已知EF垂直EG,GM垂直EG,角1=35度,角2=35度,EF与MG平行吗?AB与CD平行吗?为什么?
证明：因为EF垂直于EG,MG垂直于EG,所以EF平行于MG因为EF垂直于EG,MG垂直于EG,角1等于角2,所以角1和角2的余角相等,所以AB平行于CD.因为不能用数学符号,还有不能再图上做标记,只好用文字,你应该看得懂吧,嘿嘿
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& 内蒙古海拉尔三中2012届高三数学总复习课件《空间中的平行关系》
内蒙古海拉尔三中2012届高三数学总复习课件《空间中的平行关系》
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资料概述与简介
2.已知两个不同的平面α,β和两条不重合的直线m,n,有下列四个命题:①若m∥n,m⊥α,则n⊥α;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;③若m⊥α,m∥n,n?β,则α⊥β;④若m∥α,α∩β=n,则m∥n.其中正确命题的个数是(
D.3个 答案:D 解析:①正确,两条平行线中的一条和平面垂直,另一条直线也和平面垂直.②正确,垂直于同一条直线的两个平面平行.③正确,由m⊥α,m∥n可得n⊥α,又n?β,则α⊥β.④不正确,m与n可能相交,也可能异面. 3.如图所示是一正方体的表面展开图,MN和PB是两条面对角线,则在正方体中有(
)A.MN⊥平面PBDB.MN∥平面PBDC.MN?平面PBDD.MN与平面PBD相交但不垂直 解析:正方体如图所示,可知MN∥BD,∴MN∥平面PBD.故选B. 答案:B 4.如图所示,已知六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是(
)A. PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBCC.直线BC∥平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45° 答案:D 解析:若PB⊥AD,由三垂线定理的逆定理可知AB⊥AD,而在正六边形ABCDEF中∠DAB=60°.∴A不成立;若平面PAB⊥平面PBC,过A作AM⊥PB于M,则AM⊥BC.∵PA⊥平面ABC,∴BC⊥PA,∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥AB,而∠ABC=120°,∴B不成立;若BC∥平面PAE,则BC∥AE,又BC∥AD,∴AE∥AD矛盾,∴C不成立. 5.若平面α∥平面β,直线a∥平面α,点B∈β,则在平面β内与过B点的所有直线中(
)A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一与a平行的直线 答案:A 解析:当直线a在平面β内且经过B点时,可使a∥平面α,但这时在平面β内过B点的所有直线中,不存在与a平行的直线,而在其他情况下,都可以存在与a平行的直线,故选A. 6.下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(
D.②④ 解析:①中连AC,则AC∥MN,BC∥NP,可得平面ABC∥平面MNP,AB?平面ABC,∴AB∥平面MNP.如图(1) ②连BD交MP于O,可知O不是BD的中点,∴AB与ON不平行.故AB与ON相交,∴AB与平面MNP相交.如图(2) ③连BN,由MB∥PN可知B、M、N、P四点共面,∴AB与平面MNP相交.④中知AB∥NP,∴AB∥平面MNP. 答案:B 二、填空题7.已知l,m,n是三条不重合的直线,α,β,γ是三个不重合的平面,给出下列四个命题:①若m⊥α,m∥β,则α⊥β;②若直线m,n与α所成的角相等,则m∥n;③若α∩β=l,m?α,n?β,m,n是异面直线,则m与n至多有一条与l平行;④若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.其中真命题是_________. 解析:②错,m,n的关系可以平行、相交、异面.故真命题有①③④. 答案:①③④ 8.(2009·江苏)设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;②若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;③设α和β相交一直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直; ④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直.上面命题中,真命题的序号是________.(写出所有真命题的序号) 解析:由线面、面面平行的判定定理知①②正确;③需α内有一条直线垂直于β,α才和β垂直;④中α内的两条直线必须相交. 答案:①② 9.如右图在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足条件__________时,有MN∥平面B1BDD1. 解析:连结FH,知FH∥DD1,又HN∥DB.∴平面FHN∥平面D1DBB1,∴M∈平面FHN时,MN∥平面B1BDD1,故M∈FH时有MN∥平面B1BDD1. 答案:M∈FH 10.在△ABC中,AB=5,AC=7,A=60°,G是重心,过G的平面α与BC平行,AB∩α=M,AC∩α=N,则MN=___________. 三、解答题11.(2009·天津)如图,在四棱锥P—ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,DB平分∠ADC,E为PC的 (1)证明PA∥平面BDE;(2)证明AC⊥平面PDB;(3)求直线BC与平面PDB所成的角的正切值. 解:(1)证明:连结AC,设AC∩BD=H,连结EH.在△ADC中,因为AD=CD,且DB平分∠ADC,所以H为AC的中点.又由题设,E为PC的中点,故EH∥PA.又EH?平面BDE且PA?平面BDE,所以PA∥平面BDE. (2)证明:因为PD⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以PD⊥AC.由(1)可得,DB⊥AC.又PD∩DB=D,故AC⊥平面PBD. (3)解:由AC⊥平面PBD可知,BH为BC在平面PBD内的射影,所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角. 12.(2009·江苏淮安)如图,在三棱柱BCE—ADF中,四边形ABCD是正方形,DF⊥平面ABCD,M、N分别是AB、AC的中点,G是DF上的一点. (1)求证:GN⊥AC;(2)若FG=GD,求证:GA∥平面FMC. 证明:(1)连结DN,∵四边形ABCD是正方形,∴DN⊥AC.∵DF⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴DF⊥AC.又DN∩DF=D,∴AC⊥平面DNF.∵GN?平面DNF,∴GN⊥AC. (2)取DC的中点S,连结AS、GS.∵G是DF的中点,∴GS∥FC,AS∥CM.又GS,AS?平面FMC,FM、CM?平面FMC,∴GS∥平面FMC,∴AS∥平面FMC.而AS∩GS=S,∴平面GSA∥平面FMC.∵GA?平面GSA,∴GA∥平面FMC. 点评:三种平行关系相互转化的关系. 如(2)中解法一,运用的面面平行的性质证明的线面平行,这也是证线面平行常用的一种方法. 变式2:正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ.求证:PQ∥平面BCE. 证明:证法一:如图所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接MN、PQ.正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,∴AE=BD.又∵AP=DQ,∴PE=QB. 又∵PM∥AB∥QN, 即四边形PMNQ为平行四边形,∴PQ∥MN.又MN?平面BCE,PQ?平面BCE,∴PQ∥平面BCE. 证法二:如图所示,连接AQ,并延长交BC于K,连接EK.∵AE=BD,AP=DQ, 证法三:如图所示,作PH∥EB交AB于H,连接HQ, 题型三
存在性问题例3如图所示,在矩形ABCD中,AB=2BC=2a,E为AB上一点,将B点沿线段EC折起至点P,连接PA、PC、PD,取PD的中点F,若AF∥平面PEC.试确定E点位置. 解析:如图所示,E为AB的中点,证明如下:取PC的中点G,连GE、GF.由条件知GF∥CD,EA∥CD,∴GF∥EA.则G、E、A、F四点共面.∵AF∥平面PEC,平面GEAF∩平面PEC=GE,∴FA∥GE. 则四边形GEAF为平行四边形, 变式3:(2009·江苏调研)如图,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,点D在边BC上,AD⊥C1D. (1)求证:AD⊥平面BCC1B1; 解:(1)在正三棱柱ABC—A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AD?平面ABC,∴AD⊥CC1.又AD⊥C1D,CC1∩C1D=C1,且CC1和C1D都在面BCC1B1内,∴AD⊥平面BCC1B1. (2)由(1)得AD⊥BC.在正△ABC中,D是BC的中点.当
,即E为B1C1的中点时,A1E∥平面ADC1.事实上,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,四边形BCC1B1是矩形,且D、E分别是BC、B1C1的中点,所以B1B∥DE,且B1B=DE. 又B1B∥AA1,且B1B=AA1,∴DE∥AA1,且DE=AA1.所以四边形ADEA1为平行四边形,所以EA1∥AD.而EA1?平面ADC1内,故A1E∥平面ADC1. 笑对高考第三关
技巧关 典例如图所示,四边形ABCD为矩形,BC⊥平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(1)设点M为线段AB的中点,点N为线段CE的中点.求证:MN∥平面DAE;(2)求证:AE⊥BE. 证明:(1)证法一:取DE的中点P,连结PA,PN,因为点N为线段CE的中点.所以PN∥DC,且PN=
DC,又四边形ABCD是矩形,点M为线段AB的中点,所以AM∥DC,且AM=
DC,所以PN∥AM,且PN=AM,故四边形AMNP是平行四边形,所以MN∥AP.而AP?平面DAE,MN?平面DAE,所以MN∥平面DAE. 证法二:BE的中点为G,连MG、NG,则MG∥AE,∴NG∥BC,∵AE?面DAE,MG?面DAE,∴MG∥面DAE.同理NG∥DA,NG∥面DAE,NG∩MG=G,故平面MNG∥面DAE.∵MN?面MNG,∴MN∥平面DAE. (2)因为BC⊥平面ABE,AE?平面ABE,所以AE⊥BC,又BF⊥平面ACE,AE?平面ACE,所以AE⊥BF,又BF∩BC=B,所以AE⊥平面BCE,又BE?平面BCE,所以AE⊥BE. 点评:证明线面平行的常用方法有:①利用线面平行的判定定理;②利用面面平行的性质定理 考 向 精 测 1.已知m,n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,下列命题中正确的是(
) 答案:D 解析:A错,平行于同一平面的两条直线可能平行,也可能相交或异面.B错,垂直于同一平面的两个平面可能平行,也可能相交.C错,m,n的关系不确定.D正确. (1)证明:平面PAD⊥PCD;(2)试在棱PB上确定一点M,使截面AMC把几何体分成的两部分VPDCMA:VMACB=2:1;(3)在M满足(2)的情况下,判断直线PD是否平行面AMC. 解:(1)证明:依题意知:CD⊥AD.又∵面PAD⊥面ABCD,∴DC⊥平面PAD.又DC?面PCD,∴平面PAD⊥平面PCD. (2)由(1)知PA⊥平面ABCD,∴平面PAB⊥平面ABCD.在PB上取一点M,作MN⊥AB于点N,则MN⊥平面ABCD,设MN=h, (3)连接BD交AC于O,因为AB∥CD,AB=2,CD=1,由相似三角形易得BO=2OD,∴O不是BD的中点,又∵M为PB的中点,∴在△PBD中,OM与PD不平行,∴OM所在直线与PD所在直线相交,又OM?平面AMC,∴直线PD与平面AMC不平行. 课时作业(四十二)
空间中的平行关系 一、选择题1.设m,n表示不同的直线,α,β表示不同的平面,且m,n?α.则“α∥β”是“ m∥β且n∥β”的(
)A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 答案:A 解析:由α∥β,m,n?α,可得m∥β,n∥β,由m∥β,n∥β,m,n?α,不能得出α∥β.故选A. 第*页 共 92 页 第*页 共 92 页 第四十二讲
空间中的平行关系 走进高考第一关
考点关回 归 教 材 1.直线与平面平行的判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.符号表示:a?α,b?α,且a∥b?a∥α.图形: 说明:(1)直线与平面平行的判定定理具备三个条件:平面外的一条直线、平面内的一条直线、两直线平行,三个条件缺一不可.(2)定理充分体现了转化的思想,它将线面平行问题转化为线线平行问题. 2.平面与平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.符号表示:a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α?β∥α.图形: 说明:(1)利用判定定理证明两个平面平行,必须具备:有两条直线平行于另一个平面,这两条直线必须相交. (2)由两个平面平行的判定定理可以得出推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行. 3.直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.符号表示:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b.图形: 说明:注意定理中有三个条件:直线a∥平面α,α∩β=b,a?β,这三个条件缺一不可. 4.平面与平面平行的性质(1)定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.符号表示:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b.图形: (2)其他结论①如果两个平面平行,那么在一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行.符号表示:α∥β,a?β?a∥α.②夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度相等.③经过平面外一点,有且仅有一个平面和已知平面平行. 考 点 训 练 1.(2009·福建)设m,n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分而不必要条件是(
)A.m∥β且l1∥αB.m∥l1且n∥l2C.m∥β且n∥βD.m∥β且n∥l2 解析:根据面面平行的判定定理及充要条件的定义,判断B为α∥β的充分不必要条件. 答案:B 2.(2009·广东)给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是(
) A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④ 解析:①错,应该为一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面相互平行.③错,两直线可能相交,也可能异面.故②④正确,选D. 答案:D 3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是棱A1D1上的动点,则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是(
)A.平行B.相交C.在平面内D.相交或平行 解析:∵MD与AA1相交或平行,故选D. 答案:D 4.如图,ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M、N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上 解析:连结AC,易知MN∥平面ABCD,∴MN∥PQ,又MN∥AC,∴PQ∥AC. 解读高考第二关
热点关 题型一
平行关系的判定与性质定理的考查例1已知m、n是不重合的直线,α、β是不重合的平面,有下列命题:①若m?α,n∥α,、m∥n;②若m?α,m∥β,则α∥β;③若α∩β=n,m∥n,则m∥α且m∥β;④若m⊥α,m⊥β,则α∥β.其中真命题有_________. 解析:①m?α,n∥α,则m与n可能平行,也可能异面,故不正确;②m?α,m∥β,则有α与β平行或相交,故不正确;③若α∩β=n,m∥n,则m可能在平面α或平面β内,故不正确;④垂直于同一条直线的两个平面平行,正确.∴真命题有④. 答案:④ 点评:这类关于空间点、线、面位置关系的组合判断类试题是全面考查考生对空间位置关系的判定和性质掌握的程度,解决这类问题的基本思路有:①逐个寻找反例,作出否定的判断,逐个进行逻辑证明作出肯定的判断;二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断,但要注意定理应用准确、考虑问题全面细致. 变式1:设M表示平面,a,b表示直线,给出下列四个命题: 解析:①②显然正确,命题③,直线b有可能在平面M内,对于命题④,直线b可能与平面M平行或斜交,或在平面M内. 答案:①② 题型二
证明平行关系例2如图所示,在四棱锥P—ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2. (1)若F为PC的中点,求证:PC⊥平面AEF;(2)求证:CE∥平面PAB. 解析:(1)∵PA=CA,F为PC的中点,∴AF⊥PC.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.∴CD⊥PC.∵E为PD的中点,F为PC的中点,∴EF∥CD,则EF⊥PC.∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面AEF. (2)解法一:如图所示,取AD的中点M,连接EM,CM,则EM∥PA,∵ME?平面PAB,PA?平面PAB,∴EM∥平面PAB.在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AC=AM=2,∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°,∴MC∥AB. ∵MC?平面PAB,AB?平面PAB,∴MC∥平面PAB.∵EM∩MC=M,∴平面EMC∥平面PAB.∵CE?平面EMC,∴CE∥平面PAB. 解法二:如图所示,延长DC,AB,设它们交于点N,连接PN.∵∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD,∴C为ND的中点.∵E为PD的中点,∴EC∥PN.∵EC?平面PAB,PN?平面PAB,∴EC∥平面PAB. 第*页 共 92 页 第*页 共 92 页
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如图 已知ab平行于cd 角1 角2 求证角bef 角efc
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官方公共微信如图所示,已知EF⊥EG,MG⊥EG,垂足分别为E、G,∠1=∠35°,∠2=35°,Ef与MG平行吗?AB与CD平行吗?为什么?
瀇谇vv_q8l
答案为都平行解题过程如下补充：∵EF⊥EG,GM⊥GE,∴EF∥GM,∵EF⊥EG,GM⊥GE,∠1=35°,∠2=35°,∴∠AEG=∠CGN,∴AB∥CD．故答案为：EF∥GM,AB∥CD．补充：根据垂直的定义以及同位角相等两直线平行得出即可
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