小学数学论文???

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你的孩子几岁?
1、当然是从数数开始啊,正着数反着数!1-3岁
2、单数和双数的区分!1-3岁
3、数子的概念,比如一个10是有几个一组成!1-3岁
我很喜欢数学,有人认为它死板,其实不!让她多做数学趣味題,但你也可以陪着他做,不要让他整天困在題海里,只是适量做些。我认为数学老师也很重要,如果老师看重...
我认为7岁好,孩子差半岁智力、体力等都差别明显,除非你孩子的接收能力、体力、与别人相处能力都特别好,否则没有不要提前上学。
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小学数学中最易混淆的15条基础概念
来源:来自互联网
编辑:新东方小编
  小学数学是很重要的打基础阶段,这就要求孩子们一定要掌握正确的学习方法,基础概念在数学的学习中尤为重要。下面是新东方小编为大家准备的小学数学中比较易混淆的基础概念,希望对大家有所帮助。
& & & 1、最小的一位数是0还是1?
  这个问题在很长一段时间存在争论。先来看看《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”的叙述:“通常在自然数里,含有几个数位的数,叫做几位数。例如“2”是含有一个数位的数,叫做一位数;“30”是含有两个数位的数,叫做两位数;“405”是含有三个数位的数,叫做三位数……但是要注意:一般不说0是几位数。
  再来听听专家的说明:在自然数的理论中,对“几位数”是这样定义的,“只用一个有效数字表示的数,叫做一位数;只用两个数字(其中左边第一个数字为有效数字)表示的数,叫做两位数……所以,在一个数中,数字的个数是几(其中最左边第一个数字为有效数字),这个数就叫几位数。
  于此,所谓最大的几位数,最小的几位数,通常是在非零自然数的范围研究。所以一位数共有九个,即:1、2、3、4、5、6、7、8、9。
  0不是最小的一位数。
  2、为什么0也是自然数?
  课标教材对“0也是自然数”的规定,颠覆了人们对自然数的传统认识。
  于此,中央教科所教材编写组主编陈昌铸如是说:国际上对自然数的定义一直都有不同的说法,以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始,我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法,认为0不是自然数。2000年教育部主持召开教材改编会议时,已明确提出将0归为自然数。这次改版也是与国际惯例接轨。
  从教学实践层面来说,将“0”规定为“自然数”也有着积极的现实意义。
  2.1 &“0”作为自然数的“好处”
  众所周知,数学中的集合被分为有限集合和无限集合两类。有限集合是含有有限个元素的集合,像某班学生的集合。无限集合是含有的元素个数是非有限的集合,如分数的集合。因为自然数具有“基数”的性质,因此用自然数来描述有限集合中元素的个数是很自然的。
  但在有限集合中,有一个最主要也是最基本的集合,叫空集{},元素个数为0。如果不把0作为自然数,那么空集的元素的个数就无法用自然数来表示了。如果把“0”作为一个自然数,那么自然数就可以完成刻画“有限集合元素个数”的任务了。于此,从“自然数的基数性”这个角度,我们看到了把“0”作为自然数的好处。
  2.2 &把“0”作为自然数,不会影响自然数的 “运算功能”
  “0”加入传统的自然数集合,所有的“运算规则”依旧保持,如新自然数集合{0,1,2,…,n,…}中的任何两个自然数都可以进行加法和乘法运算,而运算结果仍然是自然数。同时,加法、乘法运算的结合律和交换律,以及乘法的分配律也不会受到影响。
  所以,“0”加盟到自然数集合实属理所当然,而不仅仅是人为的“规定”。它让我们更好地理解自然数和它的功能,同时也让我们意识到教学时不仅要知道和记住数学的“定义”和“规定”,还应该思考“规定”背后的数学涵义。
  3、什么是有效数字一无效数字?
  有效数字是对一个数的近似值的精确程度而提出的。同一个近似数如果在取舍时,保留的有效数字多,就比保留的有效数字少更精确。
  一般说,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。这时,从左边第一个非零的数字起,到那一位上的所有数字都叫做这个数的有效数字。
  如近似数0.00309有三个有效数字:3、0、9;0.520也有三个有效字:5、2、0。
  而0.00309中左边的三个零,0.520中左边的一个零,都叫做无效数字。
  4、加法与减法、乘法与除法是否互为逆运算?
  “加法与减法互为逆运算、乘法与除法互为逆运算”这似乎成了许多老师的口头禅,这其实是一种误解。例如:
  加法“2+3=5”,其逆算为“5-2=3”,“5-3=2”。
  故此,加法的逆运算只有减法;
  减法“5-2=3”,其逆算有 “5-3=2”, “2+3=5”。
  故此,减法的逆运算有减法和加法两种运算。
  综上可知,只能说减法是加法的逆运算,而不能说加法与减法互为逆运算。
  同理,也只能说除法是乘法的逆运算,而不能说乘法与除法互为逆运算。
  5、为什么不写“倍”?
  在学习“求一个数是另一个数的几倍”应用题时,很多小朋友会自然提出这样的疑问,如:“饲养小组养了12只小鸡,3只小鸭,小鸡的只数是小鸭的几倍?”为什么“12÷3=4”的后面不写“倍”呢?
  我们首先应该肯定学生的质疑(学生有较强的解题规范意识)。但同时又该对学生说明:在解答应用题时,得数后面一般要写上的是数的单位名称
  如:12只的“只”;8克的“克”。一个数只有带上单位名称,才能准确地表示出一个物体的多少、大小、长短、轻重等等。但是,“倍”不是单位名称,它表示两个数量之间的一种关系。例如,上面的计算结果“4”,表示12里面有4个3,就是12只小鸡是3只小鸭的4倍。
  所以,在算式里不写“倍”,以免“倍”与单位名称发生混淆。
  6、“倍”和“倍数”的区别
  在第一学段我们学习了“倍的初步认识”,认识了概念“倍”,而在第二学段,我们又学习到“倍数”这个概念。那么,“倍”和“倍数”这两个词到底是不是一回事呢?这两个词之间有什么区别呢?
  “倍”指的是数量关系,它建立在乘除法概念的基础上。例如:男生有10人,女生有30人,因为“10×3=30”或者“30÷10=3”,我们就说,女生人数(30)是男生人数(10)的3倍,也可以说,男生人数(10)的3倍等于女生人数(30)。勿宁说,“倍”其实表示的是两个数的商(这个商可以是整数、小数、分数等各种表现形式)。
  “倍数”指的是数与数之间的联系,它建立在整除概念的基础上。例如,30能被6整除,30就是6的倍数。可见,“倍数”是不能独立存在的(具有特定的指向性),而且对数的形式有特别的要求(必须为整数)。
  同时我们又看到,30也是6的5倍,因为6×5=30,“6×5”表示6的5倍。所以从这个角度来说,“倍”的涵义应宽泛于“倍数”,后者可以视为前者在特定情形下的一种表现。
  7、“时”和“小时”有什么不同?怎样使用“时”和“小时”?
  首先应该明确的是,〔小〕时并非国际时间单位。在1984年国务院发布的《关于我国统一法定计量单位的命令》中,把秒作为时间的基本单位,把非国际单位制的时间单位天(日)、〔小〕时、分作为辅助单位。
  (注:〔〕里的字,在不致混淆的情况下,可以省略)。
  这样,在我国范围内使用的法定时间单位就有:天(日)、〔小〕时、分、秒。
  由此,“时”既可以表示时间,又可以表示时刻。由于“时间”和“时刻”这两个不同的概念容易产生混淆,在实际应用时间单位“时”时,
  现行教材作了如下处理:
  7.1当列式计算出时间的长短时,在得数的括号里写上时间的单位“时”。例如:超市营业时间:21-9=12(时)。(此处可省略“小”字)
  7.2在用语言表述时间的长短时,为避免“时间”和“时刻”这两个概念产生混淆,则在“时”的前面加上一个“小”字。例如:超市营业时间12小时。
  7.3 &在用语言表示时刻时,一律不得出现“小时”字样。例如:公园每天早上7时30分开园(而非7小时30分)。
  8、“改写”和“省略”是一样的吗?
  从形式上看,此例将“改写”与“省略”两种对数的变化置于了同一个要求之下(即改写成用“亿”作单位的数)。我们真希望编者不是有意而为之,因为“改写”与“省略”其本质是完全不同的。
  表现在:
  8.1目的不同
  “改写”的目的是方便对大数的读写,而“省略”则是取数的近似值。
  8.2方法不同
  此处的“改写”是去掉“亿”位后面的0,再写上一个“亿”字,而“省略”除了要找准“亿”位,还要考虑被省略的尾数的最高位是几,然后用四舍五入法求出近似数。
  8.3符号不同
  “改写”只改变了数的表现形式,大小并未改变,所以用“=”号连接;而“省略”既改变了数的形式,又改变的数的大小,所以用“≈”连接。
  9、“路程”就是“距离”吗?
  这两个词在许多老师的教学语言中是替代使用的,其实不然。
  “路程”是指从一个地点到另一个地点所经过路线的长度;而“距离”则指连接两个地点而成的直线段的长度。
  “路程”所经过的路线可以是曲形线,也可以是直形线,还可能是折形线。
  一般情况下,两个地点之间的“路程”要大于它们之间的“距离”,只有当两个地点之间的路线为直线时,路程和距离才相等。
  虽然老师们都知道这个等式是成立的,但我们的学生却没有相应的知识储备,怎样绕开”极限”寻找能为小学生所理解和接受的证明途径。
  10、最大的分数单位是1/2还是1/1?
  先看看分数单位的含义:把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份的数。
  显然,在分数意义中,关键是“分”,没有“分”,就没有“份”。
  因为把单位“1”平均分成的最少份数是2份(如果是1份,也就无所谓“分”),由此得到的分数单位是1/2,所以1/2是最大的分数单位。
  尽管就广义的分数来说,1/1也可视作分数,但它已不是我们通常意义上认识的与整数对立的那种分数(在平均分的基础上所产生),故此,最大的分数单位应以1/2为宜。
  11、像 0/3、0.2/3、3/0.2这样的数是不是分数?
  分数的定义明确告诉我们:把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份或几份的数,叫分数。其中,分成的份数叫做分数的分母,要表示的份数叫做分子。
  由此可知,分数的分子和分母都应该是非零自然数。从这个意义来说,以上这几个数徒具分数的形式,而不具分数的实质,因此都不应该视为分数。
  进而,在考查学生对“分数”涵义的理解时,应着眼于通常意义上的分数,将上述这些变异形式纳入思考的范围,其本身对训练学生的思维并无多大实际意义,而且会令诸如“分数都大于0”等命题的真与假陷入尴尬。
  12、比6多1/2的数”应该是“6+1/2”还是“6+(1+1/2)”
  要弄清这个问题,先得弄清“6”的性质。显然,此处的“6”其实质是一个“数”,而非一个“量”,求“比6多1/2的数”应属于“求比一个数多几的数”的范畴,问题中的“多几”都是确定的具体数,这里的“几”既可以是整数,也可以是小数或分数。所以,这里的“1/2”是指在6的基础上“多1/2”这个“1/2”数的本身,而非“6的1/2”。
  所以,“比6多1/2的数”应该是“6+1/2”。
  当然,如果题目确定为“比6多它的1/2的数”,那答案则属于后者。
  13、计算出勤率可不可以不乘100%?
  先来看看新人教版、北师大版和苏教版三个不同版本的教材对类似问题的理解。
  同一课程标准下,不同的教材给出了不同的理解,这给执教者带来了困惑:到底可不可以不乘100%呢?笔者以为,求“××率”其结果必定为百分率。以出勤率为例,就是求实际出勤人数占应出勤人数的百分之几。
  如果公式只写成:出勤率=实际出勤人数/应出勤人数,我们说这只是分数形式(也即是求实际出勤人数占应出勤人数的“几分之几”),并不是百分数。
  因此,在公式后面乘上“100%”,既可以使计算数值大小不变,又能保证结果形式满足百分数的要求。因此,计算出勤率、发芽率、出粉率、合格率……的公式中,都应乘“100%”。
  同时建议各版本教材的编委统一思想,以免给一线教师造成认识上的混乱。
  14、小于90度的角都是锐角吗?
  根据课标教材定义:小于90度的角叫做锐角。答案似乎是肯定的,但由此又产生一个新的问题:0度的角是什么角,也是锐角吗?
  事实是,锐角定义有一个隐含的前提,就是小学数学中所讨论的角都是正角。习惯上,我们把射线按逆时针方向旋转而得到的角叫做正角,射线按顺时针方向旋转而得到的角叫做负角,当一条射线没有做任何旋转时,就把它看成零角。如果将角的概念推广到任意大小的角,就应分为正角、负角、和零角。
  由此,严格意义上的锐角定义应是:大于0度而小于90度的角叫做锐角。
  15、足球比赛记分牌上的“3︰2”是数学中的“比”吗?
  我们至少可以从两个方面来理解它们的差别。
  第一, 球类比赛中的“3︰2”表示的是比赛双方的得分情况,是“差”比,即表示相差关系,一方得3分,另一方得2分,双方相差1分;数学中的“3︰2”表示的是“3÷2”,是“倍”比,商为1.5。有鉴于此,球类比赛中的“比”(其实是比分),其后数可以为0的,而数学中的“比”,其后数(相当于除数)是不可以为0的。
  第二,数学中的“比”是可以化简的,如“4︰2=2︰1”;同样的“4︰2”放在球类比赛中,却不可以化简,如果化简就不能反映双方在比赛中的实际得分了。
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  编者按
  优雅神秘的氛围之中,激情四射的俊男美女展示出健硕和优美的裸体。男子忽而奋笔疾书,在女子美丽的酮体上写下一行蕴含着神奇密码的数学公式。这不是《色&戒》续集,而是微电影《爱与数学之祭》的场景,男主角是加州大学伯克利分校著名的数学教授弗兰克尔(Edward Frenkel)。二十多年前,我们都叫他爱杰克。
  大约1991年,随着政治和经济的全面崩溃,前苏联的大批数学家涌入美国。哈佛大学数学系那时被英语、中文、俄语三分天下。我当时正在那里读研究生。这边是丘成桐先生的学生和访问学者们用中文聊天,那边是俄国学者们用俄语高谈阔论,当其他学者到来时,英语夹杂其中成了铺垫。在众多的中老年访问学者中,有位20岁左右的帅小伙,才气外露,英气逼人。他主动要求做我的乒乓学生,每周都要一起打几次球。大家本以为他只是来访的学生,没想到几周后他在系里做了一个演讲,报告他解决的一个猜想。这时我们才知道原来这是位有成就的学者。他就是弗兰克尔。
  此后只是走了个形式,他两年便拿到了哈佛的博士学位,随后留在哈佛做了Junior fellow,一个专为年轻的天才们设置的博士后位置。几年后,他娶了系里一位漂亮的女同学,很快拿到了伯克利的终身教授,生活事业可谓一帆风顺。毕业后,大家各奔东西,那时一起打球聊天的许多同学多年都没有联系。然而电影中的他依旧俊朗,全然没有无情岁月留下的痕迹,看来是对数学的挚爱给他注入了更多青春的活力。
  言归正传。下面这篇文章是弗兰克尔为他自己的新书《数学与爱》所写的前言。这本书我还没有看到,但这篇前言非常引人入胜。
  他用通俗的语言介绍他挚爱的数学,把深奥的数学理论以及它们在现实生活中的威力娓娓道来,字里行间充满了感情和诗意。他将现代数学中几颗美丽的瑰宝一一展示给大家,并将他自己的成长经历贯穿其中。尤其是他克服种种困难,偷偷到莫斯科大学旁听的经历,使得他能够在做大学生时便写出优秀的论文,并以此改变了自己的命运。这个故事告诉我们,无论在什么样的环境下,努力才是运气的阶梯。他学习和研究数学的成功经验也很值得称道,这也是我给我每一个学生的忠告:要跳到水里学游泳,要连滚带爬,尽快地走到数学研究的前沿,许多不懂的知识可以在研究中学习。在现代数学快速发展,知识大量累积的年代,过分强调基础和习题的训练对做研究而言是舍本逐末,只会永远落在人后。
  弗兰克尔继承了俄国数学优秀的代数传统,近些年与威腾(Edward Witten)等人合作研究几何朗兰兹纲领,将代数、几何与规范场论相结合,走出了一条独特的研究道路,他的这些研究经历便是贯穿他的文章和书的主线。这篇文章里还有电影《爱与数学之祭》的链接(点击“阅读原文”可看片花)。他希望籍此表达一个数学家的人生主题:“我们发现的所有公式都是爱的公式”。是的,没有深情、挚爱和苦苦的追寻,怎么可能发现这些美丽的公式?这是一个真正数学家的情怀,对数学、对爱、对美的痴迷和追求都在文章中情不自禁地流露出来。
  读完这篇前言,我一定要读他的书。
――刘克峰
  作者爱德华&弗伦克尔  翻译胡小说
  在我们身边,有一个存在于平行时空中的秘密世界。她风姿绰约、精致典雅,与我们生活的这个世界有着千丝万缕的联系。这个秘密世界,就是我们大多数人都无法看见的数学世界。本书意在邀请广大读者一起发现、探索这个世界。
  我们经常会遇到这样一个悖论。一方面,数学与我们日常生活的方方面面紧密地交织在一起。只要我们上网购物,发送一条文本信息,在互联网上搜索信息,或者使用GPS(全球定位系统)设备,我们就会用到数学公式和运算法则。另一方面,大多数人在学习数学时却感到头疼不已。用诗人汉斯&马格努斯&恩岑斯贝格尔(Hans Magnus Enzensberger)的话说,数学已经成为“我们文化中的一个盲点,是一片陌生的领土,只有为数不多的精英在名师的指点下才能占据制高点”。他曾说,在我们认识的人中,几乎没有人“会气急败坏地抱怨:只要在他们面前提起读小说、看照片或者观看电影这些事,他们就会心惊肉跳,甚至痛不欲生”。但是,即使是“受过良好教育的聪明人”也常常以“一种不屑一顾与自以为是的口吻”说着数学“纯粹是折磨人”,是“一场噩梦”之类的话。因此,他们“不喜欢数学”。
  为什么会有这种反常现象呢?我认为主要有两个原因。首先,数学比其他学科更抽象,因此令人难以理解。其次,我们在学校学到的只不过是数学知识的冰山一角,而且这些课本内容大多还是很久以前的陈芝麻烂谷子。多年以来,数学已经取得了长足的发展。然而,虽然现代数学的宝库中珍藏着琳琅满目的瑰宝,但我们一直不得其门而入。
  如果学校在我们必修的“美术课”上只教给我们粉刷篱笆的方法,却从来不向我们展示达&芬奇(Leonardo da Vinci)与毕加索(Picasso)的作品,那么大家会有什么样的感觉呢?这样做能提高艺术鉴赏力吗?你还会有继续学习的欲望吗?我想答案是否定的。你可能会说:“在学校里学习绘画就是浪费时间。如果非要粉刷篱笆不可,我完全可以雇人去做啊。”当然,这样的教学太荒谬了。但是,学校就是这样教授数学的。因此,在大多数人眼中,学习数学毫无意义,就像在篱笆旁边坐等油漆干透。想要看到美术大师们的画作并不那么困难,但是数学大师们的研究成果却通常被束之高阁。
  不过,数学之所以如此迷人,并不仅仅是因为它能给人以美的享受。伽利略(Galileo Galilei)说得非常好:“自然界的法则是用数学语言写就的。”数学是一种描述现实、揭示世界运行规律的语言,这种普适性语言已经成为检验真理的黄金标准。在我们生活的这个世界里,数学在科技的驱动之下,已经成为人类力量、财富与进步的源泉,并且在不断巩固其地位。因此,能熟练掌握这门“新”语言的人必将站在社会发展的最前沿。
  人们通常对数学有所误解,以为数学不过是一个“工具包”。比如,生物学研究人员在完成实地调查并收集好数据之后,往往会专门为这些数据建立一个数学模型(有时,他们还会向数学领域的专业人士求助)。尽管这种研究模式也非常重要,但是数学的作用远不止于此。数学可以帮助我们实现利用其他知识无法做到的创新性、颠覆性飞跃。例如,当爱因斯坦(Albert Einstein)发现万有引力会导致我们所处的空间弯曲时,他并没有尝试把所涉及的任何数据归纳成方程式。事实上,他甚至没有任何数据可以证明他的这个发现。当时,人们根本无法想象自己所处的空间竟然是弯曲的,大家都“觉得”这个世界是平的。但是,爱因斯坦知道,要想成功地把狭义相对论与他得出的一个深刻认识(即万有引力与加速度会产生相同的效果)一起推广至非惯性系统,建立方程式是唯一可行的方法。用方程式来表现数据的规律,即便在数学领域也属于层次较高的学术活动。50年前,爱因斯坦借助数学家伯恩哈德&黎曼(Bernhard Riemann)的研究成果才完成了这项工作。人类大脑的构造决定了我们无法想象维数大于二的弯曲空间,我们只能借助数学才能理解复杂的空间。爱因斯坦的观点是正确的:我们这个宇宙的确是弯曲的空间,而且它还在不断膨胀。这个例子充分说明了数学的重要作用。
  这样的例子俯拾即是,不仅在物理学中存在,在其他科学领域也不少(下文将讨论其中一些例子)。历史事实表明,数学思想正在促使科学和技术发生日新月异的变化。即使是那些一开始时被人们视为深奥难懂的纯理论性数学知识,后来也会在实际生活中发挥不可或缺的作用。查尔斯&达尔文(Charles Darwin)最初的研究并不依赖于数学,但是他后来在自传中说:“我为自己不能对数学中的重要原理有所领悟而深感遗憾,因为这些原理能增强人的理性思维能力。”我觉得他的这番话就是一个颇有预见性的建议,告诫后人必须充分发掘数学的巨大潜能。
  小时候,我并不知道身边还有数学这个秘密世界。同大多数人一样,我也以为数学是一门枯燥无味的学科。不过,我比较幸运,在中学阶段的最后一个学年,一位专业素养极高的数学专业人士帮我打开了数学这一神秘世界的大门。我这才知道,数学不仅典雅美好,而且它还像诗歌、艺术和音乐一样,充满了无限可能。于是,我深深地迷上了数学。
  亲爱的读者,我撰写本书就是为了把老师们对我的言传身教传递给你们,向你们展示数学的力量和美,帮助你们进入这个神奇的世界,即便你们从来没想过“数学”与“爱”这两个词竟然可以并列在一起。你们将会和我一样,发现数学可以触及我们的灵魂,使我们的世界观发生天翻地覆的变化。
  数学知识与其他学科知识都有所不同,它极为特殊。我们对物理世界的认知很容易失真,但对数学真理的认知却一成不变。数学真理是经久不变、客观且必然的存在。对所有人而言,无论他们的性别、宗教信仰或者肤色有何不同,无论他们身处何地,同一个数学公式或者定理的含义都不会有任何不同,即便经历上千年也不会发生变化。同时,数学公式和定理是我们所有人的共有财产,任何人都不可以对它们申请专利。在这个世界上,如此深奥、精致,而且所有人都可以随时取用的东西,非数学知识莫属。这样一个知识宝库的存在令人难以置信,它具有非凡的价值。而且,它并非那些“受过良好教育的少数人”的专利,而是人类的共同财产。
  数学的一个主要作用是对信息进行排序,信息的排序分类是梵高的画作区别于随意涂鸦的根本原因。随着3D打印技术的出现,我们习以为常的现实正在发生着根本性的改变。一切事物都不再属于物理对象的范畴,而是隶属于信息与数据的范畴。我们随时可以把PDF(便携式文档格式)文档转变成书本,把MP3(一种能播放音乐文件的播放器)文件转换成一段乐曲,同样,在不久的将来,我们还可以根据需要,利用3D打印机,方便地把信息转变成实物。在这个新世界中,数学将大有可为,发挥更加重要的作用。我们可以利用数学知识对信息进行整理、排序,也可以将信息转变成物理现实。
  在本书中,我将向大家介绍数学界近50年来的一个重要思想:“朗兰兹纲领”(Langlands Program)。很多人认为朗兰兹纲领是数学中的“大统一理论”(the Grand Unified Theory)。代数、几何、数论、分析与量子物理等领域的研究内容乍一看似乎相去甚远,但是朗兰兹纲领却在这些不同的数学分支之间建立起千丝万缕的联系。如果我们把这些分支看成数学这个秘密世界中的一块块大陆,朗兰兹纲领就是功能强大的运输工具,可以让我们在各个大陆之间瞬时往返。
  朗兰兹纲领是数学家罗伯特&朗兰兹(Robert Langlands)于20世纪60年代后期提出的一个数学理论(朗兰兹现在在普林斯顿高等研究院工作,他使用的办公室就是当年爱因斯坦用过的),它本质上是一个关于对称的开创性数学理论,而对称理论的雏形则要追溯至200年前,那是一个年仅20岁的法国天才在死亡决斗前夜完成的研究成果。随后,一个令人瞠目结舌的发现丰富了这位天才的研究成果,它不仅帮助人们完成了“费马大定理”(Fermat’s Last Theorem)的证明,而且颠覆了人们对数字与方程式的认知。接着,人们又有了一个极为精辟的洞见,即数学有自己的“罗塞塔石碑”(Rosetta Stone)――在数学领域里充满了各种神秘的类比与隐喻。这些类比仿佛是数学这片魔幻土地上的一条条小溪,将朗兰兹纲领分成几何与量子物理两大领域,使原先杂乱无章的世界呈现出井然有序与和谐统一的特点。
  我告诉大家这些内容,意在展示数学鲜为人知的其他方面,包括灵感、深刻的思想和惊人的发现。数学打开了一扇门,让我们了解如何打破传统的壁垒,如何在追求真理的过程中充分发挥想象力。无穷理论的创立人格奥尔格&康托尔(George Cantor)说:“数学的精义在于蕴藏其中的自由。”数学教我们大胆分析现实,研究事实,并以事实为指引义无反顾地朝前迈进。数学把我们从教条与偏见中解放出来,并帮助我们培养创新突破的能力。正因为这些,数学才得以代代相传,延续至今。
  由于数学中的这些工具既可以产生积极向上的结果,也可能被用于行凶作恶,因此,我们必须认真考虑数学对现实世界的影响。例如,全球经济危机之所以爆发并造成严重危害,在很大程度上是由于在全球金融市场中普遍存在对数学模型使用不当的问题。很多决策者,由于其数学知识的贫乏,并不能真正理解这些数学模型,但是,在贪欲的驱使之下,他们仍然冒险使用了这些数学模型,最终导致整个金融体系受到重创。他们肆意利用信息的不对称性,丝毫不担心自己的谎言会被戳穿,因为人们一般也不会去了解这些数学模型的作用原理。因此,如果有更多的人能了解这些数学模型与金融体系的运作机制,也许我们就不会被愚弄那么长时间了。
  我再举一例。1996年,美国政府组织任命的一个委员会举行了一次秘密碰头会,修改了消费者物价指数(CPI)中的一个公式。消费者物价指数通过测算通胀率来确定税级、社会保障、医疗保健及其他与公民生活指数挂钩的款项。因为这个公式被修改,成千上万的美国公民都受到了影响,但是公众却几乎没有讨论过这个新公式及其造成的后果。最近,又有人试图把这个神秘公式当作美国经济的后门加以利用。
  如果每个人都能熟练掌握一定的数学知识,那么这类幕后交易将会少得多。数学就等于严谨加上学术诚信再乘以事实准绳。我们必须通过数学来不断推动社会进步,促使更多的人掌握数学知识与数学工具,以保护自身的权益免受少数当权者的肆意践踏。没有数学,就没有自由。
  数学与艺术、文学和音乐一样,是我们文化遗产的一部分。人类总是渴求发现新事物,掌握它们的新意义,以便更好地了解宇宙以及我们在其中所处的位置。我们无法像哥伦布(Christopher Columbus)那样再发现一块新大陆,也不可能成为第一个踏上月球的人,这的确令人遗憾。但是,如果我告诉你,我们不必越洋远航,也不必飞越太空,就能发现世界奇观,你相信吗?世界奇观就在我们身边,与现实交织在一起,从某种意义上讲,它就埋藏在我们内心深处。数学指引着宇宙的运行,隐藏在各种形状与曲线背后,掌控着小到原子、大到一颗颗恒星的世间万物。
  本书意在鼓励读者探索内涵丰富、五彩斑斓的数学世界,特别是那些没接受过专业数学教育的读者。如果你觉得数学太难,无法理解;或者如果你害怕数学,同时又希望了解数学是否值得你为之努力,那么,本书非常适合你。
  人们常常以为,只有经过多年苦苦钻研,才能认识到数学的全部价值。这显然是错误的。有些人甚至认为,大多数人天生就学不会数学。我并不赞成这个观点。我们中的大多数人即使没有学过物理学和生物学的相关课程,却也听说过太阳系、原子及基本粒子、DNA(脱氧核糖核酸)双螺旋结构等概念,甚至还对这些概念的含义有初步的了解。人们很自然地认为这些复杂的概念是我们文化的一部分,也就是我们集体意识的一部分。同样,如果对数学中的重要概念与思想解释得当,那么,大家无须耗费几年的时间辛苦学习数学,也能顺利掌握这些概念与思想。在很多情况下,我们可以略过烦琐的中间步骤,直奔主题。
  问题在于,几乎每个人都在谈论星球、原子和DNA等内容,但可能没有人会告诉你现代数学中的某些概念有多么引人入胜。比如,现代数学中有对称群,也有告诉你2加2不一定等于4的新型数字系统,还有“黎曼曲面”(Riemann Surface)等美丽动人的几何图形。人们在介绍数学的时候,就像指着一只小猫对你说老虎就是这个样子的。但是,老虎与猫根本不是一回事儿。我要在书中向大家展现数学美妙绝伦的一面,用威廉&布莱克的话说,就是要让大家领略到“对称中令人震撼的美”。
  大家不要误解,我并不是说阅读本书就能让你成为一名专业的数学研究人员。而且,我也不提倡全民学数学。我们可以这样想:在学会一两个和弦之后,我们就可以用吉他弹奏好几首歌了。你不会因此成为世界上最优秀的吉他手,但你的生活却变得更加丰富多彩了。我在本书中教给大家的就是现代数学中的“和弦”。我保证,当你学会这些你以前没有接触过的“和弦”之后,你的生活肯定会变得更加丰富多彩。
  我的一位老师伊斯雷尔&盖尔范德(Israel Gelfand)经常说:“人们觉得他们无法理解数学,其实关键在于你是怎么向他们解释数学知识的。如果你问一位醉汉:2/3和3/5哪个大?他肯定答不上来。但是,如果你换一种问法:三个人分两瓶伏特加,和五个人分三瓶伏特加,哪一种方案更好?他会毫不犹豫地告诉你:当然是三个人分两瓶伏特加更好。”
  我的目标就是用大家易于理解的语言向大家解释数学这门学科。
  我还会穿插介绍我在苏联的成长经历。由于苏联特殊的政治政策,我无法进入莫斯科大学学习,数学研究的大门在我面前“砰”的一声关上了。但是,我没有因此放弃学习数学。我偷偷溜进莫斯科大学听课,我还找了一些数学方面的书籍阅读,有时甚至会读到深夜。只要有爱,还有什么可以阻止你呢?
  随后,两位杰出的数学家接纳了我,他们成为我的导师。在他们的指引下,我开始了数学研究工作。当时,我还是一名大学生,但是我已经在不懈地探索未知领域了。这是我一生中最难忘的一段时光,尽管当时的政策不允许我在毕业后继续从事数学研究工作。
  然而,奇迹出现了。我将自己完成的几篇数学论文偷偷地寄到了国外,结果引起了学术圈的关注,我在21岁时收到了赴哈佛大学担任客座教授的邀请。因此,我变成了一个没有博士学位的哈佛教授。随后,我继续在学术征程上前进,开始研究朗兰兹纲领。在过去20年里,我参与的一些朗兰兹纲领的研究活动取得了重大突破。在本书中,我将描述杰出数学家们的显著成果以及一些逸事。
  本书的另一个主题是爱。有一次,我发挥了数学家的想象力,发现了“爱的公式”。后来我受到这个爱的公式的启发,拍摄了一部电影――《爱与数学之祭》(Rites of Love and Math,我将在本书的后续章节中做详细介绍)。每次我播放这部电影时,总有人问我:“真的有爱的公式吗?”
  我回答道:“我们发现的所有公式都是爱的公式。”数学不断为我们贡献永恒而深奥的知识,直接触及所有事物的本质,跨越文化、大陆与历史的障碍,将我们所有人联系在一起。我的梦想是让所有人都能看到这些数学思想、公式和方程式中蕴含的美,都能体会其价值,并为之惊叹不已。这样,我们对世界的爱、我们彼此之间的爱,都将更加丰富、更有内涵。
  在撰写本书时,我尽量使用最基本、最直观的方式来解释每一个数学概念。不过,我发现本书的某些章节涉及的数学知识比较深奥(尤其是第8章、第14章、第15章和第17章的部分内容)。如果大家在第一次阅读时觉得本书的某些内容难以理解或者十分烦琐,完全可以跳过这些内容(我也经常以这样的方式阅读)。在读完第一遍、掌握了一些新知识之后,再回过头来阅读这些部分,你可能会觉得理解起来要容易一些。而且,跳过这些部分并不影响你对后续内容的理解。
  也许我更应该提醒大家的是,某些内容一时看不懂其实无伤大雅。我在从事数学研究时,有90%的时间会有不甚明白的感觉,所以,不必紧张,欢迎来到我的世界。困惑(有时甚至是挫败感)是数学研究的一个必不可少的组成部分。不过,我们要看到积极的一面:如果生活中的一切都无须费力便可理解,那样的生活将会多么无聊!数学研究之所以如此令人兴奋,其原因就在于我们渴望解开这种困惑。我们希望理解自己所研究的内容,希望能够揭开数学神秘的面纱。在真正理解之后,我们内心深处会充满成功的喜悦,此时,你会觉得你所付出的一切都很值得。
  在本书当中,我关注的是广阔的图景和不同概念及不同数学分支之间的逻辑关系,而不是技术细节。
  我尽量减少使用公式,只要有可能,我都选择用语言来解释。关于书中出现的那几个公式,大家在阅读时也可以跳过不读。
  关于数学术语,我需要提醒大家注意一个问题。在撰写本书时,我惊讶地发现,在数学学科中使用的某些特定表达,若在其他情况下使用,有可能意思完全不同。例如,数学中使用的“对应”(corresponding)、“表示”(representation)、“结合”(composition)、“圈”(loop)、“流形”(manifold)、“理论”(theory)等术语就与其在日常语境中的意义不同。只要有这种情况出现,我都会做出解释。此外,只要有可能,我都会用意义明晰的数学术语来替代意义模糊的术语,例如,我用“朗兰兹关系”代替了“朗兰兹对应”。
  大家可以登录我的个人网页,查阅我更新的信息及上传的阅读辅助材料。
  除“编者按”外,本文出自《爱与数学》中译本(中信出版社,2016),经授权转自微信公众号“哲学园”。
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