割圆术_百度百科
3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接的边数求出的方法
割圆术基本介绍
刘徽割圆术示意图片.
割圆术（cyclotomic method）
所谓“割圆术”，是用圆内接的面积去无限逼近圆面积并以此求取的方法。
“圜，一中同长也”。意思是说：圆只有一个中心，圆周上每一点到中心的距离相等。早在我国先秦时期，《墨经》上就已经给出了圆的这个定义，而公元前11世纪，我国西周时期数学家也曾与讨论过圆与方的关系。认识了圆，人们也就开始了有关于圆的种种计算，特别是计算圆的面积。我国古代数学经典《》在第一章“”章中写到“半周半径相乘得积步”，也就是我们现在所熟悉的公式。
为了证明这个公式，我国魏晋时期数学家于公元263年撰写《》，在这一公式后面写了一篇1800余字的注记，这篇注记就是数学史上著名的“割圆术”。
割圆术数学意义
“割圆术”，则是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”。刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。
即通过圆内接细割圆，并使正多边形的无限接近圆的周长，进而来求得较为精确的圆周率。
刘徽发明“割圆术”是为求“圆周率”。那么圆周率究竟是指什么呢？它其实就是指“圆周长与该圆直径的比率”。很幸运，这是个不变的“”！我们人类借助它可以进行关于圆和球体的各种计算。如果没有它，那么我们对圆和球体等将束手无策。同样，圆周率数值的“”，也直接关乎到我们有关计算的准确性和精确度。这就是人类为什么要求圆周率，而且要求得准的原因。
根据“圆周长/圆直径=圆周率”，那么圆周长=圆直径*圆周率=2*半径*圆周率（这就是我们熟悉的圆周长=2πr的来由）。因此“圆周长公式”根本就不用背的，只要有小学知识，知道“圆周率的含义”，就可自行推导计算。也许大家都知道“圆周率和π”，但它的“含义及作用”往往被忽略，这也就是割圆术的意义所在。
由于“圆周率=圆周长/圆直径”，其中“直径”是直的，好测量；难计算精确的是“圆周长”。而通过刘徽的“割圆术”，这个难题解决了。只要认真、耐心地精算出圆周长，就可得出较为精确的“圆周率”了。——众所周知，在中国祖冲之最终完成了这个工作。
割圆术发展历史
中国古代从先秦时期开始，一直是取“”（即圆周与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的，实际上不是圆的周长而是的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。刘徽以为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。
在刘徽看来，既然用“”计算出来的圆周长实际上是的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。这就表明，越是把分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。
按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率 为和 3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。以后到了南北朝时期，在刘徽的这一基础上继续努力，终于使圆周率精确到了以后的第七位。在西方，这个成绩是由法国数学家于1593年取得的,比祖冲之要晚了一千一百多年。祖冲之还求得了圆周率的两个，一个是“” ，另一个是“”.，其中 这个值，在西方是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在16世纪末才得到的，都比祖冲之晚了一千一百年。刘徽所创立的“割圆术”新方法对中国发展的重大贡献，历史是永远不会忘记的。
割圆术基本算法
根据刘徽的记载，在刘徽之前，人们求证时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积。应用，将圆内接正十二边形拼补成一个长方形，借用长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式。刘徽指出，这个长方形是以周长的一半作为长，以圆半径作为高的长方形，它的面积是圆内接正十二边形的面积。这种论证“合径率一而弧周率三也”，即后来常说的“”，当然不严密。他认为，圆内接的面积与圆面积都有一个差，用有限次数的分割、拼补，是无法证明《九章算术》的圆面积公式的。因此刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了。他从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的就是圆面积。刘徽考察了内接多边形的面积，也就是它的“幂”，同时提出了“差幂”的概念。“差幂” 是后一次与前一次割圆的差值，可以用图中阴影部分三角形的面积来表示。同时，它与两个小黄三角形的面积和相等。刘徽指出，在用圆内接逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间有一段余径。以余径乘正多边形的边长，即2倍的“差幂”，加到这个正多边形上，其面积则大于圆面积。这是圆面积的一个序列。刘徽认为，当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时，“则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。”就是说，余径消失了，余径的长方形也就不存在了。因而，圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积。于是内外两侧序列都趋向于同一数值，即，圆面积。
利用圆内接或正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周。早在公元前5世纪，古希腊学者为了研究就设计一种方法：先作一个圆内接，以此为基础作一个圆内接，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等，直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方问题。到公元前3世纪，古希腊科学家在《论球和圆柱》一书中利用建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小。阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十 ，还说与外切面积之比为11：14，即取圆周率等于22/7。公元263年，中国数学家刘徽在《》中提出“割圆”之说，他从开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为3.14或157/50，后人称之为。书中还记载了圆周率更精确的值（等于3.1416）。刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。其思想与古希腊不谋而合。割圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家用2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果。分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的一直为人们所称道。
圆周率的三角函数算法
=lim(n→∞）1/2*sin(360°/n)*n
割圆术思想价值
在证明这个圆面积公式的时候有两个重要思想，一个就是我们现在所讲的极限思想。那么第二步，更关键的一步，他把与合体的这个，就是不可再割的这个正多边形，进行无穷小分割，再分割成无穷多个以圆心为顶点，以多边形每边为底的无穷多个小等腰三角形，这个底乘半径为小三角形面积的两倍，把所有这些底乘半径加起来，应该是的两倍。那么就等于圆周长乘半径等于两个圆面积。所以一个圆面积等于半周乘半径，所以刘徽说故半周乘半径而为。那么他的原话就是“以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂”。最后完全证明了圆面积公式， 　证明了圆面积公式，也就证明了“周三径一”的不精确。随着圆面积公式的证明，刘徽也创造出了求圆周率精确近似值的科学程序。在刘徽之前家阿基米德也曾研究过求解圆周率的问题。
刘徽所处的时代是社会上，特别当时是魏、蜀、吴三国割据，那么在这个时候中国的社会、政治、经济发生了极大的变化，特别是思想界，文人学士们互相进行辩难，所以当时成为辩难之风，一帮文人学士找到一块，就像我们大专辩论会那样，一个正方一个反方，提出一个命题来大家互相辩论，在辩论的时候人们就要研究讨论关于辩论的技术，思维的规律，所以在这一段人们的思想解放，应该说是在春秋战国之后没有过的，这时人们对思维规律研究特别发达，有人认为这时人们的抽象思维能力远远超过春秋战国。 　刘徽在《九章算术注》的自序中表明，把探究数学的根源，作为自己从事数学研究的最高任务。他注《九章算术》的宗旨就是“析理以辞，解体用图”。“析理”就是当时学者们互相辩难的代名词。刘徽通过析数学之理，建立了中国传统数学的理论体系。众所周知，古希腊数学取得了非常高的成就，建立了严密的演绎体系。然而，刘徽的 “割圆术”却在人类历史上首次将和无穷小分割引入，成为人类文明史中不朽的篇章。各种形状的宝石切割
切工（也就是宝石切割机的工序）就是将生石转变成宝石的过程。通过这一过程使宝石具有一定的形状、赋予其光彩与色泽，从而镶嵌于珠宝中。
不同于金刚石的是，彩色的宝石拥有变化的光学特性，不能切割成一致的理想模式。一个切工好的彩色宝石，当从上面观察时，应能展现出均匀的色泽、可接受的瑕疪、良好的光泽度，并显示出绝大部分的克拉重量。
广义地说，宝石切割法可分为刻面宝石（具有几何形状的平抛光面的宝石）和非刻面宝石（这些宝石没有几何形状的平抛光面，诸如凸面宝石）
宝石切割大部分依赖于生宝石的形状（指来自于地球内部的未加工的宝石形状）。对于完美的彩色生石而言，椭圆形切割总的来说是最佳切割，因为这样的形状可以最大化地产生美感。当选择将以另一形状对宝石进行刻面时，要考虑的因素包括设计美学、瑕疪以及颜色。
圆钻形切割
Round来源于英语单词"rounden"，意思为“奥秘”。圆钻形切割也称为圆形切割、美国理想式切割或者美国标准切割。圆钻形切割的宝石的标准刻面数为57。
俄罗斯天才科学家马歇尔.托尔科夫斯基计算出为达到理想的钻石形状所需要的切割。托尔科夫斯基圆钻形切割的高度为钻石直径的58％，台面百分比为43%,深度百分比为14％，58％可能是这一宝石最关键的尺度。这种切割法从视觉角度最有成效。圆形切割法为很圆的钻石以及生宝石来说提供了最好的复原；这可以转化为客户所要的好价值。
圆钻形切割法旨在提供最大的光学效果，发出光辉，不停地闪烁，使宝石在光线下耀眼夺目，如旗般轻舞飞扬。这一切割法的制定特别适用于钻石，但如今已普遍用于所有类型宝石。
椭圆形切割
椭圆来自于拉丁词"vum"，意思是“卵”。椭圆形切割宝石的标准刻面为69。当从上面观察时，呈椭圆形。就椭圆形切割而言，尽管长度与宽度比轻微地取决于不同型号宝石的光学特性，但两者间的比应约2：1。
一枚切工很好的椭圆形宝石可以几乎与圆钻形切割一样光彩夺目。如果比例恰当，光彩夺目，火彩耀眼，椭圆形切割会具有特别美的外形。
长阶梯形切割
长阶梯来自于意大利词“bacchetta”，意思为“杆或棒”。
T长阶梯形切割的刻面数约为20。
长阶梯形宝石就是一种特别的长方形。大多数长方形切割为“阶梯状”切割，这意味着台面被切割成台阶状，台面与边缘平行，呈现顶部被削去后的金字塔形。底部与台面与三角形刻面成正方形。长阶梯形切割最适合于象电气石这样的形态粗糙的宝石类型。
对于美国本土民族纳瓦霍人来说，长阶梯形象征着妇女的外形、智慧与神圣的沉思。
正方形切割
正方形来自于拉丁语中的一个通俗词汇“exquadra”，意思为“正方形”。正方形切割的标准刻面数为57。正方形切割实际上就是一种特殊的长方形切割，只是其中的所有的边长度相等而已。
大多数长方形切割为“阶梯状”切割，这意味着台面被切割成台阶状，台面与边缘平行，呈现顶部被削去后的金字塔形。
有些人认为这种切割是一种平等、公平的思想，是正义、秩序、满足与真理的象征。
三角形切割
三角形切割的标准刻面数为43。三角形切割宝石基于三角形。通常将角截去，显示出千变万化的刻面设计，这一切割法首创了气势壮观的楔形体，火彩光彩夺目。
三角形切割的顶点与底小面，突出且薄。尽管做成三角形可以使顶点更好地发挥作用，将宝石的光彩更多的展现出来，但是许多珠宝商们仍然只做成包镶三角形。
当你透视宝石时，底小面通常显现在台宽的中间，显示出具有均匀性的宝石亭部。当你由侧面观察时，腰部与台面大致平行。亭部的主要刻面通常由垂直的底小面延伸至刻面与腰部相交处。
由于各边相等，三角形切割能反射大部分的光与颜色。这样的宝石被视作如圆钻形切割一样的光泽效果，因此对于那些钟爱鲜明色彩的、但是只想要非圆形的宝石顾客来说，这给他们提供了极大的选择。
在三角形切割中，良好的抛光度有助于获得最大化的光泽与闪烁度。对于淡色宝石来说，适合于进行三角形切割，诸如，钻石、海蓝宝石、绿柱石以及白金蓝宝石，通过三角形切割，可以使这些宝石尽量放射出光辉。
相反，有些切工匠使用三角形切割法来有效地增强外表颜色较深宝石的光泽度与亮度，这样的宝石包括：丹泉石、锰铝榴石、红榴石以及紫水晶。
这一方法产生于阿姆斯特丹，依据特别宝石的自然特性以及切工匠的个人偏好不同，三角形切割的设计也不同，可能会成为传统三角形，带有尖角或者在钻冠上带有25个刻面、亭部有19个刻面、以及可能带有腰部的形状更圆的三角形。
梨形切割的标准刻面数为71。这是一种混合切割法，结合了椭圆形切割与榄尖形的优点，切割的宝石形状象一颗晶莹剔透的泪珠。
尽管取决于每块宝石类型的光学特性，需要作出相应的变化，梨形切割通常应有很好的深度，诸如应有1.5：1的长宽比，以获得极佳的外观，成为人见人爱的宝石。
就戒指而言，这种切割对于小而长的手指来说，能为手倍添美感。用于垂饰与耳饰，更显美观。在梨形切割的宝石中，颜色也颇为引人注目
八角形切割
八角形切割宝石的标准刻面数为53。这是另一种四个角具有一定规格要求的“梯形”切割。阶梯上的刻面与宝石的周边平行。这种切割不同于祖母绿切割，其亭部的阶梯长度不等。对于这种切割，颜色宝石美感方面起着非常重要的作用。颜色在八角形切割的宝石方面非常引人注目。
祖母绿切割
祖母绿切割宝石的刻面数为50。祖母绿切割由顶部观察就象截去了角的长方形。随着有阶梯状的刻面，能成为具有非常美的宝石；夺目的光辉会将这些阶梯状角的光彩显示于宝石的亭部之上。
这是另一种“梯形切割”，它有着多层类似于阶梯状并通常为四角或者伸长的刻面。之所以称之为梯形切割，乃因其呈同心而宽阔的平面类以阶梯。
祖母绿型切割与八角形切割不同之处在于亭部阶梯长度相等。外边缘平面可以有呈多种形状。总的来说，长宽比应为1.5：1至1.75：1。
对于这种切割来说，颜色在宝石的美感方面起着非常重要的作用。在祖母绿型切割的宝石中颜色非常引人注目。
祖母绿切割过去主要用于祖母绿，以减少切割期间所形成的巨大压力，从而保护宝石防止出现钻屑。如今现代的切割技术中这一问题也已不太重要，这一技术广泛使用于许多型号的宝石。
榄尖形切割
榄尖形切割宝石的标准刻面数为57。
榄尖形切割也称为“纺锤”形，看起来象是一个椭圆，两边各向外延伸至一点，由上面径直向下看，似是一枚橄榄球。长宽比应为2：1，重要的是榄尖形切割不能太浅，否则的话，光线将会穿透宝石的背部，减弱了其光泽与色泽度。然而，对于所有颜色的宝石来说，会因其不同型号而异。
榄尖形切割能产生好的光泽与色泽。当用于单粒宝石，或者当其他宝石进行强化时，会显得更加绚丽。
你知道么？据太阳王路易十四的侯爵夫人蓬巴度的迷人微笑，通过灵感发明了榄尖形切割，法国国王路易十四希望用宝石来配佳人的微笑。
长角古型切割
古型来自于拉丁词“antquis”，意思是“经典”。长角古型切割宝石的刻面数约为64。
长角古型切割也称作“老矿工”或者“老欧式”切割，因为其看似19世纪末期与20世纪早期通常采用的具有大刻面的深切与现代椭圆形切割的交叉使用。因其某种程度上看起来就象是沙发垫，所以结合“古型”这一词而典型地使用了“垫子”这一词，但并不具备专有性。
这一形状有地也称为“枕形”切割（原因显而易见）或者“烛光”切割，这是指在有电光之前进行的切割，在烛光下切割，宝石也会放出夺目的光彩。
与其他切割宝石发出的光彩相比，这种切割宝石呈现出奇妙、经典而浪漫的色彩。
与公主式切割一道，长角古型切割能最大化地呈现宝石的光泽。对于斯里兰卡的小刻面红宝石与蓝宝石来说，这是首选的切割法。
公主式切割
公主式切割通常有76个刻面。公主式切割，技术上被称作“方钻”切割，这是具有多个闪闪发光面的圆钻形切割的方形版本。70％至78％的深度比非常罕见。
公主式切割是一种具有尖而未截角的“明亮式”形状。“明亮式”指的是钻冠与亭面垂直。
这是一种相对新的切割法，在单粒定婚戒指中经常派上用场。配上长长的指甲，使手部倍添美感，在这种切割宝石的两面常镶嵌有三角形的宝石。由于本身的设计，这种切割需要向着宝石全深方向有更多的重量，从而能释放出最大的光芒。
公主式切割的优势不只限于钻石，这种切割法还可用于其他许多的宝石切割。由于公主式切割所具有的特别刻面，以及这种制作法所产生的影响，这种方法自然会产生更多的光泽与亮点。
公主式切割对于颜色较淡的透明宝石来说，通常效果最佳。与长角古型切割一道，公主式切割能最大地释放出宝石的光辉。
公主式切割旨在保留八面体金刚石晶体的重量，有助于首创出更具合理价格、更具吸引力的金刚石来。
根据哈罗.纽曼著的《珠宝说明词典》，公主式切割以前使用于现在所熟悉的“齿形”切割，这一切割法是由伦敦的阿帕德&纳吉于1961年发明的。
经典心形切割
经典心形切割宝石的标准刻面数为59。心形切割宝石是一种顶部有缝隙的梨形宝石或钻石。总的来说，心形切割宝石的长宽比略微超过1：1，约为1.1：1，长度略大些，但是比例通常不会超过1.2：1。
心形为爱的终极象征。
大多数心形切割宝石几乎为圆形，这存在着这样的优势：具有几乎为圆的亭部，能够产生美丽的光泽。大多数心形切割宝石可作为单一宝石购买。单粒戒指在整个手寸范围内镶上了心字。继项链与戒指之后，大多数心形切割宝石作为饰纽装饰耳环的配件销售的。心形切割宝石的主要市场是豪华珠宝。远东地区对心形切割宝石兴趣浓厚。
由于极好的比例是来自于要付出更多的生石基础上，心形切割宝石必须具有极好的切工，这样才能使宝石更加昂贵。可以理解的是，在情人节这天，心形切割宝石的销量会有显著的增加。
坠形来自于法语词“Brilliant”（璀灿夺目或者光芒四射）以及“Brignolette”（一种小的干李子）。坠形是一种梨形宝石，镶有延伸至尖端的刻面。
坠形切割宝石的刻面数约为84。下坠的面越多，光泽度越大。
坠形切割宝石是一种点滴状宝石，自始至终，具有三角形或者金刚石形的刻面。没有台面、钻冠或者亭部。鉴于坠形切割宝石的形状，这种宝石是最难切割的。由于要有具体的切割量来表示刻面，坠形切割要求绝对的尽善尽美。一名宝石切工匠每天只能切割并抛光5至10颗宝石。
坠形切割是一种玫瑰状切割，这种切割法可追溯到14世纪，甚至更早时期。没有人确切地知道坠形切割的历史究竟有多久。有人传说在12世纪期间印度的钻石切割中显示了这种风格的切割。坠形切割是一种很罕见的钻石切割法，很难常用于有色宝石的切割中。
坠形切割宝石在维多利亚女王时代、爱德华七世时代，以及装饰派艺术时代的古董与珠宝财产中可以见到。
坠形切割宝石在时尚珠宝中越来越受欢迎。
坠形切割宝石可以镶嵌于耳饰、项链以及垂饰中。这些坠形切割宝石还可以镶嵌于古董或者珠宝财产中的冠状头饰中。
这些坠形切割宝石经常用于带有悬挂金属丝或者简单珍贵金属帽，有进为小的金刚石饰物的耳饰中。许多工业出版物对坠形切割进行详细的描述，也包括《Vogue》和《哈泼氏百货商店》。
大多数坠形金刚石都是由白生石切割而成，但是有色的坠形金刚石，特别是彩黄和淡黄正变得越来越流行，其次是白兰地酒和香槟色。再次说明的是，彩色宝石来正变得越来越受。
每种坠形切割都很独特，要寻找光泽度、切工都很好宝石并非易事。由于非常规切割也能显示光泽度，如何切割需视具体宝石而定。
对于那些确实想要真正有所不同的人来说，近来在切割技术方面的进步已产生许多惊人的革新式的新形状，诸如花形、三叶草的叶子、星形、三角形以及所有形式的奇异切割形。
许多新设计是标准形状的变形，旨在首创幻想出更大、更完美的宝石。有一些设计围绕天然生石进行，仍然也有一些其他的设计充满了时尚化，设计了许多革新形状。
需要谨记的重要事实是首创的关于形状与设计不断扩大的选择，目的在于满足不同个人的风格与品味。没有哪种切割比另一种更美之分。自然的奥秘与切工匠艺术化的结合，会使每件宝石成为独特的工艺品。
凸圆形切割（蛋面切割）
单词“凸圆形”来自于古老的诺曼法语“cabochon”，意思是头。
凸面宝石是一种抛光的宝石，这种宝石要么平顶（或者轻微的圆顶）和中凸，或者具有圆形的半球状的顶。这种传统的椭圆，但是凸面宝石也可以切割成其他的形状，包括三角形和长方形。
凸面宝石，通常也称作Cabs，是宝石切割中最古老而又最通常的形式，“enCabochon”宝石切割实际上是定型与抛光，而不是切割。在经典古型中，这通常是除了对结晶体结构自然刻面使用宝石之外，唯一可行的选择方案了。许多最美丽的古老的珠宝就是按照凸面切割制成，包括：令人惊骇的皇家东印度珠宝以及亚伦胸甲。
凸面宝石用于制作珠宝，常被雕刻为凹雕玉石或者浮雕，也被用于水晶的弥合中。如今，凸圆形切割使用于具有有限透明度的宝石（绿松石、翡翠和玛瑙等），或者在含有突出瑕疪的宝石（相对不透明的蓝宝石、红宝石或者祖母绿）中使用，或者用于切割曲面加强了特别的效果（晕彩、变彩、或者猫眼效应、星芒或者星彩效应）的宝石。
面包形切割
对透明宝石来说，这种切割是凸圆形切割的变体，面包型切割结合了刻面切割与非刻面切割。这样的产生的宝石，具有凸面宝石的典型半球状的顶部以及刻面亭部，当眼睛向宝石的中部观察时，可以看到梦幻般的深度。这样的切割展现了良好的光泽，与那些刻面宝石相比，有了一个不太易于磨蚀的钻冠。
拥有令人难以置信的1000个刻面，千禧切割因而得名。因为这是由罗吉奥.格拉卡于1999年左右首创的，以作为新世纪的独特与挑战的象征。
尽管有时会与凹面切割相混淆，千禧切割很容易识别，因为它首创了挤满了刻面的宝石。
工作量约等于其他切工匠工作量的18倍。由于亭部拥有624个刻面，台面有376个刻面，在整个切割与抛光期间，每个刻面必须被碰到过1至4次。
涉及的时间量、与设计的特性的结合（生石的挑选、在每个刻面间保持一定的锐度，为每个刻面腾出空间等）以及需要精密切割机械，消除了千禧年切割一度成为主流的可能性。
凹面切割是一种使用于宝石亭部的三维圆锥形刻面，这样的圆锥形刻面首创了深度以及长度与宽度。他们不是由角度联接而成，他们由槽沟联接而成。这样的三维刻面可以使宝石折射更多的光线，因而尽量显露其光泽。凹面切割也可以使光线分布得更加均匀，从而使宝石内部光辉更加均匀。
尽管有时，这种切割宝石易于同千禧切割宝石相混淆，但是其可以通常没有标准的刻面数以及其只用于亭部而区分开来。
尽管道格.霍夫曼于20世纪90年代早期申请了凹面切割技术专利，而他的朋友理查德.霍默被誉为是使凹面切割技术日臻完美的人。在努力获得地质学学位的同时，霍默开始于1974年切割宝石以支付其学费。自那时起，他的设计已赢得了15项美国宝石贸易协会切割技术奖。
不是所有的宝石都可由凹面切割技术中受益。在进行宝石切割时，优化色彩与光线是首先考虑，当凹面切割时，尽管钻石与色调较淡的宝石在光泽方面能增加至100％，象红宝石这样颜色较深的宝石会显得更加暗淡，而没有吸引力。凹面切割另一不利之处在于与传统切割方式相比，这种切割方式显得较昂贵。这是由于其在切割过程中重量损耗以及需额外劳动力所致。
镜面切割特点为：这种切割法所得宝石，台面大而腰部厚，腰厚差不多占宝石宽度的90%。这使得宝石具有较高的折射率，因而照字面而言，具有了镜子的特征，故而得名。
有时称作“薄石”，镜面切割最早出现于16世纪早期，源于圆形切割。似乎从许多古老钻石，包括“梅德福德石”和“法国镜面”等的名字中皆可见到此种切割法。
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