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高一数学集合知识点总结
　　一．知识归纳：
　　1．集合的有关概念。
　　1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素
　　注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
　　②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则a&b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。
　　③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件
　　2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法
　　3）集合的分类：有限集，无限集，空集。
　　4）常用数集：N，Z，Q，R，N*
　　2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
　　1）子集：若对x&A都有x&B，则A B（或A B）；
　　2）真子集：A B且存在x0&B但x0 A；记为A B（或 ，且 ）
　　3）交集：A&B={x| x&A且x&B}
　　4）并集：A&B={x| x&A或x&B}
　　5）补集：CUA={x| x A但x&U}
　　注意：①? A，若A&?，则? A ；
　　②若 ， ，则 ；
　　③若 且 ，则A=B（等集）
　　3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1） 与 、?的区别；（2） 与 的区别；（3） 与 的区别。
　　4．有关子集的几个等价关系
　　①A&B=A A B；②A&B=B A B；③A B C uA C uB；
　　④A&CuB = 空集 CuA B；⑤CuA&B=I A B。
　　5．交、并集运算的性质
　　①A&A=A，A&? = ?，A&B=B&A；②A&A=A，A&? =A，A&B=B&A；
　　③Cu (A&B)= CuA&CuB，Cu (A&B)= CuA&CuB；
　　6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。
　　二．例题讲解：
　　【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m&Z},N={x|x= ,n&Z},P={x|x= ,p&Z}，则M,N,P满足关系
　　A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M
　　分析一：从判断元素的共性与区别入手。
　　解答一：对于集合M：{x|x= ,m&Z}；对于集合N：{x|x= ,n&Z}
　　对于集合P：{x|x= ,p&Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以M N=P，故选B。
　　分析二：简单列举集合中的元素。
　　解答二：M={&， ，&}，N={&， , , ，&}，P={&， , ，&}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。
　　= &N， &N，∴M N，又 = M，∴M N，
　　= P，∴N P 又 &N，∴P N，故P=N，所以选B。
　　点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。
　　变式：设集合 ， ，则（ B ）
　　A．M=N B．M N C．N M D．
　　当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选B
　　【例2】定义集合A*B={x|x&A且x B}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，则A*B的子集个数为
　　A）1 B）2 C）3 D）4
　　分析：确定集合A*B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合A={a1，a2，&，an}有子集2n个来求解。
　　解答：∵A*B={x|x&A且x B}， ∴A*B={1,7}，有两个元素，故A*B的子集共有22个。选D。
　　变式1：已知非空集合M {1,2,3,4,5}，且若a&M，则6?a&M，那么集合M的个数为
　　A）5个 B）6个 C）7个 D）8个
　　变式2：已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.
　　解：由已知，集合中必须含有元素a,b.
　　集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
　　评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .
　　【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A&B={1},A&B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
　　解答：∵A&B={1} ∴1&B ∴12?4&1+r=0,r=3.
　　∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A&B={?2,1,3},?2 B, ∴?2&A
　　∵A&B={1} ∴1&A ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，
　　∴ ∴
　　变式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A&B={2},A&B=B，求实数b,c,m的值.
　　解：∵A&B={2} ∴1&B ∴22+m?2+6=0,m=-5
　　∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A&B=B ∴
　　又 ∵A&B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2&2=4
　　∴b=-4,c=4,m=-5
　　【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)&0},集合B满足：A&B={x|x&-2}，且A&B={x|1
　　分析：先化简集合A，然后由A&B和A&B分别确定数轴上哪些元素属于B，哪些元素不属于B。
　　解答：A={x|-21}。由A&B={x|1-2}可知[-1,1] B，而(-&,-2)&B=ф。
　　综合以上各式有B={x|-1&x&5}
　　变式1：若A={x|x3+2x2-8x&0}，B={x|x2+ax+b&0},已知A&B={x|x&-4}，A&B=&P,求a,b。（答案：a=-2，b=0）
　　点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。
　　变式2：设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M&N=N，求所有满足条件的a的集合。
　　解答：M={-1,3} , ∵M&N=N, ∴N M
　　①当 时，ax-1=0无解，∴a=0 ②
　　综①②得：所求集合为{-1，0， }
　　【例5】已知集合 ，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P&Q&&P，求实数a的取值范围。
　　分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2&0在 有解，再利用参数分离求解。
　　解答：（1）若 ， 在 内有有解
　　令 当 时，
　　所以a&-4,所以a的取值范围是
　　变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。
　　解答：
　　点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
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