指数函数及其性质测试题（附答案）
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指数函数及其性质测试题（附答案）
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指数函数及其性质测试题（附答案）
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文 章来 源莲山 课件 w ww.5Y k J.cO m &1．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝(12)－1.5，则( )A．y3&y1&y2 &B．y2&y1&y3C．y1&y2&y3& &D．y1&y3&y2解析：选D.y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝(12)－1.5＝21.5，∵y＝2x在定义域内为增函数，且1.8&1.5&1.44，∴y1&y3&y2.2．若函数f(x)＝ax，x&14－a2x＋2，x≤1是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )A．(1，＋∞)& &B．(1,8)C．(4,8)& &D．[4,8)解析：选D.因为f(x)在R上是增函数，故结合图象(图略)知a&14－a2&04－a2＋2≤a，解得4≤a&8.3．函数y＝(12)1－x的单调增区间为( )A．(－∞，＋∞)& &B．(0，＋∞)C．(1，＋∞)& &D．(0,1)解析：选A.设t＝1－x，则y＝12t，则函数t＝1－x的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y＝121－x的递增区间．4．已知函数y＝f(x)的定义域为(1,2)，则函数y＝f(2x)的定义域为________．解析：由函数的定义，得1＜2x＜2⇒0＜x＜1.所以应填(0,1)．答案：(0,1)&1．设13&(13)b&(13)a&1，则( )A．aa&ab&ba& &B．aa&ba&abC．ab&aa&ba& &D．ab&ba&aa解析：选C.由已知条件得0&a&b&1，∴ab&aa，aa&ba，∴ab&aa&ba.2．若(12)2a＋1&(12)3－2a，则实数a的取值范围是( )A．(1，＋∞)& &B．(12，＋∞)C．(－∞，1)& &D．(－∞，12)解析：选B.函数y＝(12)x在R上为减函数，∴2a＋1&3－2a，∴a&12.3．下列三个实数的大小关系正确的是( )A．(2011＜1& &B．(＜212011C．1＜(2011& &D．1＜212011＜(12011)2解析：选B.∵12011＜1，∴(,＝1.4．设函数f(x)＝a－|x|(a＞0且a≠1)，f(2)＝4，则( )A．f(－1)＞f(－2)& &B．f(1)＞f(2)C．f(2)＜f(－2)& &D．f(－3)＞f(－2)解析：选D.由f(2)＝4得a－2＝4，又a＞0，∴a＝12，f(x)＝2|x|，∴函数f(x)为偶函数，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．5．函数f(x)＝12x＋1在(－∞，＋∞)上( )& A．单调递减无最小值& &B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值& &D．单调递增有最大值解析：选A.u＝2x＋1为R上的增函数且u＞0，∴y＝1u在(0，＋∞)为减函数．即f(x)＝12x＋1在(－∞，＋∞)上为减函数，无最小值．6．若x＜0且ax＞bx＞1，则下列不等式成立的是( )A．0＜b＜a＜1& &B．0＜a＜b＜1C．1＜b＜a& &D．1＜a＜b解析：选B.取x＝－1，∴1a＞1b＞1，∴0＜a＜b＜1.7．已知函数f(x)＝a－12x＋1，若f(x)为奇函数，则a＝________.解析：法一：∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即a－120＋1＝0.∴a＝12.法二：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即a－12－x＋1＝12x＋1－a，解得a＝12.答案：128．当x∈[－1,1]时，f(x)＝3x－2的值域为________．解析：x∈[－1,1]，则13≤3x≤3，即－53≤3x－2≤1.答案：－53，19．若函数f(x)＝e－(x－u)2的最大值为m，且f(x)是偶函数，则m＋u＝________.解析：∵f(－x)＝f(x)，∴e－(x＋u)2＝e－(x－u)2，∴(x＋u)2＝(x－u)2，∴u＝0，∴f(x)＝e－x2.∵x2≥0，∴－x2≤0，∴0＜e－x2≤1，∴m＝1，∴m＋u＝1＋0＝1.答案：110．讨论y＝(13)x2－2x的单调性．解：函数y＝(13)x2－2x的定义域为R，令u＝x2－2x，则y＝(13)u.列表如下：
u＝x2－2x＝(x－1)2－1&y＝(13)uy＝(13)x2－2x
x∈(－∞，1]&&&x∈(1，∞)&&&由表可知，原函数在(－∞，1]上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．11．已知2x≤(14)x－3，求函数y＝(12)x的值域．解：由2x≤(14)x－3，得2x≤2－2x＋6，∴x≤－2x＋6，∴x≤2.∴(12)x≥(12)2＝14，即y＝(12)x的值域为[14，＋∞)．12．已知f(x)＝(12x－1＋12)x.(1)求函数的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)求证：f(x)&0.解：(1)由2x－1≠0，得x≠0，∴函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}． (2)在定义域内任取x，则－x在定义域内，f(－x)＝(12－x－1＋12)(－x)＝(2x1－2x＋12)(－x)＝－1＋2x2&#x•x＝2x＋122x－1•x，而f(x)＝(12x－1＋12)x＝2x＋122x－1•x，∴f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．(3)证明：当x&0时，由指数函数性质知，0&2x&1，－1&2x－1&0，∴12x－1&－1，∴12x－1＋12&－12.又x&0，∴f(x)＝(12x－1＋12)x&0.由f(x)为偶函数，当x&0时，f(x)&0.综上，当x∈R，且x≠0时，函数f(x)&0. 文 章来 源莲山 课件 w ww.5Y k J.cO m
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篇一 : 指数函数练习题及答案指数函数练习题及答案11．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝)－1.5，则( ) 2A．y3&y1&y2 B．y2&y1&y3C．y1&y2&y3 D．y1&y3&y20.91.80.48解析：选D.y1＝4＝2，y2＝8＝21.44，1－1.51.5y3＝()＝2， 2∵y＝2x在定义域内为增函数，且1.8&1.5&1.44，∴y1&y3&y2.x?a，x&12．若函数f(x)＝?A．(1，＋∞)C．(4,8) ?a?4－x＋2，x≤1??2 是R上的增函数，则实数a的取值范围为( ) B．(1,8) D．[4,8)a&1??4－a&0解析：选D.因为f(x)在R上是增函数，故结合图象(图略)知?2a?4－?2＋2≤a4≤a&8. ，解得13．函数y＝)1－x的单调增区间为( ) 2A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)C．(1，＋∞) D．(0,1)1?t解析：选A.设t＝1－x，则y＝??2?，则函数t＝1－x的递减区间为(－∞，＋∞)，即为1?1－xy＝??2?的递增区间．4．已知函数y＝f(x)的定义域为(1,2)，则函数y＝f(2x)的定义域为________． 解析：由函数的定义，得1＜2x＜2?0＜x＜1.所以应填(0,1)． 答案：(0,1)1111．设&(b&()a&1，则( ) 333abaA．a&a&b B．aa&ba&abC．ab&aa&ba D．ab&ba&aa解析：选C.由已知条件得0&a&b&1，∴ab&aa，aa&ba，∴ab&aa&ba.112．若(2a＋1)3－2a，则实数a的取值范围是( ) 221A．(1，＋∞) B．() 21C．(－∞，1) D．(－∞，) 21解析：选B.函数y＝(x在R上为减函数， 21∴2a＋1&3－2a，∴a&2指数函数练习题 指数函数练习题及答案3．下列三个实数的大小关系正确的是( )111212A．(＜220111 B．()＜1＜11111212C．1＜()＜22011 D．1＜22011＜() 11120解析：选B.＜1，∴()＜1,. －|x|4．设函数f(x)＝a(a＞0且a≠1)，f(2)＝4，则( )A．f(－1)＞f(－2) B．f(1)＞f(2)C．f(2)＜f(－2) D．f(－3)＞f(－2)1解析：选D.由f(2)＝4得a－2＝4，又a＞0，∴a＝，f(x)＝2|x|，∴函数f(x)为偶函数，2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．15．函数f(x)＝(－∞，＋∞)上( ) X k b 1 . c o m 2＋1A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值x解析：选A.u＝2＋1为R上的增函数且u＞0，1∴y＝(0，＋∞)为减函数． u1即f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，无最小值． 2＋1xx6．若x＜0且a＞b＞1，则下列不等式成立的是( )A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1C．1＜b＜a D．1＜a＜b11解析：选B.取x＝－1，∴＞1，∴0＜a＜b＜1. ab17．已知函数f(x)＝a－f(x)为奇函数，则a＝________. 2＋1解析：法一：∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，1∴f(0)＝0，即a－0. 2＋11∴a＝. 2法二：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，111即a－－－a，解得a. 2＋12＋121答案：28．当x∈[－1,1]时，f(x)＝3x－2的值域为________．15xx解析：x∈[－1,1]≤3≤3，即－≤3－2≤1. 335答案：?－，1? ?3?9．若函数f(x)＝e－(x－u)2的最大值为m，且f(x)是偶函数，则m＋u＝________. 解析：∵f(－x)＝f(x)，－(x＋u)2－(x－u)2∴e＝e，22∴(x＋u)＝(x－u)，∴u＝0，∴f(x)＝e－x2.222∵x≥0，∴－x≤0，∴0＜e－x≤1，∴m＝1，∴m＋u＝1＋0＝1.指数函数练习题 指数函数练习题及答案答案：11x2－2x10．讨论y＝)的单调性． 31x2－2x解：函数y＝)的定义域为R， 31令u＝x2－2x，则y＝()u.列表如下： 31x－31xx11．已知2≤(，求函数y＝(的值域． 421解：由2x≤()x－3，得2x≤2－2x＋6， 41x121∴x≤－2x＋6，∴x≤2.∴(≥()＝， 2241x1即y＝(的值域为[∞)． 241112．已知f(x)＝(＋x. 2－12(1)求函数的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)求证：f(x)&0.x解：(1)由2－1≠0，得x≠0，∴函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}．(2)在定义域内任取x，则－x在定义域内，112x1f(－x)＝－＋－x)＝＋)(－x) 2－121－22xx1＋22＋1＝－x＝x， 2?1－2?2?2－1?2x＋111而f(x)＝(x＝x， 2－122?2－1?∴f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．(3)证明：当x&0时，由指数函数性质知，xx0&2&1，－1&2－1&0，1∴－1， 2－1111∴&－2－12211又x&0，∴f(x)＝(＋x&0. 2－12由f(x)为偶函数，当x&0时，f(x)&0.综上，当x∈R，且x≠0时，函数f(x)&0.指数函数练习题 指数函数练习题及答案[］篇二 : 指数函数练习题指数函数练习题一．选择题1、 下列各式中，正确的是＿＿＿.(填序号)①?(?a);②a12?13a3???a(a?0)；④()4?a、b?0). b2、 已知a、b?R，则等式(a?b??(b?a)2成立的条件是＿＿＿.A．a?b B. a?b C. a?b D. a?b3、下列运算正确的是＿＿＿.A. (?a2)3?(?a3)2 B. (?a2)3??a5 C. (?a2)3?a5 D. (?a2)3??a64、下列关系式中正确的是 （ ）2?1?A.?2?1.5???3?2?2?1??1?B.????? ?2??2?1?1??1??1.5C.2???????2??2??1??1??1.5D.2?????? ?2??2?125、当x???1,1?时函数f(x)?3x?2的值域是（ ）?5?A.??,1??3?xB.??1,1??5?C.?1,??3?D.?0,1? 6、函数y?a在?0,1?上的最大值与最小值的和为3，则a=( ) A.11 B.2 C.4 D. 24x?27．函数y?a?1.(a?0且a?1)的图像必经过点（ ）A.(0,1) B.(1,1) C.(2,0) D.(2,2)8.y=a(a&1)的图象是Ax（ ） B D C指数函数练习题 指数函数练习题9、x?[?2,2),则y=3x-1的值域是 （ ）A．(?1188,8] B. [?,8) C.(,9] D.[,9) 999910.若102x?25,则10?x?（ ） A.?1111 B. C. D. 5625550二．填空题1.设y1?4,y2?80.90.481,y3?()?1.5，则y1,y2,y3的大小关系是＿＿＿. 22.函数f(x)的定义域为[1,4],则函数f(2?x)的定义域为＿＿＿.3、若a?0，则a和a用根式形式表示分别为 和 ， 3435ab和65m3m用分数指数幂形式表示分别为 和 。[)x4、已知f(x)的定义域为(1,2)，则函数f(2)的定义域为____________篇三 : 70指数函数对数函数专练习题(含答案)指数函数及其性质1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.对数函数及其性质1.对数函数定义 一般地，函数.叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域指数函数习题一、选择题 1．定义运算a?b＝???a ?a≤b???b?a&b?，则函数f(x)＝1?2的图象大致为()x2．函数f(x)＝x－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(b)与f(c)的大小关系是( )xxA．f(b)≤f(c)xxB．f(b)≥f(c)xxC．f(b)&f(c)D．大小关系随x的不同而不同x3．函数y＝|2－1|在区间(k－1，k＋1)内不单调，则k的取值范围是( ) A．(－1，＋∞) B．(－∞，1) C．(－1,1) D．(0,2)4．设函数f(x)＝ln[(x－1)(2－x)]的定义域是A，函数g(x)＝lg(a－2－1)的定义域是B，若A?B，则正数a的取值范围( ) A．a&3 B．a≥3 C．a&5D．a≥52xx???3－a?x－3，x≤7，5．已知函数f(x)＝?x－6??a，x&7.若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N)，且{an}是递*增数列，则实数a的取值范围是( ) 9A．[，3)4C．(2,3)9B．(，3)4D．(1,3)12x6．已知a&0且a≠1，f(x)＝x－a，当x∈(－1,1)时，均有f(x)&，则实数a的取值范围2是( )1A．(0]∪[2，＋∞)21C．[，1)∪(1,2]2二、填空题7．函数y＝a(a&0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，则a的值是________．28．若曲线|y|＝2＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．|x|9．(2011·滨州模拟)定义：区间[x1，x2](x1&x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．xx1B．，1)∪(1,4]41D．(0，)∪[4，＋∞)4a三、解答题 10．求函数y＝22xx11．(2011·银川模拟)若函数y＝a＋2a－1(a&0且a≠1)在x∈[－1,1]上的最大值为14，求a的值．xaxx12．已知函数f(x)＝3，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ·3－4的定义域为[0,1]． (1)求a的值；(2)若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．??a ?a≤b?1.解析：由a?b＝??b?a&b????2 ?x≤0?，x得f(x)＝1?2＝??1 ?x&0?.?x答案：A2. 解析：∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2. 又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．xxxx若x≥0，则3≥2≥1，∴f(3)≥f(2)．xxxx若x&0，则3&2&1，∴f(3)&f(2)．xx∴f(3)≥f(2)． 答案：Ax3.解析：由于函数y＝|2－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k－1，k＋1)内不单调，所以有k－1&0&k＋1，解得－1&k&1. 答案：Cxxxx4. 解析：由题意得：A＝(1,2)，a－2&1且a&2，由A?B知a－2&1在(1,2)上恒成立，即ax－2x－1&0在(1,2)上恒成立，令u(x)＝ax－2x－1，则u′(x)＝axlna－2xln2&0，所以函数u(x)在(1,2)上单调递增，则u(x)&u(1)＝a－3，即a≥3. 答案：B*5. 解析：数列{an}满足an＝f(n)(n∈N)，则函数f(n)为增函数，a&1??8－6注意a&(3－a)×7－3，所以?3－a&0??a8－6&?3－a?×7－3答案：C，解得2&a&3.11x12x12x26. 解析：f(x)&x－a&?x&a，考查函数y＝a与y＝x－的图象，22221－1当a&1时，必有a≥，即1&a≤2，211当0&a&1时，必有a≥，即≤a&1，221综上，≤a&1或1&a≤2.2答案：Ca3x2x7. 解析：当a&1时，y＝a在[1,2]上单调递增，故a－a＝a＝.当0&a&1时，y＝a22a1132在[1,2]上单调递减，故a－a＝，得a＝.故a＝.222213答案：228. 解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交点个数来判断参数的取值范围．曲线|y|＝2＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得：如果|y|＝2＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]． 答案：[－1,1]9. 解析：如图满足条件的区间[a，b]，当a＝－1，b＝0或a＝0，b＝1时区间长度最小，最小值为1，当a＝－1，b＝1时区间长度最大，最大值为2，故其差为1. 答案：12210. 解：要使函数有意义，则只需－x－3x＋4≥0，即x＋3x－4≤0，解得－4≤x≤1. ∴函数的定义域为{x|－4≤x≤1}．322522令t＝－x－3x＋4，则t＝－x－3x＋4＝－(x＋)＋24253∴当－4≤x≤1时，tmax＝x＝－，tmin＝0，此时x＝－4或x＝1.422552∴0≤t∴0－x－3x＋4≤.42xx1∴函数y＝()2[2，1]． 870指数函数对数函数专练习题(含答案)_指数函数练习题32252由t＝－x－3x＋4＝－(x＋)＋－4≤x≤1)可知，243当－4≤x≤－时，t是增函数，23当－≤x≤1时，t是减函数．2根据复合函数的单调性知：y＝()1233在[－4，－]上是减函数，在[－，1]上是增函数．2233∴函数的单调增区间是[，1]，单调减区间是[－4，－．2211. 解：令a＝t，∴t&0，则y＝t＋2t－1＝(t＋1)－2，其对称轴为t＝－1.该二次函数在[－1，＋∞)上是增函数．1x2①若a&1，∵x∈[－1,1]，∴t＝a∈[a]，故当t＝a，即x＝1时，ymax＝a＋2a－1＝14，x22a解得a＝3(a＝－5舍去)． ②若0&a&1，∵x∈[－1,1]，11x∴t＝a∈[a，]，故当t＝，即x＝－1时，aaymax＝1)2－2＝14.a11∴a＝或－舍去)．351综上可得a＝3.312. 解：法一：(1)由已知得3＝18?3＝2?a＝log32.xx(2)此时g(x)＝λ·2－4， 设0≤x1&x2≤1，因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，所以g(x1)－g(x2)＝(2x1－2x2)(λ－2x2－2x1)&0恒成立，即λ&2x2＋2x1恒成立．00由于2x2＋2x1&2＋2＝2，所以实数λ的取值范围是λ≤2. 法二：(1)同法一．xx(2)此时g(x)＝λ·2－4，因为g(x)在区间[0,1]上是单调减函数，xx所以有g′(x)＝λln2·2－ln4·4＝ln2[－2·(2x)2＋λ·2x]≤0成立．x2设2＝u∈[1,2]，上式成立等价于－2u＋λu≤0恒成立． 因为u∈[1,2]，只需λ≤2u恒成立， 所以实数λ的取值范围是λ≤2.a＋2a1对数与对数函数同步练习一、选择题1、已知3a?2，那么log38?2log36用a表示是（ ）A、a?2 B、5a?2 C、3a?(1?a)2 D、 3a?a22、2loga(M?2N)?logaM?logaN，则M的值为（ ） N1A、 B、4 C、1 D、4或141?n,则logay等于3、已知x2?y2?1,x?0,y?0，且loga(1?x)?m,loga1?x（ ）11A、m?n B、m?n C、?m?n? D、?m?n?224、如果方程lg2x?(lg5?lg7)lgx?lg5lg7?0的两根是?,?，则??的值是（ ）A、lg5lg7 B、lg35 C、35 D、5、已知log7[log3(log2x)]?0，那么x等于（ ）1 A、 BCD3?121 35?2?6、函数y?lg??1?的图像关于（ ）?1?x?A、x轴对称 B、y轴对称 C、原点对称 D、直线y?x对称 7、函数y?log(2x?1)的定义域是（ ）?2?A、?,1??3??1,??? B、??1?,1??2??1,????2??1?C、?,??? D、?,????3??2?8、函数y?log1(x2?6x?17)的值域是（ ）2A、R B、?8,??? C、???,?3? D、?3,??? 9、若logm9?logn9?0，那么m,n满足的条件是（ ）A、m?n?1 B、n?m?1 C、0?n?m?1 D、0?m?n?1210、loga?1，则a的取值范围是（ ）3?2?A、?0,??3??1,??? B、??2??2??2??2?,??? C、?,1? D、?0,??,??? ?3??3??3??3?11、下列函数中，在?0,2?上为增函数的是（ ） A、y?log1(x?1)B、y?log22C、y?log212D、y?log(x?4x?5) x12、已知g(x)?loga (在??10a?0且a?1)，?上有g(x)?0，则f(x)?ax?1是（ ）A、在???,0?上是增加的 B、在???,0?上是减少的 C、在???,?1?上是增加的 D、在???,0?上是减少的 二、填空题13、若loga2?m,loga3?n,a2m?n?。 14、函数y?log(x-1)(3-x)的定义域是 15、lg25?lg2lg50?(lg2)2?16、函数f(x)?lgx是（奇、偶）函数。?三、解答题：（本题共3小题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）10x?10?x17、已知函数f(x)?x，判断f(x)的奇偶性和单调性。 ?x10?10x218、已知函数f(x?3)?lg2，x?62(1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性。mx2?8x?n19、已知函数f(x)?log3的定义域为R，值域为?0,2?，求m,n的值。 2x?1对数与对数函数同步练习参考答案?3?x?0?13、12 14、?x?x?3且x?2? 由?x?1?0 解得1?x?3且x?2 15、2?x?1?1?16、1x2?1?x奇??lg(x2?1?x)??f(x),?f(x)，?x?R且f(?x)?lg(x2?1?x)?lg为奇函数。 三、解答题 17、（1）10x?10?x102x?1f(x)?x?2x,x?R?x10?1010?1，10?x?10x102x?1f(?x)??x??2x??f(x),x?R10?10x10?1∴f(x)是奇函数102x?1（2）f(x)?2x,x?R.设x1,x2?(??,??)，且x1?x2，10?1102x1?(102x1?102x2)2x12x2则f(x1)?f(x2)?2x1，?2x2??0(10 ?10) 2x12x210?110?1(10?1)(10?1)∴f(x)为增函数。22x?3??3?x?3x2x2?0?lg218、（1）∵f(x?3)?lg2，∴f(x)?lg，又由2x?3x?6x?6x?3?3得x2?3?3， ∴ f(x)的定义域为?3,???。（2）∵f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数。mx2?8x?nmx?8x?n3?8x?319、由f(x)?log3，得，即?3y?m?x2?x2?12x?12yy?n0?∵x?R,???64?4(3y?m)(3y?n)≥0，即32y?(m?n)3y?mn?16≤0?m?n?1?93≤9，由0≤y≤2，得1≤由根与系数的关系得?，解得m?n?5。mn?16?19?y
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指数函数知识点总结
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& 指数函数和自然常数 e 的一个直观说明
e 一直困扰着我—不是作为字母，而是作为数学常数。它究竟代表什么呢？
数学书、甚至我所心爱的Wikipedia，都用这样呆板的行话来描述e：
e，作为数学常数，是自然对数的底数。
而当你查找自然对数时，你会得到：
自然对数，原名双曲对数，是以e为底的对数，其中，e是一个无理数常数，近似于2.。
漂亮的循环引用，就像词典用Byzantine定义labyrinthine一样（译注：Byzantine意为“错综复杂的”，源自“拜占庭”，与后者同义）：正确但无益。为啥不用“complicated”这样的日常用语呢？
我不是在挑剔Wikipedia—为了追求严谨，许多数学解释形式而枯燥。但是这样对于试图入手某个主题的新手毫无帮助（在某种意义上，我们都是新手）。
不罗嗦了！我这就对e是什么、为什么重要，分享下我的见解。省省吧，收起严谨的数学书，这有一个微视频，概述了我的见解：
e不仅仅是一个数字
把e描述为“一个近似于2.71828…的常数”就像把pi叫做“一个近似等于3.1415…的无理数”。尽管正确，但是完全遗漏了要点。
Pi是所有圆都共有的周长与直径的比率。它是所有圆固有的一个基本比率，因此在计算圆形、球体、柱体等周长、面积、体而且、表面积中都有影响。Pi很重要，它表明所有圆都是相关联的，更不要提由圆所导出的三角函数（sin，cos，tan）。
e是所有连续增长过程都共有的基本增长率。你可以用e表示一个简单的增长率（其中增长是发生在年末的一个瞬变），同时发现连续型复合增长的影响，其中每一纳秒（或者更快）的增长微乎其微。
只要当系统呈连续型指数级增长，e便会出现：种群密度、放射性衰变、利息计算等等。甚至并不是平稳增长的锯齿状系统都能用e来近似。
就像每个数字都可以认为和1（基本单位）的呈某个比例，每个圆可以认为和单位圆（半径为1）的呈某个比例，同样每个增长率都可以认为和e（单位增长率）的呈某个比例。
因此e并不是一个模糊的、似乎随机的数字。e表示这样的思想，即所有连续型增长系统和某个一般比率呈比例关系。
理解指数增长
首先来看一个基本系统，其在一段时间之后会翻倍。比如，
细菌每24小时分裂并翻倍
把面条对折，我们可以得到。
如果你（幸运！）得到100%的利润率，那么你的财富每年翻倍。
看起来就像这样：
分裂成两个或者翻倍是一个很普遍的级数。当然我们可以三倍或四倍地增加，但是双倍比较方便，所以这里就随我吧。
数学上，如果分裂x次，那么我们得到原始物品数量的({2^x})倍。一次分裂我们得到({2^{1}})或者2倍。四次分裂我们得到({2^{4}})或者16倍。通用公式：
另一种描述方式，双倍也就是100%的增长。我们可以重写公式如下：
虽然等式相同，但我们对2的分割具有真实意义，即原始值（1）加上100%。聪明吧？
当然，我们可以用任意数字（50%，25%，200%）代替100%，然后得到关于新比率的growth公式。因此x个周期的回报的通用公式是：
这只是意味着我们连续使用自定义的回报率，(1 + return)，“x”次。
上述公式假设增长是离散型的。细菌在等待，等待，然后爆发，它们在最后的最后数量加倍；利息收入在一年的刻度处魔幻般出现。基于上述公式的增长是离散的、瞬间发生的，即，绿点突然出现。
事实并非如此，如果我们放大来看，会发现细菌随时间分裂：
绿先生（Mr. Green）不只是突然出现：它缓慢增长，然后脱离蓝先生（Mr. Blue）。一个单位时间（本例中是24小时）之后，绿先生完成生长，然后成熟为蓝细胞，可以创造它自己的新绿细胞。
这个信息会改变我们的等式么？
不！在细菌实例中，半成品的绿细胞仍然做不了任何事情，除非它们完全长大并从蓝色父母中分离。因此，等式保持不变。
金钱改变一切
然而财富却不一样。每收入1便士的利息，这1便士就能开始收入它自己的微便士（micro-pennies）。我们不需要等到收入完整的1美元利息—新的财富不需要成熟。
基于我们旧的公式，利息增长看起来是这样的：
但是这样并不正确：所有的利息出现在最后一天。让我们把一年放大并分为两块。即每年收入100%的利息，或者每6个月收入50%。那么前六个月收入50美分，后六个月收入另外50美分：
但这依然不正确！当然，原始的财富（Mr. Blue）在一年之内收入1美元。但是6个月后收入了其中的50美分，明白了吧，我们之前忽略了这一部分！这50美分本来也有它自己的收入：
因为比率是每半年50%，那50美分本可以收入25美分（50美分的50%）。年末我们可以得到：
原始财富（Mr. Blue）
蓝先生创造的财富（Mr. Green）
绿先生创造的25美分（Mr. Red）
总共得到$2.25，即从初始的财富中收益$1.25，比翻倍要好！
让我们把回报写成公式。两个50%的半周期的growth是：
复合增长研究
是时候提升一个等级了。这次不再把增长为为两个50%的增长周期，而把它分为三段33%的增长周期。谁说我们必须等待6个月才能开始收入利息？毫厘必争！
3个复合周期的增长得到下面有趣的图表：
想象每种颜色将收益向上传送给另一种颜色（它的孩子），每个周期增长33%：
0月：初始蓝先生为$1。
4月：蓝先生已经收入它自己的1/3美元，同时创造出的绿先生拥有33美分。
8月：蓝先生收入另外33美分，交给绿先生，绿先生拥有66美分。绿先生在它之前的值上收益33%，创造11美分（33% * 33），这11美分变成红先生。
12月：情况变得略疯狂了。蓝先生收入另外33美分，交给绿先生，绿先生拥有完整的1美元。绿先生在它8月份的值（66美分）上收入33%的回报，即22美分，这22美分加到红先生上，红先生现在总共33美分。而且红先生开始有11美分，并以此收入4美分（33% * 11），创造出紫先生。
哊！12个月后的最终值是：1 + 1 + .33 + .04即2.37。
花点时间真正来搞懂这种增长的原委：
每种颜色从其自身上收入利息，并交给另一种颜色。新创造的财富可以收入它自己的财富，依次循环。
我喜欢把原始量（蓝先生）看做是不变的。蓝先生收益财富来创造绿先生，由于蓝先生不会变化，所以这是稳定的每4个月33美分的收益。图中，蓝先生有一个蓝色箭头显示出他如何喂养绿先生的。
绿先生恰好创造并喂养红先生（绿色箭头），但是蓝先生没有意识到。
绿先生随时间增长（不断被蓝先生喂养），它对红先生贡献越来越多。4-8月间，绿先生给了红先生11美分。8-12月间，因为绿先生在8月份有66美分，所以给了红先生22美分。如果我们扩展下图表，绿先生将给红先生33美分，因为绿先生在12月份达到了完整的1美元。
明白不？开始很费解—我在整合图表时，甚至自己都凌乱了。但看到每一笔财富都能创造收益，收益反过来又创造出收益……
通过在growth等式中使用3个周期，得到这样的公式：
我们挣了$1.37，比上次得到的$1.25更好！
我们可以得到无尽的财富么？
为什么不采用更短的时间周期呢？每月、每天、每小时，甚至每纳秒会怎么样？回报会猛涨么？
回报确实会变得更好，但也只是在某种意义上。尝试在我们魔幻般的公式中，来看下总的回报：
n (1 + 1/n)^n
——————
100 2.7048
1,000 2.7169
10,000 2.71814
100,000 2.718268
1,000,000 2.7182804
数字越来越大，最终收敛到2.718附近。喂…等等…这看起来像e呢！！
真棒！在令人厌恶的数学术语中，如果在越来越小的时间周期上，连续复合100%的回报，e则被定义为其增长率：
这个极限似乎是收敛的，而且存在相应的证明。但是如你所见，当我们采用更小的时间周期时，总的回报稳定在2.718附近。
但这意味着什么呢？
当在一个时间周期内复合100%的增长时，数字e（2.718…）是最大的可能结果。当然，开始时你期望从1增长到2（一个100%的增长，对吧？）。但是每向前一小步，你所创造的微薄利润本身也在收益。当所有过程指明并结束，你在一个时间周期末最终得到e（2.718…），而不是2。e是最大的，当我们尽可能多地复合100%时，又发生了什么呢？
那么，如果我们以$1.00为开始，以100%的回报连续复合，我们得到1e。如果我们以$2.00为开始，我们得到2e。如果我们以$11.79为开始，我们得到11.79e。
e像是一个速度极限（类似光速c），指明在使用一个连续过程时，可能增长多快。你可能不总是达到速度极限，但它是一个参考点：你可以用这个通用常量的表示每个增长率。
（注：注意将增量和最终结果分离。1变成e（2.718…）是一个171.8%的增量（增长率）.e本身是在所有增量考虑进去之后（原始值+增量），你所观测到的最终结果。
如果使用不同的比率呢？
好问题。如果我们以每年50%增长，而不是100%呢？我们依然可以使用e么？
来看看，50%的复合增长应该是这样的：
嗯…，这里该肿么办？回想下，50%是总的回报，n是将增长分成复合增长的周期数。如果我们取n=50，我们可以将增长分成50块，每块1%的利息：
当然，这不是无穷的，但是已经相当小了。现在想象我们也将常规的100%分割成1%的块：
Ah，殊途同归。在我们的常规案例中，有100个1%的累积变化。在50%的场景中，有50个1%的累积变化。
这两个数字间的差异是什么呢？好吧，只是差了一半的变化数目而已：
相当有趣的是，50 / 100 = .5，正是e的指数。这是普遍适用的：如果有300%的增长率，我们可以将它分成300个1%的增长块。这将是标准量的三倍，最终比率为({e^{3}})。
尽管增长可能看起来像加法（+1%），我们需要铭记其实它是乘法（x 1.01）。这正是我们为什么使用指数（重复乘）和平方根（({e^{1/2}})表示变化量的一半，比如，乘数的一半）。
这里取了1%，但我们本可以选择任意小的增长单位（.1%，.0001%，甚至一个无穷小量！）。重点是对于所选取的任意比率，它只是e上的一个新指数而已：
如果使用不同的周期呢？
假设我们以300%增长两年，我们要将一年的增长（({e^{3}})）乘以其自身：
因于指数的魔力，我们可以避免使用两个乘幂，而仅仅在一个指数中将比率和时间相乘。
大秘密：e整合了比率和时间
这也太粗暴了！({e^{3}})可以表示两个东西：
X是时间乘以增长率：以100%增长三年是e3
X是增长率本身：以300%增长一年是e3
这个重叠不会引起混淆么？公式会不会不成立呢，又是世界末日？
一切正常，当我们写为：
变量x是比率和时间的组合。
我来解释下。当处理连续型复合增长时，10年3%的增长和1年30%的增长是等效的（然后再无增长）。
10年的3%的增长意味着30个1%的变化，这些变化在10年内发生，所以你是以每年3%连续增长。
1个周期的30%的增长意味着30个1%的变化，但是在一年内发生，所以一年增长30%，然后停止。
每个案例中有同样的“30个1%的变化”发生。速率（30%）越快，达到同样的效果所用时间越少（1年）。速率越慢（3%），需要增长的时间越长（10年）。
但是在两个案例中，最后的增长是 e.30 = 1.35。我们更加急切地希望大而快的增长，而不是慢而长的增长，但是e显示出它们的最终效果是一样的。
所以我们的通用公式变为：
如果我们有t个周期r增长的回报，我们最终的复合增长是 ert。顺便，这甚至对于负的、
小数型回报也适用。
实例时间！
实例使所有事情更有趣。一条速记：我们习惯了像 2x 这样的公式以及常规的复合利息，以至于很容易混淆（包括我自己）。更多阅读—
这些实例着重于平稳的连续型增长，而不是在年度区间上的跳跃式增长。有很多方法可以在二者之间转换，但我们将把它留给另一篇文章。
实例1：生长的水晶
假设我有 300kg 魔力水晶。它们富有魔力是因为它们每天都会生长：我观察到一颗水晶，其在24小时之内，以自身的重量脱落生成水晶（子水晶以同样的比率立即开始生长，但是我追踪不到，因为我在观察原始的脱落量）。10天之后我将拥有多少？
好的，因为水晶立即开始生长，所以我们希望连续型的增长。我们的比率是每24小时100%，那么10天之后我们得到：300*e1*10 = 6.6Mkg 魔力宝石。
这可能不易理解：注意输入速率和输出速率间的差异。“输入”是一颗水晶的改变量：24小时内100%。最终的输出速率是e（2.718x），因为子水晶自己也在生长。
本例中我们有输入速率（一颗水晶的生长速率），想要复合后（由于子水晶的加入，整个水晶群的生长速率）的全部结果。如果我们有总的生长速率，想要单颗水晶的生长速率，我们可以使用逆向运算。
实例2：最大利率
假设我有账户上有$120，利率5%。银行很慷慨，给了我最大可能的复合。10年后我将得到多少呢？
我们的比率是5%，而且很幸运得以连续复合。10年之后，我们得到($120*e.05*10 = $197.85)。当然，大多数银行并不是友好地给你最优的比率。你的确切回报和这个连续型模型之间的差异是它们不喜欢你的程度。
实例3：放射性衰变
我有10kg的放射性材料，似乎以每年100%的速率连续衰变。3年后我将有多少呢？
一丁点？0？一无所有？再想想。
每年100%的连续衰减是我们的起始条件。是的，我们确实开始时有10kg，并且预期在年末“失去所有”，因为我们以每年10kg的速率衰变。
过了几个月，我们到达5kg，还剩半年？不！现在我们以每年5kg的衰变，所以此刻开始又是完整的一年！
再等几个月，我们到达2kg。同样，现在我们以每年2kg的速率衰变，所以我们有完整的一年（从此刻开始）。我们到达1kg时，有完整一年，到达.5kg时，有完整一年—看出道道没？
随着时间推移，我们失去了材料，但是衰变速率也在下降。这个不断改变的增长（growth）是连续增长和衰变的本质。
3年后，我们将有(10*e-1*3=.498kg)。我们对衰变使用负的指数—我们想要一个小数 1/ert 与一个增长乘子 ert 做对比。[衰变常常称为“半衰期”—我们将在以后的文章中谈论这些比率的转换。
如果你想要更有趣的实例，试试（注意指数衰变中e的取值）或者（放射性衰变）。目的是看看公式中的 ert，然后理解它存在的原因：它模拟了一种增长或衰变。
那么现在你知道为什么是“e”，而不是pi或者其他什么数字：e的“r*t”次幂告诉你速率r和时间t对增长的影响。
更多学习内容：
我的目标是：
解释e为何重要：它是类似于pi的一个基本常量，出现在增长率中。
给出一个直观解释：e让你看到任意增长率的影响。每个新的“成员”（绿先生，红先生，等等）对总的增长有贡献。
展示他的使用方式：ex让你预测任意增长率和时间周期的影响。
让你渴望学习更多：在即将出炉的文章中，我将研究e的其他属性。
本文只是一个开始—把所有东西塞进一篇文章会使你我一样劳累。放空自己，休息一下，继续学习e的邪恶孪兄—
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