浅谈利用几何意义解题--《新课程(教育学术版)》2009年03期
浅谈利用几何意义解题
【摘要】：几何意义是数学中一个重要的解题工具。利用几何意义解题拓宽学生的解题思路,激发他们的学习兴趣和激情。
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：O1-4【正文快照】：
学生学习过程中,会遇到一些蕴含几何意义的代数式,从而为这些代数式问题的解决提供了另一种途径,即利用几何意义解决问题。几何意义变抽象为具体,使问题直观容易理解。下面举例说明利用几何意义解决问题:一、利用斜率公式k=y1-y2x1-x2解决最值(或范围)问题若所给代数式是这种
欢迎：、、)
支持CAJ、PDF文件格式，仅支持PDF格式
【相似文献】
中国期刊全文数据库
戈正铭;[J];力学季刊;1980年02期
刘长年;[J];中国科学A辑;1980年01期
刘成;[J];自然杂志;1980年03期
秦馨菱;;[J];地震地磁观测与研究;1980年01期
;[J];气象科技;1980年05期
曲国斌;;[J];世界知识;1980年08期
裴文中;;[J];大自然;1980年01期
何钟秀;;[J];科学学与科学技术管理;1980年03期
徐瑞康;;[J];科学学与科学技术管理;1980年03期
;[J];国际地震动态;1980年07期
中国重要会议论文全文数据库
郑曼黎;郭炯;;[A];空间探测的今天和未来——中国空间科学学会空间探测专业委员会第七次学术会议论文集（上册）[C];1994年
刘昌仁;;[A];四川省汽车工程学会第一届二次年会论文集[C];1991年
耿兆丰;吴永敢;;[A];第三届全国控制与决策系统学术会议论文集[C];1991年
李德雄;;[A];中国航海学会优秀论文文摘及学术会议论文目次汇编（）[C];1992年
郑泽;吴世伟;;[A];工程结构可靠性——中国土木工程学会桥梁及结构工程学会结构可靠度委员会全国第三届学术交流会议论文集[C];1992年
宋晓燕;王铁成;管海梅;唐军务;;[A];第十届全国结构工程学术会议论文集第Ⅰ卷[C];2001年
柳辉;;[A];面向制造业的自动化与信息化技术创新设计的基础技术——2001年中国机械工程学会年会暨第九届全国特种加工学术年会论文集[C];2001年
陈文家;陈书宏;赵明扬;;[A];2001年中国智能自动化会议论文集（上册）[C];2001年
郝矿荣;宁袆;田勇;;[A];2001年中国智能自动化会议论文集（上册）[C];2001年
赵杰;杨庆山;;[A];第十届空间结构学术会议论文集[C];2002年
中国重要报纸全文数据库
;[N];甘南日报(汉文版);2006年
苏晓伟 记者　 赵宏光;[N];哈尔滨日报;2006年
;[N];21世纪经济报道;2006年
中国博士学位论文全文数据库
韩保民;[D];中国科学院研究生院（测量与地球物理研究所）;2003年
何雪涛;[D];北京化工大学;1999年
中国硕士学位论文全文数据库
王永忠;[D];西北工业大学;2004年
黄胜;[D];中国科学院研究生院（测量与地球物理研究所）;2004年
陈建保;[D];昆明理工大学;2004年
赵斌;[D];昆明理工大学;2004年
焦健;[D];吉林大学;2004年
孙春彦;[D];燕山大学;2004年
马卫军;[D];南京理工大学;2004年
吴显兵;[D];解放军信息工程大学;2004年
杨志鹏;[D];兰州理工大学;2005年
张军;[D];燕山大学;2005年
&快捷付款方式
&订购知网充值卡
400-819-9993
《中国学术期刊（光盘版）》电子杂志社有限公司
同方知网数字出版技术股份有限公司
地址：北京清华大学 84-48信箱 知识超市公司
出版物经营许可证 新出发京批字第直0595号
订购热线：400-819-82499
服务热线：010--
在线咨询：
传真：010-
京公网安备75号双曲线定义、标准方程、几何性质
双曲线定义、标准方程、几何性质
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
&&& 双曲线定义、标准方程、几何性质
［知识点］
（一）双曲线的定义
& 1. （1）图示：取一拉链，在拉开两边上各选一点，分别固定在F1、F2上，|F1F2|＝2c，即|PF1|－|PF2|＝2a，得到的图形，我们称为双曲线一支（加绝对值两支）
& 3. 定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数c小于|F1F2|的点的轨迹叫双曲线。
&&& （1）焦点：F1、F2，焦距：|F1F2|
&&& （2）定义重点：
&&& ①绝对值
&&& ②小于|F1F2|
&&& 若去掉①则为一支；去掉②，2a＝2c射线，2a＞2c无曲线，2a＝0是F1F2的中垂线。
（二）双曲线的标准方程
&&& （1）推导：①建系；②写出集合；③坐标化；④化简
&&& 图象特征：
& 1. 位于标准位置，才能有标准方程；
& 3. 判断双曲线焦点的位置由函数的正负决定（不比大小），若x2的函数为正，则焦点在x轴上，反之则在y轴上。
& 4. 记住a、b、c的关系：
&&& 一般地：第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数
线叫做双曲线的准线，这个常数e叫做离心率。
&&& 理解：
&&& ①第二定义的隐含条件：定点在直线外，否则轨迹是除去交点的两条相交直线。
&&& ③双曲线的离心率的定义是：双曲线上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。（几何意义）
& 2. 焦半径及焦半径公式
&&& 定义：双曲线上一点到焦点的距离叫做双曲线上这点的焦半径。
&&& （4）等轴双曲线：
&&& 渐近线：（定义：若曲线上的点到某一直线的距离为d，当点趋向于无穷远时，d能趋近于0，则这条直线称为该曲线的渐近线）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
【典型例题】
& 例1. 一炮弹在某处爆炸，在F1（－5000，0）处听到爆炸声的时间比在F2（5000，0）
么样的曲线上，并求爆炸点所在的曲线方程。
6000（米），因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上。
&&& 因为爆炸点离F1处比F2处更远，所以爆炸点应在靠近F2处的一支上。
&&& 设爆炸点P的坐标为（x，y），则
&&& 小结：
远6000米，这是解应用题的第一关——审题关；根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线，这是解应用题的第二关——文化关（用数学文化反映实际问题）；借助双曲线的标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关（用数学知识解决第二关提出的问题）。
& 例2. 求一条渐近线方程是3x＋4y＝0，一个焦点是（4，0）的双曲线标准方程，并求双曲线的离心率。
&&& 小结：
& 例3. 等轴双曲线的两个顶点分别为A1、A2，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于M、N两点，求证：
&&& （1）∠MA1N＋∠MA2N＝180°；
&&& （2）MA1⊥A2N，MA2⊥A1N。
&&& 证明：
&&& 如图所示，易求得：
&&&&&&&&&&&&&&
&&& 又∠NA1x，∠NA2x均为锐角，
&&& ∴MA1⊥A2N。同理可证MA2⊥A1N。
&&& 小结：利用对称性把要证等式转化为证明∠NA2x＋∠NA1x＝90°为本题证明的突破口，体现转化意识。
&&& 证明：
&&& ∵双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率，
&&& 小结：|PF1|、|PF2|都是双曲线上的点到其焦点的距离，通常称作焦半径。
AB的中点，求直线AB的方程。
&&& 解法一：设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），
&&& ①－②，得
&&& ∵P是线段AB的中点，
&&& ∴直线AB的斜率为2。
&&& 解法二：
&&& ∵A、B为双曲线上的点，
&&& 小结：此题也可设直线的斜率为k，然后待定k的值。
& 例6. 设点P到点M（－1，0）、N（1，0）的距离之差为2m，到x轴、y轴的距离之比为2，求m的取值范围
&&& 解：设点P的坐标为（x，y），由题意得
&&& ∴点P、M、N三点不共线
&&& ∴点P在以M、N为焦点、实轴长为2|m|的双曲线上。
&&& 小结：
曲线离心率e的取值范围。
&&& ∵双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。
&&& 小结：
标为4，求双曲线的方程。
&&& 解法1&
&&& 解法2&
&&& 解法3&
& 例9. 焦点在x轴上的椭圆C的一顶点为B（0，－1），右焦点到直线m：
&&& （1）求C的方程；
&&& （2）是否存在斜率k≠0的直线l与C交于两点M、N，使|BM|＝|BN|？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由。
&&& 小结：
【模拟试题】
& 1. 过双曲线的一个焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离。
& 2. 已知双曲线的离心率为2，求它的两条渐近线的夹角。
& 3. 在面积为1的△PMN中，，建立适当坐标系，求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程。
& 4. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，P是两条曲线的一个交点，求的值。
& 5. 已知椭圆及点B（0，－2），过左焦点F1与点B的直线交椭圆于C、D两点，椭圆的右焦点为F2，求△CDF2的面积。
& 6. P为椭圆上任意一点，F1为它的一个焦点，求证以焦半径F1P为直径的圆与以长轴为直径的圆相切。
& 7. 已知两定点A（－1，0），B（1，0）及两动点M（0，y1），N（0，y2），其中，设直线AM与BN的交点为P。
&&& （1）求动点P的轨迹C的方程；
&&& （2）若直线与曲线C位于y轴左边的部分交于相异两点E、F，求k的取值范围。
& 8. 直线只有一个公共点，求直线l的方程。
【试题答案】
& 1. 解：∵双曲线方程为，
&&& ∴＝13，于是焦点坐标为
&&& 设过点F1垂直于x轴的直线l交双曲线于
&&& 故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为。
& 2. 解：设实轴与渐近线的夹角为，则
&&& ∴两条渐近线的夹角为
&&& （1）离心率e与。
&&& （2）要注意两直线夹角的范围，否则将有可能误答为。
& 3. 解：以MN所在直线为x轴，MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，设，（如图所示）
&&& 设双曲线方程为，
&&& ∴所求双曲线方程为
&&& 点评：选择坐标系应使双曲线方程为标准形式，然后采用待定系数法求出方程。
& 4. 解：∵P在椭圆上，，
&&& 又∵点P在双曲线上，，
&&& ①、②两式分别平方得
&& &两式相减得，
& 5. 解：∵，
&&& ∵与椭圆有两个公共点，设为：
&&& 又点F2到直线BF1的距离
&&& 说明：本题也可用来解。
& 6. 略解1& 设为椭圆上任意一点，则
&&& 又两圆半径分别为，
&&& ，故此两圆内切。
&&& 略解2& 如图，
&&& ∴此两圆内切
& 7. 解：（1）由题意得AM的方程为，BN的方程为：。
&&& 两式相乘，得
&&& （2）由
& 8. 解：由
&&& ∴此时直线l：x＝3与双曲线只有一个公共点（3，0）；
&&& （2）当b≠0时，直线l方程为。
&&& ②当恒成立，
&&& ∴此时直线l与双曲线必相交于两点。
&&& 综上所述，满足条件的直线l共有三条：
&&& 小结：含参数的直线方程，若化简为，则可知l必过定点（3，0），因（3，0）正好为双曲线实轴顶点。所以过此点的切线x＝3及过此点与渐近线平行的直线均与双曲线只有一个公共点。由此可见，重视几何图形特征分析会简化计算。
发表评论：
馆藏&41665
TA的最新馆藏[转]&[转]&[转]&[转]&[转]&[转]&复数运算的几何意义--《数学通讯》1994年02期
复数运算的几何意义
【摘要】：复数运算的几何意义湖北实验幼师周希冰，郑淑瑜［基本概念与结论］在运用复数运算的几何意义研究问题时，一定要深刻理解加减、乘除、乘方、开方的几何意义，才能达到运用自如的目的．１．加减运算的几何意义设Ｚ１对应于ＯＺ１，Ｚ２对应于ＯＺ２，以ＯＺ１、ＯＺ２为两...
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：O122【正文快照】：
复数运算的几何意义湖北实验幼师周希冰，郑淑瑜［基本概念与结论］在运用复数运算的几何意义研究问题时，一定要深刻理解加减、乘除、乘方、开方的几何意义，才能达到运用自如的目的．１．加减运算的几何意义设Ｚ１对应于ＯＺ１，Ｚ２对应于ＯＺ２，以ＯＺ１、ＯＺ２为两条
欢迎：、、)
支持CAJ、PDF文件格式，仅支持PDF格式
【相似文献】
中国期刊全文数据库
忻德;[J];湖州师范学院学报;1980年S1期
叶贻才;[J];计算数学;1980年03期
秦孟兆;[J];计算数学;1980年03期
王联;[J];中国科学A辑;1980年09期
喻德坚;[J];南昌大学学报(理科版);1980年02期
金钟骥;[J];上海交通大学学报;1980年03期
朱东;;[J];哈尔滨工程大学学报;1980年01期
侯炮明;;[J];辽宁师范大学学报(自然科学版);1980年03期
顾清芳;杨金林;;[J];四川大学学报(工程科学版);1980年Z1期
李永清;;[J];太原理工大学学报;1980年03期
中国重要会议论文全文数据库
杨本立;李安志;;[A];中国工程物理研究院科技年报（1999）[C];1999年
虞雪君;姚立洵;;[A];1997年中国地球物理学会第十三届学术年会论文集[C];1997年
孙承意;余雪丽;王皖贞;;[A];1995年中国智能自动化学术会议暨智能自动化专业委员会成立大会论文集（下册）[C];1995年
张铃;张钹;;[A];1998年中国智能自动化学术会议论文集（上册）[C];1998年
沈康乐;;[A];第三届全国电加工学术会议论文选[C];1979年
王文丽;王银河;;[A];1998中国控制与决策学术年会论文集[C];1998年
高玉琦;尚红;;[A];1995年中国控制会议论文集（下）[C];1995年
辛洪兵;孙瑞涛;;[A];第一届国际机械工程学术会议论文集[C];2000年
张可黛;曾峦;;[A];2000中国控制与决策学术年会论文集[C];2000年
宋晓燕;王铁成;管海梅;唐军务;;[A];第十届全国结构工程学术会议论文集第Ⅰ卷[C];2001年
中国重要报纸全文数据库
邱茂路;[N];中国教育报;2000年
晁定波;[N];中国测绘报;2001年
赵学昌;[N];山西科技报;2002年
徐德前;[N];中国电脑教育报;2003年
陈功;[N];中国房地产报;2005年
富光有;[N];科学导报;2005年
东吴证券 郑民中;[N];上海证券报;2006年
特约评论员
正道;[N];民营经济报;2007年
全球职业规划师 史定军;[N];中国教育报;2009年
东乡县民族中学
王永德;[N];甘肃日报;2009年
中国博士学位论文全文数据库
沈沛意;[D];西安电子科技大学;1999年
陆成刚;[D];浙江大学;2003年
任获荣;[D];西安电子科技大学;2004年
张连东;[D];大连理工大学;2004年
黄景涛;[D];浙江大学;2005年
郑泉水;[D];清华大学;1989年
中国硕士学位论文全文数据库
袁莉;[D];西安电子科技大学;2001年
迟立东;[D];西北工业大学;2001年
杜彪;[D];华北电力大学（北京）;2003年
刘振岩;[D];首都师范大学;2003年
邓尚敏;[D];广西大学;2003年
于秀丽;[D];河北工业大学;2003年
刘植;[D];合肥工业大学;2004年
郑承民;[D];新疆师范大学;2004年
滕祥泉;[D];天津大学;2004年
李强;[D];浙江大学;2005年
&快捷付款方式
&订购知网充值卡
400-819-9993
《中国学术期刊（光盘版）》电子杂志社有限公司
同方知网数字出版技术股份有限公司
地址：北京清华大学 84-48信箱 知识超市公司
出版物经营许可证 新出发京批字第直0595号
订购热线：400-819-82499
服务热线：010--
在线咨询：
传真：010-
京公网安备75号上传时间：
56官方微信
扫一扫发现精彩寻找目标函数的几何意义--《数学教学》2008年12期
寻找目标函数的几何意义
【摘要】：正二元线性规划问题的解法,从本质上说就是用线性约束条件的几何意义来解决线性目标函数的取值问题.其主要的思想就是利用几何意义解决代数问题.利用这一思想方法,问题可进一步被创新,某些非线性目标函数和非线性约束条件问题也可以通过将其"数"向"形"进行转化而得到解决.
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：O221.1【正文快照】：
二元线性规划问题的解法，从本质上说就是用线性约束条件的几何意义来解决线性目标函数的取值问题.其主要的思想就是利用几何意义解决代数问题.利用这一思想方法，问题可进一步被创新，某些非线性目标函数和非线性约束条件间题也可以通过将其“数”向“形”进行转化而得到解决
欢迎：、、)
支持CAJ、PDF文件格式，仅支持PDF格式
【相似文献】
中国期刊全文数据库
纪卓尚,李树范;[J];大连理工大学学报;1980年04期
宋天霞;[J];华中科技大学学报(自然科学版);1980年02期
忻德;[J];湖州师范学院学报;1980年S1期
王先信;[J];航空学报;1980年01期
王翼;[J];信息与控制;1980年06期
秦孟兆;[J];计算数学;1980年03期
,蒋琪隆;[J];力学季刊;1980年01期
陈志渊;[J];南京农业大学学报;1980年02期
安金明;[J];数学的实践与认识;1980年01期
孙讷正,刘利慧;[J];水文地质工程地质;1980年04期
中国重要会议论文全文数据库
吴小平;徐果明;;[A];1999年中国地球物理学会年刊——中国地球物理学会第十五届年会论文集[C];1999年
李陈华;汪波;;[A];全国青年管理科学与系统科学论文集第5卷[C];1999年
钟守楠;;[A];企业发展与系统工程——中国系统工程学会第七届年会论文集[C];1992年
刘宝碇;顾基发;;[A];全国青年管理科学与系统科学论文集（第2卷）[C];1993年
徐一飞;张雷;;[A];复杂巨系统理论·方法·应用——中国系统工程学会第八届学术年会论文集[C];1994年
钟笑寒;;[A];系统工程与可持续发展战略——中国系统工程学会第十届年会论文集[C];1998年
金朝阳;代宁;;[A];中国城市建设与环境保护实践——城市建设与环境保护学术研讨会论文集[C];1997年
金朝东;;[A];第六届全国采矿学术会议论文集[C];1999年
顾安邦;常英;乐云祥;;[A];中国公路学会桥梁和结构工程学会一九九九年桥梁学术讨论会论文集[C];1999年
公茂琼;罗二仓;周远;;[A];第四届全国低温工程学术会议论文集[C];1999年
中国重要报纸全文数据库
邱茂路;[N];中国教育报;2000年
晁定波;[N];中国测绘报;2001年
陈松;[N];中国石化报;2001年
潘立登;[N];科学时报;2001年
龚强（作者单位：哈尔滨工业大学管理学院）;[N];中国测绘报;2002年
陈烈;[N];人民邮电;2002年
赵学昌;[N];山西科技报;2002年
徐德前;[N];中国电脑教育报;2003年
对外经济贸易大学金融学院 何自云 博士;[N];金融时报;2003年
王洪勇;[N];中国审计报;2004年
中国博士学位论文全文数据库
沈沛意;[D];西安电子科技大学;1999年
宋正河;[D];中国农业大学;2000年
刘先省;[D];西北工业大学;2000年
张国强;[D];华北电力大学;2000年
周晓峰;[D];浙江大学;2001年
赵凌云;[D];浙江大学;2001年
蔡睿;[D];北京体育大学;2001年
韩桂军;[D];中国科学院海洋研究所;2001年
滕海文;[D];北京工业大学;2002年
袁庆达;[D];西南交通大学;2002年
中国硕士学位论文全文数据库
胡功银;[D];大连理工大学;2000年
吴建军;[D];大连海事大学;2000年
刘丽丽;[D];曲阜师范大学;2000年
郭鹏;[D];华北电力大学;2001年
袁莉;[D];西安电子科技大学;2001年
罗志宏;[D];中国科学院上海冶金研究所;2001年
胡彩娥;[D];中国农业大学;2001年
熊雪峰;[D];西北农林科技大学;2001年
严汉平;[D];西北大学;2001年
周晓雷;[D];西北大学;2001年
&快捷付款方式
&订购知网充值卡
400-819-9993
《中国学术期刊（光盘版）》电子杂志社有限公司
同方知网数字出版技术股份有限公司
地址：北京清华大学 84-48信箱 知识超市公司
出版物经营许可证 新出发京批字第直0595号
订购热线：400-819-82499
服务热线：010--
在线咨询：
传真：010-
京公网安备75号