分析：（I）利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出；（II）利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，因为切线互相垂直，可得f′(x1)•f′(x2)=-1，即（2x1+2）（2x2+2）=-1．可得x2-x1=12[-(2x1+2)+(2x2+2)]，再利用基本不等式的性质即可得出；（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵f′(x1)≠f′(x2)，故不成立，∴x1＜0＜x2．分别写出切线的方程，根据两条直线重合的充要条件即可得出，再利用导数即可得出．．解答：解：（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）2+a，∴f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，0）上单调递增；当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．（II）∵x1＜x2＜0，∴f（x）=x2+2x+a，∴f′（x）=2x+2，∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f′（x1），f′（x2），∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，∴f′(x1)•f′(x2)=-1，∴（2x1+2）（2x2+2）=-1．∴2x1+2＜0，2x2+2＞0，∴x2-x1=12[-(2x1+2)+(2x2+2)]≥[-(2x1+2)](2x2+2)=1，当且仅当-（2x1+2）=2x2+2=1，即x1=-32，x2=-12时等号成立．∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2-x1的最小值为1．（III）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，∵f′(x1)≠f′(x2)，故不成立，∴x1＜0＜x2．当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1）），处的切线方程为y-(x21+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1)，即y=(2x1+2)x-x21+a．当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y-lnx2=1x2(x-x2)，即y=1x2x+lnx2-1．函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是1x2=2x1+2&&①lnx2-1=-x21+a&&②，由①及x1＜0＜x2可得-1＜x1＜0，由①②得a=x21+ln12x1+2-1=x21-ln(2x1+2)-1．∵函数y=x21-1，y=-ln（2x1+2）在区间（-1，0）上单调递减，∴a（x1）=x21-ln(2x1+2)-1在（-1，0）上单调递减，且x1→-1时，ln（2x1+2）→-∞，即-ln（2x1+2）→+∞，也即a（x1）→+∞．x1→0，a（x1）→-1-ln2．∴a的取值范围是（-1-ln2，+∞）．点评：本题主要考查了基本函数的性质、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、基本不等式的性质、直线的位置关系等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法．
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科目：高中数学
（;四川）已知圆C的方程为x2+（y-4）2=4，点O是坐标原点．直线l：y=kx与圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设Q（m，n）是线段MN上的点，且2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2．请将n表示为m的函数．
科目：高中数学
（;四川）已知函数f(x)=4x+ax(x＞0，a＞0)在x=3时取得最小值，则a=36．
科目：高中数学
（;四川）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P(43，13)．（I）求椭圆C的离心率：（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且2|AQ|2=1|AM|2+1|AN|2，求点Q的轨迹方程．
科目：高中数学
（;四川）已知函数f(x)=x2+2x+a，x＜0lnx，x＞0，其中a是实数．设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2．（Ⅰ）指出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，证明：x2-x1≥1；（Ⅲ）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．
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已知函数f(x)=lnx+a/x,当a&0时,求函数f(x)的单调区间1.当a＜0时，求函数f(
已知函数f(x)=lnx+a/x,当a&0时,求函数f(x)的单调区间1.当a＜0时，求函数f(x)的单调区间2.若函数f(x)在【1，e】上的最小值为3/2，求a。珐粻粹救诔嚼达楔惮盲
求详细过程，
提问者采纳
(1,e)不是f（x）的范围嘛？为什么用它去分类a！
那个a是，f'(x)=0求出来的，是极值点啊，也就是x=a，是x的值
为什么分类是a&=0 0&a&=1 1&a&=e a&=e啊？还有为什么a=3／2舍了？
f'(x)=(x-a)/x²，定义域为x&0所以，最简单的就是，a不在定义域内，即：a≤0时，f'(x)&0，那f(x)单调性就明确了最小值也就知道了然后a&0时，最简单的两类是：a不在区间[1,e]内，即：a≤1或a大于等于ea≤1时，在[1,e]上递增；a≥e时，在[1,e]上递减最后就剩下中间了因为那个分类的前提是0&a≤1，a=3/2不满足，所以，舍去 这个分类就类似于二次函数定区间，不定轴时，求最小值，要分为区间左，区间中，区间右讨论，是一样的。
xie xie q
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太给力了，你的回答完美的解决了我的问题！
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＞＞＞已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1。（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a..
已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1。（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a＜-1，如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|，求a的取值范围。
题型：解答题难度：偏难来源：同步题
解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞） f′（x）=当a≥0时，f′（x）&0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减；当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x= 则当x∈（0， ）时，f′（x）&0； x∈（ ，+∞）时，f′（x）＜0故f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+∞）上单调递减。（2）不妨假设x1≥x2，而a＜-1，由（1）知f（x）在（0，+∞）上单调递减，从而x1，x2∈（0，+∞）， |f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|等价于x1，x2∈（0，+∞），f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1 ① 令g（x）=f（x）+4x，则g′（x）=+2ax+4①等价于g（x）在（0，+∞）上单调递减，即+2ax+4≤0在（0，+∞）上恒成立从而a≤故a的取值范围为（-∞，-2]。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1。（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
发现相似题
与“已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1。（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设a..”考查相似的试题有：
271972432336873996829363782164853127已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x．①讨论f（x）的单调性：②设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（-x）．
①函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f（x）=lnx-ax2+（2-a）x，∴f'（x）==2+(2-a)x+1x=．（1）若a＞0，则由f′（x）=0，得x=，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，此时函数单调递增．当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，此时函数单调递减．（2）当a≤0时，f'（x）＞0恒 成立，因此f（x）在（0，+∞）单调递增．②设函数g（x）=f（+x）-f（-x），则g（x）=ln（1+ax）-ln（1-ax）-2ax，g′（x）=3x21-a2x2，当x∈（0，）时，g′（x）＞0，而g（0）=0，∴g（x）＞0，故当0＜x＜时，f（+x）＞f（-x）．
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①求导，并判断导数的符号，分别讨论a的取值，确定函数的单调区间．②构造函数g（x）=f（+x）-f（-x），利用导数求函数g（x）当0＜x＜时的最小值大于零即可．
本题考点：
利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评：
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法．
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你好！请或
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已知函数f（x）=lnx+x2．
（Ⅰ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且满足2x0=m+n，问：函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．
函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．
计算题；综合题；导数的综合应用．
（Ⅰ）根据题意写出g（x）再求导数，由题意知g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，转化为a≤2x+，再利用基本不等式求右边的最小值，即可求得实数a的取值范围；
（Ⅱ）先假设F（x）在（x0，F（x0））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx﹣x2﹣kx．结合题意列出方程组，利用换元法导数研究单调性，证出ln＜在（0，1）上成立，从而出现与题设矛盾，说明原假设不成立．由此即可得到函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线不能平行于x轴．
解：（Ⅰ）∵g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax，∴g′（x）=+2x﹣a
由题意知，g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即a≤（2x+）min又x＞0，2x+≥，当且仅当x=时等号成立
故（2x+）min=，所以a≤
（Ⅱ）设F（x）在（x0，F（x0））的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnx﹣x2﹣kx
结合题意，有
①﹣②得2ln﹣（m+n）（m﹣n）=k（m﹣n）
所以k=，由④得k=﹣2x0
所以ln==…⑤
设u=∈（0，1），得⑤式变为lnu﹣=0（u∈（0，1））
设y=lnu﹣（u∈（0，1）），可得y′=﹣=＞0
所以函数y=lnu﹣在（0，1）上单调递增，
因此，y＜y|u=1=0，即lnu﹣＜0，也就是ln＜此式与⑤矛盾
所以函数F（x）在（x0，F（x0））处的切线不能平行于x轴．
本题给出含有对数符号的基本初等函数函数，讨论了函数的单调性并探索函数图象的切线问题，着重考查了导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性等知识，属于中档题．
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