十二生肖趣味数学问题
十二生肖趣味数学问题
&&&&我国古代人民用干支纪年，其中十二地支对应十二种动物，称为十二生肖。十二生肖涉及到人民生活的方方面面，形成了源远流长的生肖文化。在许多趣味数学问题中，也有不少是与十二生肖相联系的，辑录起来，也是一件趣事。
一、老鼠穿墙问题
我国古代最重要的数学著作《九章算术》中有一个有趣的老鼠穿墙问题。大意如下：
现有墙厚5尺，两只老鼠分别在墙两边正对着打洞，第一天大小老鼠各打洞1尺，以后大鼠每天的进度比前一天增加一倍，小鼠每天的进度只有前一天的一半。问几天两鼠相遇？&& &这是《九章算术》第七章中的第12题。该章专门讨论“盈不足“问题，盈不足术是我国古代一种独特的算法，在数学的发展史上占有重要的地位，对后世数学的发展也产生过重要影响。从方法论的角度看，盈不足方法蕴含着模型化方法、化归方法、以及近似、逼近等方法。本题就是通过盈不足术给出模型，再用逼近的方法求得解答的近似值的。如果要用现代数学的方法，可以利用等比级数列列出方程，再求根的近似值。&
二、牛吃草问题
例如著名数学家阿基米德和牛顿都编制过与牛有关的趣味数学问题，牛顿提出了一个“牛吃草”的问题：
有三个牧场，场里的草长的一样密，也长的一样快。它们的面积分别是10/3英亩，10英亩和24英亩。第一个牧场饲养12头牛可以维持4个星期，第二个牧场饲养21头牛可以维持9个星期，如果第三个牧场要为持18个星期，这个牧场应该饲养多少头牛？
这个问题有多种解法，可是牛顿却特别喜欢他的算术解法。
至于阿基米德的牛群问题，是由22组对偶句组成的长诗，它于1773年在一本希腊手抄本中发现。&
三、老虎与狐狸
人们都很熟悉狐假虎威的寓言，但是老虎毕竟不是吃素的，一旦识破狐狸的诡计，必将毫不容情地捕杀狐狸。于是，便有了下面这道数学趣题：
一只老虎发现离它10米远的地方有一只狐狸，马上扑了过去。老虎跑7步的距离，狐狸要跑11步，但狐狸的频率快，老虎跑3步的时间，狐狸能跑4步。问老虎能不能追上狐狸？如果能追上，老虎要跑多少米？
老虎跑66米就能追上狐狸。有趣之处在于：我们不知道老虎和狐狸的速度，却能得到问题的答案。&
四、饿狼扑兔
斐波那契数列最初就是用兔子的繁殖问题为背景编成的趣味数学问题，后来发展成了重要的数学分支。
欧洲文艺复兴时期，著名的艺术大师达芬奇提出了一个有趣的“饿狼扑兔”问题：
如图2，C点是一个兔子洞，一只兔子正在洞口南面60米的地方O点处觅食。一只饿狼正在兔子正东方向100米处的A点游荡。兔子猛然回首，碰见了饿狼那贪婪而凶残的目光，预感大祸临头，于是急忙掉头向自己的洞穴逃去。说时迟，那时快，饿狼眼看即将到口的美食将要逃掉，岂肯罢休。马上以两倍于兔子的速度紧盯着兔子追去。请问这只饿狼能逮住兔子吗？
&&&&&&& 这是一个很有趣的问题。因为狼是始终紧盯着兔子追去的，因此它会不断地改变运动的方向，它跑的路线不是一条直线，而是一条曲线。当兔子安全进洞的时候，狼离洞口还有差不多两米的距离，眼睁睁看着兔子逃进洞里去了。如果饿狼不是“死死盯住兔子”，而是把眼光放远一点，直奔洞口，然后在洞口“守株待兔”，兔子就难逃恶运。
五、分形与龙
在自然界中，有许多物体的形状和现象十分复杂，崎岖的山岳走势，纵横交错的江河流向，蜿蜒曲折的海岸线，奇形怪状的云层等等，都是一种混沌现象，这些事物的形状称为分形，分形是前沿科学混沌科学的重要分支。分形有两种类型，一是几何分形，二是随机分形。我们知道，直线是一维的，正方形是二维的，圆柱体是三维的，而分形的维数却是一个分数。下面这个称为“龙”的图形就是一个分形，它是一位名叫J·E·亥威的物理学家首先发现的。
&&&&&& 这条曲线的作法是：如图所示，从一个等腰直角三角形开始，以该等腰直角三角形的直角边为斜边作另外的等腰直角三角形，并把原来直角三角形的斜边去掉。再以新的等腰直角三角形的直角边为斜边，作另一些等腰直角三角形，并把原来的斜边去掉。如此继续，便会得到一条龙。
六、黑蛇进洞
在任何一本趣味数学读物中都不难找到印度古代（公元9世纪）数学家摩诃毗罗的“黑蛇进洞”问题：
一条长80安古拉（古印度长度单位）的大黑蛇，以十四分之五天爬七又二分之一安古拉的速度爬进一个洞，而蛇尾每四分之一天却要长四分之十一安古拉。请问黑蛇需要几天才能完全爬进洞？
列出一元一次方程不难算出，大黑蛇需要8天才能完全进洞。
《美国游戏数学杂志》曾经提出过一个有趣的“两头蛇数”问题：
有一个正整数N的首尾分别加上一个1，得到一个新数，如果新数是原数的99倍，则称N为“两头蛇数”，试求出N.
你能找到这种数吗？N=112 359 550 561 797 752 809就是一个“两头蛇数”。&
七、千里马
韩愈说：“世有伯乐，而后有千里马；千里马常有，而伯乐不常有。”在《九章算术》的盈不足章的第19题中，我们就可以发现一匹“千里马”：
今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里。良马处日行一百九十里，日增十三里。驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马。问几何日相逢及各行几何？
《九章算术》用盈不足术来解此题，得到的是近似值。如果用方程解，要列一元二次方程取正根式解。&&&& 如图所示，一个马从点出发，能否跳步到达对方九宫中的Q点？
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&在棋盘上建立直角坐标系，设马的位置在点0，y0)处，因为马走“日”字，如图所示，马从（）出发，每跳一步之后，只能到达、、、、、、、这个点，在每一个点两个坐标的和要么增加了或－，例如、－，要么增加了＋或－，如（）、（－），总之是增加或减少了一个奇数。连跳步，仍然是增加或减少了一个奇数。点两个坐标之和，点两个坐标之和是，两个坐标之和增加了，是奇数，只要能想办法把它分成个绝对值小于等于的奇数之和，就找到了一种跳法。例如－－－－－，就对应一种跳法。请你试一试，一共能找到几种跳法。
至如连跳步，两坐标之和将增加一个偶数，是无法从跳到的。
八、百羊问题
明代数学家程大位（）的《算法统宗》第十二卷载有“百羊问题”，在国际上流传颇广，这道题是用诗歌的形式写成的：
甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后。戏问甲及一百否？甲云所说无差谬。
若得这般一群羊，再添半群小半群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？
大意是：甲全部的羊，加上一半（半群），再加上四分之一（小半群），再加上乙的一只羊，恰好凑成一百只羊。你知道甲有多少只羊吗？&
九、五猴分桃
用猴子为对象的趣味数学问题很多，特别有名的是下面的“五猴分桃”问题：
有5只猴子在一个小岛上发现了一堆桃子，它们想平均分配，但无论如何也分不开。天色已晚，于是大家相约去睡觉，明天再分。夜里，第一只猴子趁大家熟睡之际，偷偷爬到桃子边，先取一个吃了，剩下的恰好可以平均分作5份，这个猴子将其中一份蒇了起来，然后重新去睡觉。过了一会，第二只猴子又爬起来，在剩下的桃子中取一个吃了，剩下的也恰好可以平均分成5份，它也将其中的一份蒇起来然后去睡觉。接着第三只、第四只猴子都先后偷偷起来，照此办理：先吃掉一个，然后把剩下的五份中的一份蒇起来。最后第五个猴子起来，拿一个桃子吃了，剩下的桃子仍然可以平均分成5份。请问这堆桃子最少有多少只？&& &这真可算得上一道名题。美国作家本·艾姆斯·威廉曽经把它写成一篇小说，发表在1926年的《周末晚报》上。美国著名数学科普作家马丁·伽德纳不仅把它写进自己的著作里，并称它“不是一个简单的题目”。英国数理逻辑学家怀德海精心研究了这个问题，并且提出了一种很简单的解法。1979年春，李政道博士访问中国科大，又把这道题给少年班的大学生们做，并鼓励大家寻求最简便的解法。当年《中国青年报》详细地报道了这次访问，并刊登了这道题目。散见于书刊杂志的各种不同解法至少有十余种之多。
与猴子有关的还有另一个“猴子分花生”问题：
将1600颗花生分给100个猴子，证明：不管怎样分，至少有4只猴子分得的花生一样多（有的猴子分不到花生也算是一种分法）。并设计一种分法，使得没有5只猴子分得的花生颗数一样多。
这是五十年代北京市的一道数学竞赛试题，以后流传很广。&
十、百钱买百鸡
对于鸡，有一个几乎是一个家喻户晓的趣味数学问题。我国古代数学著作《张邱建算经》中有一道著名的“百鸡问题”：
今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？
这是一道关于不定方程的问题，在国内外流传极广。例如德国人约翰涅斯·列曼写的一本《趣味数学》书中，就有一个古代越南的数学问题：
用100捆草喂100头牛。站着的壮牛吃5捆，躺着的牛吃3捆，老牛三条合吃一捆。问站着几条壮牛，躺着几条牛，几条老牛？
这个问题显然是将“百鸡问题”移植过来的。&
十一、来回奔跑的狗
甲、乙两人从相距100公里的两地相对而行。甲、乙的速度分别为6公里和4公里。甲带了一条狗，与甲同时出发，碰到乙时即回头向甲这边跑；碰到甲时又回头往乙这边跑。这样不停地往返，直到甲、乙二人相遇为止。狗的速度为每小时10公里，问狗一共跑了多少公里？
这是在数学界广泛流传的一段数学家的趣闻逸事。据说我国著名数学家苏步青有一次在德国的电车上碰到德国一位有名的数学家，那位数学家请苏步青做这道题。由于苏步青教授的名气，题以人传，这道题便广泛流传开了。这道题其实并不难。因为“路程=速度×时间”，狗的速度每小时10公里是已知的，狗奔跑的时间就是甲、乙两人相遇的时间，很容易算出来（两人相对而行的行程问题），速度和时间知道了，路程也就知道了。
十二、买猪问题
《九章算术》中有一个“买猪问题”：
今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何。
这个问题太简单，我想把它改造一下：
某人去买猪，若买一批每头价450元的小猪，还剩100元；若买一批每头价530元的小猪，还差110元。问此人最少带了多少钱去买猪？
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> 数学问题解决教育启发
数学问题解决教育启发
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　　一、加强对数学知识的发生过程的教学，既要注意学生的认知过程的特点，又要注意数学知识的逻样性、连续性、系统性
　　根据创造力来自基本的认知过程的观点，数学教学必须强调认知活动的全面性，使学生的认识真正有机会经历&基本认知过程&，这样才能使创造力的培养真正落在实处。一个比较可行的做法是为学生提供尽可能丰富的知识背景(其中包括与知识有关的课堂以外的生产、生活实际)，让学生通过对知识背景的分析、归纳、抽象和概括而获得相应的理论知识。这样做至少有两个好处:一是丰富的知识背景使学生在面临问题时，能对问题及解决问题所需知识都作出适宜的解释，从而获得知识与问题之间的丰富联结，并选择出创造性的联结方式，获得新颖独特的问题解决方式;二是使所学的知识条件化，使学生懂得在什么样的场合下可以运用相应的知识。教师经常会遇到这样的情况:学生在学习某一概念、定理的当时，能用它来解决相应的问题，但过后，一旦情况发生变化，学生就不知道该如何用它。特别是在解决综合问题、实际问题时，虽然学生具备解决问题的所有知识，但学生却不知道该怎样运用这些知识。究其原因，主要是在单一情景中获得的知识之间的联结也只能是简单而贫乏的，一旦背景发生变化，知识的表征就会发生困难，联结也就难以形成。而使学生在丰富的知识背景中，通过自己主动的思维活动来获取知识，可以使学生在记忆该知识时，将运用该知识的&触发&条件结合起来，从而形成条件化的知识。这样，当学生面临问题时便能迅速、准确的从大脑中检索、提取与任务相关的知识，形成知识与问题之间的丰富联系，并最终选择出解决问题的最佳方案。值得指出的是，&知识的发生发展过程&是对知识原发现过程进行教学法加工后获得的，与&问题解决教学&倡导者所强调的&非常规性&问题解决过程是有区别的。我们认为，系统的知识学习必然表现出与客观实在之间的相对脱离，不可能是对客观现实的真实复制，而学校教育的经济性也要求学生在学习知识时走一条&再创造&的捷径，但&非常规性&间题解决过程则比较强调问题的客观性，要求将实际中的许多不确定性、各种环境条件等都考虑进去，这样，由于问题复杂，影响因素过多，学生的认识水平不高，使学生难以辩明问题的结构，造成思维混乱，问题不能得到解决，系统的知识学习也难以保证。
　　二、充分认识数学基础知识教学的重要性，使学生通过主动学习而建立起结构功能良好的数学认知结构
　　前已述及，任何问题的解决，任何发明创造的实现，都需要相应知识领域的大量专门知识。我们认为，要使学生获得的知识能真正地用来解决问题，关键是要引导学生主动地学习，使他们通过学习.，既掌握知识，又懂得在什么情况下使用知识;既掌握知识的具体事实和细节，又掌握知识的纵横联系、层次结构，把注意力放在知识的概括化和结构化上，形成一种从复杂的联系中思考问题的良好习惯;从而使重要知识、原理与它们的产生条件及相关方面建立起紧密的联系，并达到自动化的程度，从而将重要的知识、原理表征为一个知识组块，以使学生在面临问题时，能把问题的各个方面与重要知识、一般原理联系起来，促成对当前问题的顿悟和解决。当代认知心理学强调知识在学生身心发展中的重要性，强调认知因素(认知加工过程、认知结构)在学习与发展中的直接作用，认为知识在学生信息加工(信息输人的选择、编码、储存和提取等)能力的提高中起到至关重要的作用，认知结构的发展既是学生身心发展的重要标志之一，也是学生身心发展的主要动力之一。特定的知识、技能的缺陷是导致学习能力低下的主要原因。所有这些观点，对我们在数学教学中处理好知识学习与能力(特别是创造力)培养之间的关系都具有重要的指导意义。问题解决教学的倡导者提出，数学课堂教学要以&问题&为中心，认为数学知识的学习可以在问题解决的过程中进行。我们暂且不论包含系统知识的&问题&是否存在，单从知识学习与创造力培养之间的关系来看，这样的做法也是不合适的，事实上是颠倒了两者的关系。我们认为，从意识到问题的存在，到发现问题的所在、寻找解题策略、确定解题策略、对解题过程进行反思，整个问题解决过程中处处都体现着知识的作用，而创造性地解决问题所需要的相应知识的重新表征、知识与知识之间的新颖独特的联结也是要在具备相关知识的基础上才能获得的，因此，企图通过脱离数学基础知识的系统教学而培养学生的问题解决能力的做法就好象造房子而不管打地基一样。心理学的研究也表明，只有将一般认识能力训练与科学知识学习相结合，才能更有助于解决问题能力的培养。否则，数学知识的学习会变得零零碎碎，学生无法学到系统的数学基础知识，而解决问题能力的培养也会失去必要的数学基础知识的保障。
　　三、重视策略化知识的教学，数学教学中尤其要注重数学思想、数学方法的教学
　　数学思想、数学方法既要理解为数学中的深层次基础知识，又要理解为解决问题时的思维策略。心理学家指出，人们在学习和思考时，注意力要在高层次的策略性知识与低层次的描述性知识及程序之间不断转换，不仅要意识到自己的加工材料，而且要意识到自己的加工过程和加工方法，不断反省自己的策略是否恰当，优化自己的加工过程。因此，要使元认知在创造性的问题解决过程中发挥作用，就必须在头脑中储存有关如何学习和如何思考的策略性知识。在数学学科里，这种策略性知识与事实性知识的结合是非常紧密的，是相互渗透、相互融合的，只要教师在数学课堂教学中有意识地渗透、传授，学生就可以通过教学获得大量的关于解决数学问题懂得一般的和特殊的策略性知识。例如，数学中的配方法、换元法、待定系数法、判别式法、反证法、数学归纳法等基本方法，既是解决问题的基本手段，又是数学思想的直接体现;观察、分析、猜想、综合、归纳、类比、抽象、概括等数学思维方法是思考数学问题的一般方法;数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想、化归与转化的思想等是高层次的数学思想方法，具有观念性的作用。所有这些策略性知识的传授都可以与数学具体知识的学习与运用结合起来，成为数学教学整体中的一个有机的组成部分。新修订的高中数学教学大纲中把数学思想和方法列人基础知识的范畴，使数学思想和方法的地位和作用得到了更充分的体现，这有利于促使广大数学教师更加重初扭寸数学思想和方法的教学，从而更有利于培养学生的能力。
　　四、重视非认知因素的作用
　　前面我们对动机、态度及认知方式等与创造力之间的关系作了一些论述，从中我们可以看到，发展学生的内在动机，培养学生良好的态度，塑造学生健全的人格，对于发展学生的创造力是至关重要的。就激发学习动机而言，认知心理学关于有意义学习的理论值得我们重视。认知心理学认为，要使学生的学习成为有意义学习，首先学习材料本身必须是有意义的，这种意义包括心理意义和社会意义两个方面，既要使学生感到所学习的数学知识无论对自身发展还是对社会发展都是有用的;第二，学生的认知结构中具有适当的、可以与新知识进行相互联系和作用的知识，从另一个角度上说，就是新知识对学生来说是难度适当的，新知识对学生既有智力的挑战性，又使学生经过努力可以赢得挑战，用维果斯基的话来说，就是新知识是学生的&最近发展区&。知识处于&最近发展区&时，最能激发学生的学习动机。认知心理学还提出了通过引发认知冲突或惊奇感来激发内在动机的做法。学习应当成为学生自己的积极主动的活动，而这需要有学生对任务的持续兴趣作为保障，否则，外部奖赏再诱人也不能维持长时间的艰苦学习。心理学家认为，只有设法使学生&卷入&任务之中，才能达到激励内在动机的目的。促使学生&卷入&学习任务的最佳法方法是使学生经常具有&成功体验&。要做到这一点，除上面所说的学习任务难度适当，学生能&跳一跳摘到果子&外，教师还应向学生传授思维的方法和技巧。另外，&教师应较少详细叙述事实，较多提出问题，较少给予现成答案;要指出所教课程的戏剧性、美妙之处，引发美感;必须引发智力活动过程，必须产生对知识本身的感受。&由以上论述我们可以看到，认知因素与非认知因素事实上是学生认知活动过程中相辅相成、互为条件的两个方面。当然，由于学生认知水平发展的限制，特别是非认知因素的不稳定性，教师的启发诱导就显得极其重要，教师应在组织课堂教学是精心安排教学过程，设法使学生从自己的切身体会出发去学习新知识，使学生的学习变得富有情趣。数学教学中培养学生的创造力，即使时代发展的要求，也是数学教学内部规律性的体现，并且也是数学学科的优势之一，因此应成为广大数学教师的自觉行动。
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