设p是给定的奇素数表，求证无穷多个素数表具...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-19 09:13 标签： 什么是素数
设p为素数,n为任意自然数.求证：(1+n)^p-n^p-1 能被p整除.
费马小定理,对任意自然a, p 有 a^p≡a (mod p)因此 (1+n)^p-n^p-1≡n+1-n-1≡0 (mod p)因此能被p整除
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(1＋n)^P=（n＋1)^p，按照二项式定理展开，其第一项就是n^p，后面还有n项，其中的n－1项都含有p，但最后一项是1，则：(1＋n)^p－n^p－1最后剩下n－1项，每项都含有p，当然可以被p整除。(二项式定理的书写这里就不写了)
扫描下载二维码这是一篇旧文，点击以旧主题模式浏览。数论急求,在线等,有追加：假设p是一个奇素数.证明同余方程x^4≡-1(mod p)有解当且仅当p形如8k+1
lishui0123
很显然这是一道原根题.设g为p的一个原根,那么p的简化剩余系可表示为g^0,g^1,g^2,...,g^phi(p).当然还有个小地方没解释,这个同余方程的解肯定是在p的简化剩余系中的,我想这个你要是也不知道的话估计更不知道什么是原根了,你自己想哦.方程转化为(g^i)^4≡-1.而-1在原根中的唯一表示是g^(phi(p)/2).那么方程再次转化为(g^i)^4≡g^(phi(p)/2).由原根指数的性质知：4i≡phi(p)/2(mod phi(p)).这样就证明了8|phi(p),那么p就有形如8k+1了.呵呵
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设p是一个大于1的整数且具有以下性质：对于任意整数a，b，如果p|ab． 则p|a或p|b证明，p是一个素数(教材中定理1.
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提问人：匿名网友
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设p是一个大于1的整数且具有以下性质：对于任意整数a，b，如果p|ab． 则p|a或p|b证明，p是一个素数(教材中定理1.4.5之逆命题)．
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验证码提交中……求证：如果p是奇素数,那么任何能整除2^p-1的素数q都一定+/-1(mod 8)同余
p是奇素数这个条件有点多余,其实对奇数都成立.证明用到平方剩余的一个结果:引理:对奇素数q,若2是mod q的平方剩余 (即存在整数a使a² = 2(mod q)),则q = ±1(mod 8).由条件2^p = 1(mod q),即有2^(p+1) = 2(mod q).而p是奇数,可取a = 2^((p+1)/2),则a² = 2(mod q),2是mod q的平方剩余.于是q = ±1(mod 8).如果需要补充引理的证明,
为什么由2是mod q的平方剩余就可以推出q=+/-(mod 8)?
若a² = 2 (mod q), 由Fermat小定理有2^((q-1)/2) = a^(q-1) = 1 (mod q).
q是奇素数, 若q ≠ ±1(mod 8), 则q = ±3(mod 8).
只要证明对奇素数q = ±3(mod 8), 有2^((q-1)/2) = -1 (mod q), 即得矛盾.
对q = 8k+3, 在mod q意义下, 有如下2k+1个等式:
1·(8k+1) = -(8k+2)(8k+1)
3·(8k-1) = -(8k)(8k-1)
(4k-1)(4k+3) = -(4k+4)(4k+3)
4k+1 = -(4k+2)
相乘得1·3·...·(8k+1) = -(4k+2)(4k+3)...(8k+2) (mod q).
而2·4·...·(8k+2) = 2^(4k+1)·1·2·...·(4k+1) (mod q).
于是(8k+2)! = -2^(4k+1)(8k+2)! (mod q).
由q是素数, (8k+2)! = (q-1)!与q互素, 两边消去得1 = -2^(4k+1) (mod q).
即2^((q-1)/2) = -1 (mod q).
对q = 8k+5, 在mod q意义下, 有如下2k+1个等式:
1·(8k+3) = -(8k+4)(8k+3)
3·(8k+1) = -(8k+2)(8k+1)
(4k+1)(4k+3) = -(4k+4)(4k+3)
相乘得1·3·...·(8k+3) = -(4k+3)(4k+4)...(8k+4) (mod q).
而2·4·...·(8k+4) = 2^(4k+2)·1·2·...·(4k+2) (mod q).
于是(8k+4)! = -2^(4k+2)(8k+4)! (mod q).
由q是素数, (8k+4)! = (q-1)!与q互素, 两边消去得1 = -2^(4k+2) (mod q).
也即2^((q-1)/2) = -1 (mod q).
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p=3时，显然。p≥4时2^p-1=(2-1)[2^(p-1)+2^(p-2)+......+2^3+2^2+2+1]（因式分解）=[2^(p-1)+2^(p-2)+......+2^3]+7=8[2^(p-4)+....+1]+（8-1）所以2^p-1对一切不小于3 的自然数p，都与-1同余（模8）自然，对一切奇素数p，也都与...
事实上不可能与正1同余。这从上述证明中也能看出来。
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