如图，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O&，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．
（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，&BCE的平分线CD交⊙O&于点D，求点D的坐标；并直接写出直线BC、直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得&PDB=&CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
试题及解析
学段：初中 学科：数学 浏览：123
如图，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．
（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标；并直接写出直线BC、直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
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解：（1）∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴∠OCA+∠OCB=90&，
又∵∠OCB+∠OBC=90&，
∴∠OCA=∠OBC，
又∵∠AOC=∠COB=90&，
∴△AOC∽△COB，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{OC}{OB}$．
又∵A（-1，0），B（9，0），
∴$\frac{1}{OC}=\frac{OC}{9}$，
解得OC=3（负值舍去）．
∴C（0，-3），
故设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-9），
∴-3=a（0+1）（0-9），解得a=$\frac{1}{3}$，
∴二次函数的解析式为y=$\frac{1}{3}$（x+1）（x-9），
即y=$\frac{1}{3}$x
2-$\frac{8}{3}$x-3．
（2）∵AB为O′的直径，且A（-1，0），B（9，0），
∴OO′=4，O′（4，0），
∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，
∴∠BCD=$\frac{1}{2}$∠BCE=$\frac{1}{2}$&90&=45&，
连接O′D交BC于点M，
则∠BO′D=2∠BCD=2&45&=90&，OO′=4，O′D=$\frac{1}{2}$AB=5．
∴O′D⊥x轴
∴D（4，-5）．
∴设直线BD的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}9k+b=0\\ 4k+b=-5\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}k=1\\ b=-9\end{array}\right.$
∴直线BD的解析式为y=x-9．
∵C（0，-3），
设直线BC的解析式为：y=ax+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{4a+b=-5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{a=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x-3．
（3）假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，
解法一：设射线DP交⊙O′于点Q，则 $\widehat{BQ}$=$\widehat{CD}$．
分两种情况（如图所示）：
①∵O′（4，0），D（4，-5），B（9，0），C（0，-3）．
∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90&，使点D与点B重合，则点C与点Q
1（7，-4）符合 $\widehat{BQ}$=$\widehat{CD}$，
∵D（4，-5），Q
1（7，-4），
∴用待定系数法可求出直线DQ
1解析式为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{19}{3}$．
解方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x-\frac{19}{3}\\ y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x-3\end{array}\right.$
得 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{9-\sqrt{41}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{-29-\sqrt{41}}{6}}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{9+\sqrt{41}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{-29+\sqrt{41}}{6}}\end{array}\right.$
1坐标为（ $\frac{9+\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-29+\sqrt{41}}{6}$），坐标为（ $\frac{9-\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-29-\sqrt{41}}{6}$）不符合题意，舍去．
1（7，-4），
1关于x轴对称的点的坐标为Q
2（7，4）也符合 $\widehat{BQ}$=$\widehat{CD}$．
∵D（4，-5），Q
2（7，4）．
∴用待定系数法可求出直线DQ
2解析式为y=3x-17．
解方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=3x-17\\ y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x-3\end{array}\right.$
得 $\left\{\begin{array}{l}{x}_{1}=3\\{y}_{1}=-8\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{x}_{2}=14\\{y}_{2}=25\end{array}\right.$
2坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意，舍去．
∴符合条件的点P有两个：P
1（ $\frac{9+\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-29+\sqrt{41}}{6}$），P
2（14，25）．
解法二：分两种情况（如图所示）：
1∥CB时，能使∠PDB=∠CBD．
∵B（9，0），C（0，-3）．
∴用待定系数法可求出直线BC解析式为y=$\frac{1}{3}$x-3．
∴设直线DP
1的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+n．
把D（4，-5）代入可求n=-$\frac{19}{3}$，
1解析式为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{19}{3}$．
解方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x-\frac{19}{3}\\ y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x-3\end{array}\right.$
得 $\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{9-\sqrt{41}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{-29-\sqrt{41}}{6}}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{9+\sqrt{41}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{-29+\sqrt{41}}{6}}\end{array}\right.$
1坐标为（ $\frac{9+\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-29+\sqrt{41}}{6}$）或（ $\frac{9-\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-29-\sqrt{41}}{2}$）（不符合题意舍去）．
②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得△NBD≌△MDB（SAS），
∴∠NDB=∠CBD．
由①知，直线BC解析式为y=$\frac{1}{3}$x-3．
取x=4，得y=-$\frac{5}{3}$，
∴M（4，-$\frac{5}{3}$），
∴O′N=O′M=$\frac{5}{3}$，
∴N（ $\frac{17}{3}$，0），
又∵D（4，-5），
∴直线DN解析式为y=3x-17．
解方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=3x-17\\ y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x-3\end{array}\right.$
得 $\left\{\begin{array}{l}{x}_{1}=3\\{y}_{1}=-8\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{x}_{2}=14\\{y}_{2}=25\end{array}\right.$
2坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意，舍去．
∴符合条件的点P有两个：P
1（ $\frac{9+\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-29+\sqrt{41}}{6}$），P
2（14，25）．
解法三：分两种情况（如图所示）：
1坐标同解法二．
②过C点作BD的平行线，交圆O′于G，
此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD．
由（2）题知直线BD的解析式为y=x-9，
又∵C（0，-3）
∴可求得CG的解析式为y=x-3，
设G（m，m-3），作GH⊥x轴交与x轴与H，
连接O′G，在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，
由D（4，-5）与G（7，4）可得，
DG的解析式为y=3x-17，
解方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=3x-17\\ y=\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x-3\end{array}\right.$
得 $\left\{\begin{array}{l}{x}_{1}=3\\{y}_{1}=-8\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{x}_{2}=14\\{y}_{2}=25\end{array}\right.$
2坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意舍去．
∴符合条件的点P有两个：P
1（ $\frac{9+\sqrt{41}}{2}$，$\frac{-29+\sqrt{41}}{6}$），P
2（14，25）．
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本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似及全等、探究角相等的构成情况等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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解析质量好中差
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