 ψ 这一对拉普拉斯方程的解。这样的解称为一对共轭调和函数。这种构造解的方法只在局部（复变函数 f(z)） 的解析域内）有效，或者说，构造函数的积分路径不能围绕有 f(z) 的。譬如，在平面 (r,θ) 上定义函数
那么相应的解析函数为
在这里需要注意的是，极角 θ 仅在不包含原点的区域内才是单值的。
拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导（这是解析函数的一个性质），因此可以展开成形式，至少在不包含奇点的圆域内是如此。这与的解形成鲜明对照，后者包含任意函数，其中一些的可微分阶数是很小的。
幂级数和之间存在着密切的关系。如果我们将函数 f 在复平面上以原点为中心，R 为半径的圆域内展开成幂级数，即
将每一项系数适当地分离出实部和虚部
这便是 f 的傅里叶级数。这些三角函数自身也可以用展开。
流体动力学[]
设 、 分别为满足、和条件的流体速度场的
方向分量（这里仅考虑二维流场），那么不可压缩条件为：[3]:99-101
无旋条件为：
若定义一个标量函数 ，使其微分满足：
那么不可压缩条件便是上述微分式的可积条件。积分的结果函数
称为，因为它在同一条上各点的值是相同的。 的一阶偏导为：
无旋条件即令
满足拉普拉斯方程。 的共轭调和函数
称为。柯西-黎曼方程要求
所以每一个解析函数都对应着平面内的一个定常不可压缩无旋流场。解析函数的实部为速度势函数，虚部为流函数。
根据，二维空间中不随时间变化的电场 (u,v) 满足：[4]:83
其中 ρ 为。第一个麦克斯韦方程便是下列微分式的可积条件：
所以可以构造电势函数 φ 使其满足
第二个麦克斯韦方程即：
这是一个，当空间不包含自由电荷时，方程等号右边变为0，方程变为拉普拉斯方程。
三维拉普拉斯方程[]
拉普拉斯方程的基本解满足
其中的三维代表位于的一个点源。
由基本解的定义，若对u作用拉普拉斯算子，再把结果在包含点源的任意体积内积分，那么
由于坐标轴旋转不改变拉普拉斯方程的形式，所以基本解必然包含在那些仅与到点源距离r相关的解中。如果我们选取包含点源、半径为a的球形域作为积分域，那么根据[1]:318-322
求得在以点源为中心，半径为r的球面上有
经过类似的推导同样可求得二维形式的解
格林函数[]
是一种不但满足前述基本解的定义，而且在体积域V的边界S上还满足一定的边界条件的基本解。譬如，可以满足
现设u为在V内满足泊松方程的任意解：
且u在边界S上取值为g，那么我们可以应用（是高斯散度定理的一个推论），得到[1]:652-659
un和Gn分别代表两个函数在边界S上的法向导数。考虑到u和G满足的条件，可将这满足狄利克雷边界条件的公式化简为
所以格林函数描述了量f和g对点函数值的影响。
圆球壳案例[]
格林函数在半径为a的球面内的点上得值可以通过求得：距球心ρ的源点P的通过球面的“反射镜像”P' 距球心
需要注意的是，如果P在球内，那么P'将在球外。于是可得格林函数为
其中，R表示距源点P的距离，R' 表示距镜像点P' 的距离。从格林函数上面的表示式可以推出泊松积分公式。设ρ、θ和φ为源点P的三个分量。此处θ按照物理学界的通用标准定义为坐标矢径与竖直轴（z轴）的夹角（与欧洲习惯相同，与美国习惯不同）。于是球面内拉普拉斯方程的解为：[2]:64-65
这个公式的一个显见的结论是：若u是调和函数，那么u在球心处的取值为其在球面上取值的平均。于是我们可以立即得出以下结论：任意一个调和函数（只要不是常函数）的最大值必然不会在其定义域的内部点取得。
参考文献[]
^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Boas, Mary. Mathematical Methods in the Physical Sciences 3rd. Wiley. 2005. &.^ 2.0 2.1 2.2 Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc., 1999, &^ Batchelor, George. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. &.^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall, 1998, &
严镇军编，《数学物理方程》，第二版，中国科学技术大学出版社，合肥，2002，/O·177L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. I. G. Petrovsky, Partial Differential Equations, W. B. Saunders Co., Philadelphia, 1967.A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. A. Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics, Academic Press, New York, 1949.Pijush K.Kundu, Fluid Mechanics, Academic Press, 2002.
外部链接[]
在EqWorld网站上的介绍（专门介绍数学方程的网站，英文）。<网站上使用拉普拉斯方程解题的例子（英文）。
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拉普拉斯方程（Laplace's equation），又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以的形式描写了、和流场等物理对象（一般统称为“”或“有势场”）的性质。[1]
方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用
R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面大小有关，可表示为：
，式中γ是。该公式成为拉普拉斯方程。
在数理方程中
拉普拉斯方程为：
为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ：
其中 Δ 称为拉普拉斯算子.
拉普拉斯方程的解称为。
如果等号右边是一个给定的函数f(x,y,z)，即：
则该方程称为泊松方程。 拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的。偏或
Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
狄利克雷问题
拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得在D的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。
诺伊曼边界条件
拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界）。
称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意），这两个函数之和（或任意形式的）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。[2]
两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：
解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。换言之，若z=x+iy，并且
那么f(z)是解析函数的是它满足下列柯西-黎曼方程：
上述方程继续求导就得到
所以u满足拉普拉斯方程。类似的计算可推得v同样满足拉普拉斯方程。
反之，给定一个由解析函数（或至少在某点及其邻域内解析的函数）f(z)的实部确定的调和函数，若写成下列形式：
成立就可使得柯西-黎曼方程得到满足。 上述关系无法确定ψ，只能得到它的微增量表达式：
φ满足拉普拉斯方程意味着ψ满足可积条件：
所以可以通过一个线积分来定义ψ。可积条件和的满足说明的结果与积分经过的具体路径无关，仅由起点和终点决定。于是，我们便通过方法得到了φ和ψ这一对拉普拉斯方程的解。这样的解称为一对共轭调和函数。这种构造解的方法只在局部（复变函数f(z)）的解析域内）有效，或者说，构造函数的积分路径不能围绕有f(z)的。譬如，在平面(r,θ)上定义函数
那么相应的解析函数为
在这里需要注意的是，极角θ仅在不包含原点的区域内才是单值的。
拉普拉斯方程与解析函数之间的紧密联系说明拉普拉斯方程的任何解都无穷阶可导（这是解析函数的一个性质），因此可以展开成形式，至少在不包含奇点的圆域内是如此。这与的解形成鲜明对照，后者包含任意函数，其中一些的可微分阶数是很小的。
幂级数和傅里叶级数之间存在着密切的关系。如果我们将函数f在复平面上以原点为中心，R为半径的圆域内展开成幂级数，即
将每一项系数适当地分离出实部和虚部
这便是f的傅里叶级数。
流场中的应用
设u、v分别为满足定常、不可压缩和无旋条件的流体速度场的x和y方向分量（这里仅考虑二维流场），那么不可压缩条件为：
无旋条件为：
若定义一个ψ，使其微分满足：
那么不可压缩条件便是上述微分式的可积条件。积分的结果函数ψ称为，因为它在同一条上各点的值是相同的。ψ的一阶偏导为：
无旋条件即令 ψ 满足拉普拉斯方程。ψ的共轭调和函数称为。 柯西-黎曼方程要求
所以每一个解析函数都对应着平面内的一个定常不可压缩无旋流场。解析函数的实部为速度，为流函数。
电磁学中应用
二维拉普拉斯方程可以用有限差分法进行近似计算。首先把求解的区域划分成网格，把求解区域内连续的场分布用求网格节点上的离散的数值解代替。
根据，二维空间中不随时间变化的电场(u,v)满足：
其中ρ为电荷密度。第一个方程便是下列微分式的可积条件：
所以可以构造电势函数φ使其满足
第二个麦克斯韦方程即：
这是一个。[3]
泊松方程或拉普拉斯方程一般是三维的偏微分方程，只有带电体的场呈“球、柱”形对称时，三维方程才退化为低维的微分方程。通过分离变量法可以得到方程的级数解。
拉普拉斯方程的基本解满足
其中的三维δ函数代表位于的一个点源。 由的定义，若对u作用拉普拉斯算子，再把结果在包含点源的任意体积内积分，那么
由于坐标轴旋转不改变拉普拉斯方程的形式，所以基本解必然包含在那些仅与到点源距离r相关的解中。如果我们选取包含点源、半径为a的球形域作为积分域，那么根据高斯散度定理
求得在以点源为中心，半径为r的球面上有
经过类似的推导同样可求得二维形式的解
格林函数
是一种不但满足前述基本解的定义，而且在体积域V的边界S上还满足一定的边界条件的基本解。譬如，可以满足
现设u为在V内满足泊松方程的任意解:
且u在边界S上取值为g，那么我们可以应用（是高斯散度定理的一个推论），得到
un和Gn分别代表两个函数在边界S上的法向导数。考虑到u和G满足的条件，可将上式为
所以格林函数描述了量f和g对(x',y',z')点函数值的影响。格林函数在半径为a的球面内的点上得值可以通过镜像法求得（Sommerfeld, 1949）：距球心ρ的源点P的通过球面的“反射镜像”P'距球心
需要注意的是，如果P在球内，那么P'将在球外。于是可得格林函数为
式中R表示距源点P的距离，R'表示距镜像点P'的距离。从格林函数上面的表示式可以推出泊松。设ρ、θ和φ为源点P的三个球坐标分量。此处θ按照物理学界的通用标准定义为坐标矢径与竖直轴（z轴）的夹角（与欧洲习惯相同，与美国习惯不同）。于是球面内拉普拉斯为：
这个公式的一个显见的结论是：若u是调和函数，那么u在球心处的取值为其在球面上取值的平均。于是我们可以立即得出以下结论：任意一个调和函数（只要不是）的最大值必然不会在其的内部点取得。
拉普拉斯，日生于法国西北部的博蒙昂诺日，曾任巴黎军事学院数学教授。1795年任巴黎综合工科学校教授，后又在高等师范学校任教授。1799年他还担任过法国经度局局长，并在拿破仑政府中任过6个星期的内政部长。1816年被选为院士，1817年任该院院长。日卒于巴黎。拉普拉斯在研究天体问题的过程中，创造和发展了许多数学的方法，以他的名字命名的、和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。
拉普拉斯曾任拿破仑的老师，所以和结下不解之缘。拉普拉斯在数学上是个大师，在政治上是个小人物、墙头草，总是效忠于得势的一边，被人看不起，拿破仑曾讥笑他把的精神带到内阁里。在席卷法国的政治变动中，包括拿破仑的兴起和衰落，没有显著地打断他的工作。尽管他是个曾染指政治的人，但他的威望以及他将数学应用于军事问题的才能保护了他，同时也归功于他显示出的一种并不值得佩服的在政治态度方面见风使舵的能力。[4]
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淘豆网网友近日为您收集整理了关于基于CUDA的二维泊松方程快速直接求解的文档，希望对您的工作和学习有所帮助。以下是文档介绍：第 40卷第 1O期 2013年 10月计算机科 puter Science Vo1.40 No.10 Oct 2013 基于 CUDA 的二维泊松方程快速直接求解岳小宁k。 肖炳甲 罗正平(中国科学技术大学核科学技术学院 合肥 230027) (中国科学院等离子体物理研究所计算机应用研究室合肥 230031)。摘要二维泊松方程离散化之后可以转化为一个具有特殊格式的块三对角方程的求解问题,通过对这一结构化线性方程组的研究,提出了一个适用于统一计算架构(CI
A)的泊松方程并行算法。该算法通过离散正弦变化,可以将计算任务划分为若干相互独立的部分进行求解,各部分求解完成后再通过一次离散正弦变换即可获得最终解,整个求解过程只需要两次全局通信。结合 GPU 的硬件特征进行优化之后,该算法相比 CPU上的串行算法可以获得 1O倍以上的加速比。关键词泊松方程,统一计算架构,并行计算,块三对角方程中图法分类号 TP301.6
文献标识码 A Fast 2-dim ension Poisson Direct Solver Based Oil CUDA YUE Xiao-ning '
XIAO Bing-jia2
LUO Zheng-ping2 (school of Nuclear Science and Technology,University of Sc ience and Technology of China,Hefei 230027,China) (Department of puter Science,Institute of Plasma Physics,Chinese Academy of Sciences,Hefei 230031,Ch ina)。 Abstract
The finite difference approximation of two-dimension po isson equation would create a block-tridiagonal equa- tion system.An algorithm which is suitable with pute Unified Device Architecture(CUDA)was proposed. Through a discrete sine transform,putation task could be divided into pletely independent parts,af- ter solving these parts in parallel,the final result could be obtained through another discrete sine transforn￣Only two global synchronizing
is needed during
putation.After carefully optim ized,an acceleration rate of more than 10 tim es is obtained. Keywords
Poisson equation,Co mpute unified device architecture,puting,Block-tridiagonal equation 1 概述许多物理或者工程问题,如静电学中的电磁场求解,以及等离子体物理中的磁流体平衡求解等,最终都可以转化为对泊松方程的求解。二维泊松方程的基本形式如式(1)所示: +
一 ㈣ 方程的右侧称为源项。绝大多数的二维泊松方程是没有解析解的,因此需要通过离散的方式来进行数值求解。利用有限差分法进行离散化之后,泊松方程的求解可以转化为一个稀疏矩阵的求解问题,这一矩阵可以应用迭代法,如 s0R 方法,或者直接法,如 Cholesky分解方法(离散后的稀疏矩阵为正定对称矩阵)等方法求解l_1]。本文介绍的并行算法是基于一种特殊的线性方程直接解法,这一算法的串行时间复杂度为 0(NlogN),其中 N 为离散后的格点总数。某些应用需要在很短时间以内完成泊松方程的求解,例如聚变实验装置托卡马克的位型控制,往往需要在 lms以内提供一次控制命令,而每次的控制量都需要通过求解 Grad- Shafranov方程(类二维泊松方程)来获得[2]。为了保证较高的控制精度,理想的离散化网格规模为 65×65或更高[3]。然而以 65×65的离散规模为例,在现代计算机上仅 GS方程的串行求解就需要 1ms以上的时间。因此有必要探寻求解泊松方程的并行算法。基于传统架构的泊松方程并行化研究已有很多[4 ],这些研究大多基于迭代法以及其他的直接分解算法,取得的加速比依然较小(&2)。本文介绍了一种基于 CUDA架构和离散正弦傅里叶变化方法(
的泊松方程并行求解方法。 2
CUDA架构图形处理器(G】)U)最初是为了提高计算机图形图像处理能力而设计的。基于这一设计目标,GPU 的硬件结构非常适合处理高并发的计算任务,GPU 往往比同时代的 CPU 拥有更高的浮点运算能力。统一计算架构(c切)A)是英伟达提出的一种并行计算架构,通过 CUDA可以利用熟悉的高级语言(如 C语言)编写在到稿日期: 返修日期:2013—03一II
本文受国家科技部“973”项目 ITER计划专项(国内配套研究)(2O12GB1O500O),国家自然科学基金()资助。岳小宁(1988一),男,硕士生,主要研究方向为并行计算,E-mail:yxn@ma il.ustc.;肖炳甲(1966一),男,博士,研究员,主要研究方向为计算机应用、等离子体控制;罗正平男,博士,助理研究员,主要研究方向为等离子体控制。·21 · GPU 上运行的程序。GPU上运行的程序与传统架构上的程序相比会拥有更多的限制。为了充分发挥 GPU 的运算能力,必须注意一定的优化原则。其中最重要的几点包括: 1)尽量增强算法的并行性,减少不必要的通信; 2)尽量减少并行对全局存储器(Global Memory)的读写操作; 3)尽量减少内存与显存之间的数据传送。除此之外,还有一些次要的优化原则也必须注意,具体的内容在文献[7]中有详细描述。 3 算法描述 3.1 算法原理描述该算法的基本思想最早在文献[8,9]中提出,在 FI￣I&算法出现后,该算法的应用价值进一步提高。其基本思想为,在一个矩形区域内对式(1)进行离散化求解,设 z方向和方向的格点数目分别为优+2和+2,则 z方向和 Y方向的步长可以表达为: 一 Ay=
对式(1)进行五点差分,如式(3)所示: L
‰+I 6 U a, b.1 个Y 图 1 五点差分示意图采用狄拉克边界条件,假设所有边界点处的值均已知。设: ——Ayz ‘一 ui==( 1,j
U2,j …‰, ) 则差分形成的线性方程组可以表示为: A
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下载所得到的文件列表基于CUDA的二维泊松方程快速直接求解.pdf
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第 40卷第 1O期 2013年 10月计算机科 puter Science Vo1.40 No.10 Oct 2013 基于 CUDA 的二维泊松方程快速直接求解岳小宁k。 肖炳甲 罗正平(中国科学技术大学核科学技术学院 合肥 230027) (中国科学院等离子体物理研究所计算机应用研究室合肥 230031)。摘要二维泊松方程离散化之后可以转化为一个具有特殊格式的块三对角方程的求解问题,通过对这一结构化线性方程组的研究,提出了一个适用于统一计算架构(CI
A)的泊松方程并行算法。该算法通过离散正弦变化,可以将计算任务划分为若干相互独立的部分进行求解,各部分求解完成后再通过一次离散正弦变换即可获得最终解,整个求解过程只需要两次全局通信。结合 GPU 的硬件特征进行优化之后,该算法相比 CPU上的串行算法可以获得 1O倍以上的加速比。关键词泊松方程,统一计算架构,并行计算,块三对角方程中图法分类号 TP301.6
文献标识码 A Fast 2-dim ension Poisson Direct Solver Based Oil CUDA YUE Xiao-ning '
XIAO Bing-jia2
LUO Zheng-ping2 (school of Nuclear Science and Technology,University of Sc ience and Technology of China,Hefei 230027,China) (Department of puter Science,Institute of Plasma Physics,Chinese...
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椭圆型偏微分方程的方程
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当在有光滑 边界的域上用高于一阶精度的方法求解问题时这是必 要的。椭圆型偏微分方程：调和函数在区域内任何点的值，且 需要特殊的解法([l]). 有限差分法和有限元法导致有稀疏系数矩阵的高 阶线性代数方程组，可由这函数在区域界面上的值以及法线微商来表示，开始用一种非退化变换把问题中 的有限元映射到一种标准型上(在目前情况下映射到 边平行于坐标轴的矩形上)://g. 除三角形有限元外人们也利用四边形有限元. 闰卿坛刀，是球面坐标，j0）是积分的变元，当四边形的边不平行于坐标轴时，uT。由).用离散点(结点)集代 替原问题中自变量连续变化的区域.hiphotos.hiphotos，（3）所定出的函数在S之外处满足（1），数值方法L函州允.人们可以利用曲 边三角形和四边形(又要用到等参技术)partial differential equation of elliptic type 椭圆型变微分方程其典型代表是拉普拉斯方程与泊松方程（称Δu为拉普拉斯算子）Δu=－4πρ（x.后者是不适定的.然 而。- ，j）的点有其中（θ0。椭圆型方程的理论已相当完整，j0）交角的余弦;人们可以压缩这些矩阵中大部分 零元素(见【川。cosυ是方向（θ，或更一般地。应用格林公式得这说明。.在计算实践中网格法是最广为 传播的.baidu，其中S是一个曲面，而是在逐片二次函数空间中，它是以ρ为密度的体位势当ρ在Ω内连续可微时，theoryof)，θ，州目成压城别白，在逐 片多项式函数空间中去寻求.虽然这些方法 构造近似解的途径不同—前者逼近方程和边界条件 (见微分边值问题的差分边值问题逼近(approx止扭tionof a di漩比nt妞boundary耐ue problon bydiffi泊泊份bot川户 血州稚lue problen犯)).jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="http，必须使用等参 数技术.在对椭 圆型方程提出的各类问题中，差分格式理论(differenCe schem留.通常这种方法适用于高于二阶的 椭圆型偏微分方程问题.com/zhidao/wh%3D600%2C800/sign=aee118c8d32ae0d6b85e5d2/4bed2e738bd4b31c49b99c6e80dff85a;用差分关系逼近出现在微分方程和边 界条件中的导数.于是微分方程的边值问题就被一个 代数方程组(一种差分格式(differen沈岌为~))所取 代.hiphotos，而后者逼近所求解的本身— 然而最终确定近似解的代数方程组常常基于类似的想 法，.如果所得到的差分边值问题是可解的(可能在足 够细的网格上)并且如果在充分加细的网格上<a href="http. 椭圆型偏微分方程.jpg" esrc="http，也就是说，这里k是所用多 项式的次数，在这类方法中不在原来空间 的子空间中寻求解，j）和（θ0!5」)和有限元方法(见【6」一【91)，μ为定义在S上的连续函数.对椭圆型方程比较典型的提 法是边值问题，这个变换的逆由标准有 限单元上近似解同样的函数给出，【12】). 除r卸ePKHH类型的有限元法外, numerical methods较高的精度，必须不在逐片线性函数空间中寻求近似 解，非齐次方程（即泊松方程）（2）有重要特解。在单位球上的狄利克雷问题，还有另外一种所 谓的非协调有限元方法，几月， 【4」，由（4）所确定的函数u在Ω内满足（2），并在一些情况下完全一致，并已经提出了很多不同的数值方法求 其近似解(见【2]，其中有有限差分法(见差分法(山玉正泊份n止th，l 近似确定椭圆型偏微分方程解的一种方法. 有限差分法的本质如下.baidu，边值问题和带Q‘勿条 件的问题得到了最透彻的研究:边界元 法([13])，在Ω外满足（1），【31). ;.在这种情况下://g，对球面坐标为（ρ，数值方法Diptic partial differential equation，方程（1）有形如的特解.com/zhidao/pic/item/4bed2e738bd4b31c49b99c6e80dff85a://g.迄今另一种近似求解椭圆型偏 微分方程边值问题的方法已经显著发展起来，y.e皿e叱，倒m州加In州加油，eeKoro Tona ypa，z）（2）拉普拉斯方程的二次连续可微解称为调和函数，对于具 有适当光滑性的解其精度为O(h几).e“e~e MeTo几u Pe山e妞砚.com/zhidao/wh%3D450%2C600/sign=cd836650ceea15ce41bbe80d/4bed2e738bd4b31c49b99c6e80dff85a，并称此离散点集 为网格(颤d)
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