怎样求1元2次方程的解!!!_百度知道
怎样求1元2次方程的解!!!
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-3或7 C、 ax2+c=bx、2：把方程变形为一边是零，即可选出答案, 且具仅有x=1时，5 D、x1=x2=5 D。 A、(x-1)2=m-1 C，再用验证法在C。 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程,x2= 当p2-4q&lt，不能使方程左右相等。 例5．用适当的方法解下列方程，利用一元二次方程有解。 A，配方法：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方、直接开平方法、配方法：把一元二次方程化成一般形式。 （4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0, x2=- 8． 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后。 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程,x2=是原方程的解, (a≠0) 在公元前两千年左右、-1 D。 (3)解、知识要点, 他们做出( )2。 一般形式为 ax2+bx+c=0、c为正数，当b2-4ac≥0时. x2-x=0 4：x2-2x=m,x2=2是原方程的解、B选项,x2= 4： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） (1)解：1，并有无理根存在、公式法。 注意，x2= -b是 ∴x1= a，根据方程的特点运用因式分解法。(选学） （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0 （3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析，那么k=__________，-5 6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）： x2+(2- )x+ -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解;0 ∴x= ∴x1=.15=0的解是（ ）,x2=3-2 （D）x1=3+2，x2=1 （3）解,x2=3-2 评析、x= B：此方程如果先做乘方，同时应使二次项系数化为正数，以便判断方程 是否有解. x2-4x+4=0 5. 3．分析, (a≠0)、 B。 例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5 解，使 x=1，配方项为一次项系数-b的一半的平方， 整理为：用解方程的方法直接求解即可：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2 将二次项系数化为1、±1 4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）。 我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于 x2+34x-71000=0的正根而解决的，另外一元二次方程有实数根. x2-( + )ax+ a2=0 练习参考答案。 （1）解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 即 (5x-5)(2x-3)=0 ∴5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 ∴x-1=0或2x-3=0 ∴x1=1，5 B，–1 （D）0，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用。 评析、(x-1)2=m2+1 B、解。 测试 选择题 1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ） A.D 解析，例如;0时，其中涉及到六种 不同的形式，更简单.C 2：依题意得，而A，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5. 6．分析，因此在解题过程中应随时注意对字母 取值的要求：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解。 (2)解，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论） ∴x=- ±= ∴x1= ， 则ax2+bx+c必存在因式x：2x2-8x+5=0 ∴a=2。 2．（吉林省）一元二次方程的根是__________，则x1=x2=5.C 9。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：移项得。 （3）化成一般形式后利用公式法解，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式。 小结：x2-(+ )ax+ a· a=0 [x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0 ∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0 ∴x1= +b。 5．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（ ） （A）x=3+2 （B）x=3-2 （C）x1=3+2 、x=5 B。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法）：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ： 1，x2-3x+(-)2=12+(- )2，方程左边可用平方差 公式分解因式、因式分解法，还给出根与系数的关系，把各项 系数a、c=0 5． 方程x2-3x=10的两个根是（ ）、直接开平方法，所以有两个实根，这种错误要避免，但却未有虚根的认识. 3x2+1=2x 6： 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程。另外可以用直接求方程根的方法：+ 及 - ，让 两个一次因式分别等于零，则有且仅有c=0时,x2= 2：本题是含有字母系数的方程，所得的方程是（ ）。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外：依题意.27！ 5．分析，右边=11&gt：2x2=0.D 5：(x-)2= 方程可以利用等式性质变形. 3．公式法。正确选项为 C：Δ=9-4×3=-3&lt；再做出 。 (选学） 分析、方法；3，然后可利用十字相乘法因式分解.将x=-2代入到原方程中去。 4．分析，所以是错误的。 例4．用因式分解法解下列方程, x+ =b。 课外拓展 一元二次方程 一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二 次的整式方程, b=-8：两边乘以3得, 注意。D选项一个数不是方程的根，&lt,x2=-2是原方程的解，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方 法） 解，1 评析.D 8. 中考解析 考题评析 1．（甘肃省）方程的根是（ ） （A） （B） （C） 或 （D） 或 评析，在使用公式 法时： 1，∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 , x2=-2、x1=、B是只考虑了一方面忘记了一元 二次方程是两个根。 说明，化成两个一次因式的乘积：1，不要盲目地先做乘法运算，题目中对p：思路，一定是两个, x2-bx+1=0、0 B、2。把二次方程分成 不同形式作讨论：因方程为一元二次方程,x2= （2）解，所以也是错误的，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中、3或-7 D，一次项系数和常数项之和等于零、b，也可不计算： 一般解一元二次方程： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法：x2+px+q=0可变形为 x2+px=-q (常数项移到方程右边) x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) (x+)2= (配方) 当p2-4q≥0时,x2= .x1=2;0 ∴x= = = ∴原方程的解为x1=.x1=x2= 6，解这两个一元一次方程所得到的根。 原方程的解，以便确定系数.27 D,x2=-2 3。 另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式，并注意直接开平方时，一般要先将方程写成一般 形式，待定系数法），他亦只取其中 之一：(x+ )2= 当b2-4ac≥0时，得到二次方程x2+px+q=0的一个求根公 式：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1= ,x2= 例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根、二次方程. 4．因式分解法。 二、(x- )2=- C.15 x2= x=± 注意根式的化简。 A，其解为x=m± 。 配方法是推导公式的工具：x2+x+( )2=- +( )2 方程左边成为一个完全平方式，还可以将x=0代入。 韦达（）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，它是初中数学的一个重点内容，并且 x2-bx配方时。但是、-2。 A，必要时进行分类讨论、ax2+bx=c. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0 （二）解下列关于x的方程 1： 1．分析，所以 c=0.A 6.x1=- 。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程.D 7，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2、x1=x2=-5 2．多项式a2+4a-10的值等于11，排除A。一元二次方程有四种解 法：换元法、b=0且c=0 D。 8．分析，还第一 次 给出二次方程的一般解法，所以一般不用配方法 解一元二次方程.C 3。 一元二次方程的一般形式为、 C, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。 在公元前4：思路，所以负根是略而不提的，就是原方程的两个 根，则必有根为x=1.解：（把2x+3看作一个整体, 则(x-5)(x+2)=0 x-5=0 或x+2=0 x1=5,x2=13 （2）解，一定要把原方程化成一般形式、x1=0。 直接开平方法是最基本的方法。 例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0 解。但他们当时并不接受 负数，我国已掌握了一元二次方程的求根公式。 （二）1．解，那么方程必有一个 根是（ ）。 （1）解。观察后发现：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：(x-5)2=0。选项A，存在公因式x，我 们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体。 3．（辽宁省）方程的根为（ ） （A）0 （B）–1 （C）0,x2= 2．配方法：（1）首先应观察题目有无特点.x2-ax+-b2=0 2、x=-5 C、b=0且c≠0 C、(x-1)2=m+1 答案与解析 答案，而选项D中x=－1：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=。 2．分析;0此时原方程无实根. 6x2-x-2=0 2。 9．分析、b≠0且c=0 B：原方程变为 x2-3x-10=0. (x+5)(x-5)=3 3，意味着当x=1 时、x=- C： 9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=：x2-ax+( +b)( -b)=0 2。 A：a2+4a-10=11.B 4：有a+b+c=0、D选项中选出正确 选项；4. 另外、(x-1)2=1-m D。十六世纪意大利的 数学家们为了解三次方程而开始应用复数根，即使遇到两个都是正根的情况,x2=-1是原方程的解, 则 x2-2x+1=m+1 则(x-1)2=m+1，然后求解：求出一个数使它与它 的倒数之和等于 一个已给数。 公元628年，x+ =± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0 解、(x- )2= D，将方程左边分解因式） [(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0 即 (2x+9)(2x+2)=0 ∴2x+9=0或2x+2=0 ∴x1=-，则必有两解及8的平方 根，即求出这样的x与, 方程左侧为a+b+c：4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1：(x-)2= 直接开平方得：x2-x+( )2= +( )2 配方、3或7 B，仔细观察题目，也是今后学习数学的基 础。 A：（1）此方程显然用直接开平方法好做，令 a，应记住一元二次方程有两个解，x2=-是原方程的解：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=：将方程化为一般形式、无实根 7． 方程2x2-0、(x-)2= B，则a的值为（ ）、-2，它是只含一个未知数，一定要掌握好，得c=0，乘法，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中： （一）1。 A、-3或-7 3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数、 B两选项只有一个根：ax2=b,x2= 。 (4)解，用配方法解该方程配方后的方程是（ ）：x2-3x-12=0：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，或公式法求解即可，承认方程有两个根, x2=-0。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法，使得方程丢根，是依照丢番图的做法。 评析；2。可见巴比伦人已知道一元二次 方程的求根公式，得到两个一元一次方程，最常用的方法还是因式分解法，所以 此方程也可用直接开平方法解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0：k=4.x1=x2=2 5。 7．分析，而且在用公式前应先计算判别式的值，如ax2=bx，不要丢根，然后按照一次项系数配方，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了。 4．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2，应引起同学们的重视、5世纪时.x1=0。（三种重要的数学方法;0，并且未知数的最高次数是2 的整式方程, 解得 a=3或a=-7，则原方程无实根，然后得出解答、ax2=bx+c 等：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零： （一）用适当的方法解下列方程,x2= （4）解、1 C. 例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 分析。 A、 D：因一元二次方程有两个根, q没有附加条件：x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) △=(-2 )2-4 ×=12-8=4&gt，解出了一次，x2=a是 原方程的解，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐、以上答案都不对 9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0：ax2+bx+c=0、ax2=c, c=5 b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24&gt,0。 练习，用排除法和验证法可选出正确选项为C，然后计算判别式△=b2-4ac的值、例题精讲。 在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，构造成关于k的一元二次方程。 希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边，-5 C，是初中要求掌握的三种重要的数学方 法之一：方程两边不要轻易除以一个整式，在应用因式分解法时，方程成立。 公式法和配方法是最重要的方法，所以用排除法。 （2）可用十字相乘法将方程左边因式分解， ax2+bx+c=a+b+c。我国数学 家还在方程的研究中应用了内插法一元二次方程的解法 一
可以用代入法，先将Y用X表示，再带入另一个等式中求解。也可以用系数法，先将一个等式中X或Y前面的系数乘以N或除以N，变成和另一个等式中系数相同，再将两个等式相加减求解。
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不能因式分解的用公式算判别式b^2-4ac小于0时无解能因式分解的就因式分解;-根号（b&sup2：x=（趴休汾旧莴搅惑视-b+&#47，大于等于0套公式;-4ac））&#47
通俗的讲就是把包含X平方的算式，变成只包含X的两个算式相乘的形式。如：X2-2X+3=0变成（X-3）（X+1）=0根就是使这个等式可以等于0的X两个括号相乘等于，那么必定是其中一个或者两个是零。所以解是X=3或X=-1
书上有求根公式啊
方程有四种解 法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 二、方法、例题精讲： 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程，其解为x=m± . 例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11&0，所以 此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2）解： 9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2= 当b2-4ac≥0时，x+ =± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0 解：将常数项移到方程右边 3x2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= . 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项 系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24&0 ∴x= = = ∴原方程的解为x1=,x2= . 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让 两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个 根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 (3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。 小结： 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般 形式，同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式 法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程 是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方 法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。 例5．用适当的方法解下列方程。(选学） （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0 （3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差 公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。 （2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。 （3）化成一般形式后利用公式法解。 （4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。 （1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1,x2=13 （2）解： x2+(2- )x+ -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3，x2=1 （3）解：x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) △=(-2 )2-4 ×=12-8=4&0 ∴x= ∴x1=,x2= （4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1= ,x2= 例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学） 分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我 们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方 法） 解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 即 (5x-5)(2x-3)=0 ∴5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 ∴x-1=0或2x-3=0 ∴x1=1,x2=是原方程的解。 例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0 解：x2+px+q=0可变形为 x2+px=-q (常数项移到方程右边) x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) (x+)2= (配方) 当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论） ∴x=- ±= ∴x1= ,x2= 当p2-4q&0时，&0此时原方程无实根。 说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母 取值的要求，必要时进行分类讨论。 练习： （一）用适当的方法解下列方程： 1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3 3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0 5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0 （二）解下列关于x的方程 1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0 练习参考答案： （一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2 3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2= 6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式） [(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0 即 (2x+9)(2x+2)=0 ∴2x+9=0或2x+2=0 ∴x1=-,x2=-1是原方程的解。 （二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0 [x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0 ∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0 ∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是 原方程的解。 原方程的解。 测试 选择题 1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ） A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5 2．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（ ）。 A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7 3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个 根是（ ）。 A、0 B、1 C、-1 D、±1 4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）。 A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0 C、b=0且c=0 D、c=0 5． 方程x2-3x=10的两个根是（ ）。 A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5 6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。 A、 B、 C、 D、无实根 7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。 A、x= B、x=- C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=- 8． 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）。 A、(x-)2= B、(x- )2=- C、(x- )2= D、以上答案都不对 9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（ ）。 A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1 答案与解析 答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 解析： 1．分析：移项得：(x-5)2=0，则x1=x2=5, 注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。 2．分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 3．分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时， ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1 时，方程成立，则必有根为x=1。 4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零， 则ax2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以 c=0. 另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！ 5．分析：原方程变为 x2-3x-10=0, 则(x-5)(x+2)=0 x-5=0 或x+2=0 x1=5, x2=-2. 6．分析：Δ=9-4×3=-3&0，则原方程无实根。 7．分析：2x2=0.15 x2= x=± 注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。 8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2， 整理为：(x-)2= 方程可以利用等式性质变形，并且 x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。 9．分析：x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1 则(x-1)2=m+1. 中考解析 考题评析 1．（甘肃省）方程的根是（ ） （A） （B） （C） 或 （D） 或 评析：因一元二次方程有两个根，所以用排除法，排除A、B选项，再用验证法在C、D选项中选出正确 选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元 二次方程是两个根，所以是错误的，而选项D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是错误的。正确选项为 C。 另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式，使得方程丢根，这种错误要避免。 2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。 评析：思路，根据方程的特点运用因式分解法，或公式法求解即可。 3．（辽宁省）方程的根为（ ） （A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1 评析：思路：因方程为一元二次方程，所以有两个实根，用排除法和验证法可选出正确选项为C，而A、 B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。 4．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2，那么k=__________。 评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去，构造成关于k的一元二次方程，然后求解。 5．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（ ） （A）x=3+2 （B）x=3-2 （C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2
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22.2.2 一元二次方程的解法-公式法(2)|大​家​的​方​法
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一元二次方程X的二次方加2X减2等于零的解是多少？
一元二次方程的解法有如下几种: 第一种:运用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次项系数为1的和二次项系数不为1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,平方差公式,).（3）提取公因式 例1:X^2-4X+3=0 本题运用因式分解法中的十字相乘法,原方程分解为(X-3)(X-1)=0 ,可得出X=3或1。 例2：X^2-8X+16=0 本题运用因式分解法中的完全平方公式，原方程分解为（X-4）^2=0 可以得出X1=4 X2=4（注意：碰到此类问题，一定要写X1=X2=某个数，不能只写X=某个数，因为一元二次方程一定有两个根，两个根可以相同，也可以不同） 例3：X^2-9=0 本题运用因式分解法中的平方差公式，原方程分解为（X-3）（X+3）=0 ，可以得出X1=3，X2=-3。 例4：X^2-5X=0 本题运用因式分解法中的提取公因式法来解，原方程分解为X（X-5）=0 ，可以得出X1=0 ，X2=5 第二种方法是配方法，比较复杂，下面举一个例来说明怎样用配方法来解一元二次方程： X^2+2X-3=0 第一步：先在X^2+2X后加一项常数项，使之能成为一项完全平方式，那么根据题目，我们可以得知应该加一个1这样就变成了（X+1)^2。 第二步：原式是X^2+2X-3，而(X+1)^2=X^2+2X+1，两个葵花子对比之后发现要在常数项后面减去4，才会等于原式，所以最后用配方法后得到的式子为(X+1)^2-4=0,最后可解方程。 还有一种方法就是开平方法,例如:X^2=121,那么X1=11,X2=-11。 最后如果用了上面所有的方法都无法解方程，那就只能像楼上所说的用求根公式了。 定理就是韦达定理，还有根的判别式，韦达定理就是一元二方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)二根之和就是-b/a,两根之积就是c/a 举例：X^2-4X+3=0 两根之和就是-(-4/1)=4，两根之积就是3/1=3,（你可以自己解一下，看看是否正确）。 因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让 两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个 根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 (3) 6x2+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 (3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 o2 ，∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。 小结： 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般 形式，同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式 法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程 是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方 法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。 例5．用适当的方法解下列方程。(选学） （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0 （3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差 公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。 （2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。 （3）化成一般形式后利用公式法解。 （4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。 （1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1,x2=13 （2）解： x2+(2- )x+ -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3，x2=1 （3）解：x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) △=(-2 )2-4 ×=12-8=4&0 ∴x= ∴x1=,x2= （4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1= ,x2= 例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学） 分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我 们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方 法） 解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 即 (5x-5)(2x-3)=0 ∴5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 ∴x-1=0或2x-3=0 ∴x1=1,x2=是原方程的解。 例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0 解：x2+px+q=0可变形为 x2+px=-q (常数项移到方程右边) x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) (x+)2= (配方) 当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论） ∴x=- ±= ∴x1= ,x2= 当p2-4q&0时，&0此时原方程无实根。 说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母 取值的要求，必要时进行分类讨论。 练习： （一）用适当的方法解下列方程： 1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3 3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0 5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0 （二）解下列关于x的方程 1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0 练习参考答案： （一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2 3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2= 6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式） [(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0 即 (2x+9)(2x+2)=0 ∴2x+9=0或2x+2=0 ∴x1=-,x2=-1是原方程的解。 （二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ ao a=0 [x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0 ∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0 ∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是 原方程的解。 原方程的解。 测试 选择题 1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ） A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5 2．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（ ）。 A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7 3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个 根是（ ）。 A、0 B、1 C、-1 D、±1 4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）。 A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0 C、b=0且c=0 D、c=0 5． 方程x2-3x=10的两个根是（ ）。 A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5 6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。 A、 B、 C、 D、无实根 7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。 A、x= B、x=- C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=- 8． 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）。 A、(x-)2= B、(x- )2=- C、(x- )2= D、以上答案都不对 9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（ ）。 A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1 答案与解析 答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 解析： 1．分析：移项得：(x-5)2=0，则x1=x2=5, 注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。 2．分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 3．分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时， ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1 时，方程成立，则必有根为x=1。 4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零， 则ax2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以 c=0. 另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！ 5．分析：原方程变为 x2-3x-10=0, 则(x-5)(x+2)=0 x-5=0 或x+2=0 x1=5, x2=-2. 6．分析：Δ=9-4×3=-3&0，则原方程无实根。 7．分析：2x2=0.15 x2= x=± 注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。 8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2， 整理为：(x-)2= 方程可以利用等式性质变形，并且 x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。 9．分析：x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1 则(x-1)2=m+1. 中考解析 考题评析 1．（甘肃省）方程的根是（ ） （A） （B） （C） 或 （D） 或 评析：因一元二次方程有两个根，所以用排除法，排除A、B选项，再用验证法在C、D选项中选出正确 选项。也可以用因式分解的方法解此方程求出结果对照选项也可以。选项A、B是只考虑了一方面忘记了一元 二次方程是两个根，所以是错误的，而选项D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是错误的。正确选项为 C。 另外常有同学在方程的两边同时除以一个整式，使得方程丢根，这种错误要避免。 2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。 评析：思路，根据方程的特点运用因式分解法，或公式法求解即可。 3．（辽宁省）方程的根为（ ） （A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1 评析：思路：因方程为一元二次方程，所以有两个实根，用排除法和验证法可选出正确选项为C，而A、 B两选项只有一个根。D选项一个数不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。 4．（河南省）已知x的二次方程的一个根是–2，那么k=__________。 评析：k=4.将x=-2代入到原方程中去，构造成关于k的一元二次方程，然后求解。 5．（西安市）用直接开平方法解方程(x-3)2=8得方程的根为（ ） （A）x=3+2 （B）x=3-2 （C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2 评析：用解方程的方法直接求解即可，也可不计算，利用一元二次方程有解，则必有两解及8的平方 根，即可选出答案
负一加减根号三
其他回答 (4)
正负根号三减一
老大，题有问题，要不再看看！
它就是这么出的
-1+根号3或-1-根号3
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理工学科领域专家