大三学生解开国际数学难题 称只是解决一个逻辑问题
作者：吕剑波
■ 刘嘉忆性格内向，不太喜欢出去玩图TP
特派记者 吕剑波
一个上世纪90年代提出的数理逻辑学猜想，20多年来世界上许多研究者都未能解开，然而，它却被一个来自中国的本科生给破解了。
这个本科生究竟有什么特点？面对这样一个人才，又该如何因材施教呢？
记者眼中的他&&不太爱说话
刘嘉忆，本名刘路，22岁，中南大学数学科学与计算技术学院大四学生。他瘦瘦高高的，架着一副眼镜，不太爱说话。
由于成功破解了国际上20多年无人解决的&西塔潘猜想&，刘嘉忆被3位中国科学院院士推荐，请予破格录取为研究生。
消息传开，刘嘉忆原本平静的生活顿时&热闹&了起来：每天他都会接到来自全国各地的采访请求。&电话都打爆了，正常的学习都受到了影响。&
谈到自己的成果，刘嘉忆谦虚淡然：&我只是解决了数学逻辑中的一个问题，有些媒体报道太夸张了。我只不过比别人运气好了点而已。&
目前，中南大学已经决定录取刘嘉忆为硕博连读的研究生，手续正在办理过程中。而谈到自己将来的打算，刘嘉忆却有另一番计划：&我的研究兴趣现在仍是数理逻辑领域。我正在进行留学申请，希望能申请到美国加州大学伯克利分校或者以色列希伯莱大学2012年秋季入学读研。不过我也可能会在国内继续读研。&
中南大学数学科学与计算技术学院党委书记颜兴中表示，刘嘉忆才22岁，很年轻，未来的研究之路还很长，不能给他太多压力。说到未来，&当然更欢迎他学成归来能到中南大学数学院来工作。&
生活中，刘嘉忆也是一个很低调的人。让人惊讶的是，这个破解了国际数学难题的学生，平时的数学成绩并不拔尖。
&可能是因为我比较马虎吧，解题过程太潦草了，所以总拿不到分。&刘嘉忆说。
老师眼中的他&& &我并不意外&
刘嘉忆对自己考试成绩的说法，也得到了他高中数学老师宫福婧的证实。
&他的表达能力远不如他的思考能力。&宫福婧说，&这一点从每次考试的试卷上都能体现出来。他绝对可以把这道题做对并得出正确结果，但对其中的步骤往往极尽省略，跳跃性很强。别的同学需好几步推算得出的结果，他一步就到位了。&
这样的应试习惯让刘嘉忆没少吃亏。&高考答案都是按步骤给分，他这样的简略做法只能导致他得分偏少。&宫福婧说，这一点也在一定程度上影响了刘嘉忆的高考分数。
&当时他在我们高三（9）班只能算一个中等偏上的学生，成绩并不突出。&刘嘉忆高中的班主任田巨坤回忆，在田老师的印象中，刘嘉忆&腼腆、内向，单纯而又执著&。
&他对数学一直有着浓厚的兴趣。&田巨坤说，&他能取得这样的成绩，我并不意外。&
而在刘嘉忆的另一位高中数学老师佟伟东眼里，他的成功来得早了一些，而且也有偶然的因素。&他破解的数学难题本来只是数学研究领域的一个小课题，之所以多年无人破解，是因为大家都习惯了用传统方式方法去思考，从正面入手；而他只是换了一个角度而已。&
父母眼中的他&&内向有主见
刘嘉忆的父亲在一家国企工作，母亲则在一家企业任工程师。在他们眼里，刘嘉忆是个内向却很有主见的孩子。
&这两天我们也联系不上他，他的手机总是关机。&刘爸爸说，&这孩子从小就内向，他要是不想说话，你怎么问他也不会吱声。孩子在家时，我们父子沟通就很少。初二时发现他对数学很感兴趣，周末把房门一关，就闷在屋里做题，带他出去玩都不愿去。&
这次破解难题，刘嘉忆之前从未跟家里提起过。&直到获得荣誉才和家里说，之前投稿等过程只字未提。&刘妈妈说。
刘嘉忆本名刘路，是妈妈给起的。这次发表论文使用的名字是刘嘉忆，就想顺便将名字给改了。刘爸爸觉得，儿子有些不成熟，根本没考虑自己已经成年不能改名的规定。刘爸爸说：&他从小就是这个脾气，认准的事，喜欢做的事，就会一直做下去，谁也劝不动。其实我并不看好他一直走数学这条路，毕竟就业面太窄，而且现在取得的成绩根本说明不了什么。这条路起步出自他的兴趣，但并不看好他能走到头。做父母的不指望孩子一定出人头地，只希望他多注意身体，出入平安，有空多跟同学出去玩玩。&
教授眼中的他&&&罕见的惊喜&
发现刘嘉忆的过程，颇有一些戏剧性。
大学数学系博士生导师、数理逻辑专家丁德成教授回忆，他最早和刘嘉忆接触，是通过电子邮件。
今年3月，刘嘉忆曾给丁德成发过一封邮件，信里并没有过多地展示自己的学术研究情况，只是请教了丁德成有关考研的问题。&我当时还不知道他本名叫刘路，因为邮件的署名是刘嘉忆，这孩子挺有意思的，我看他邮箱用户名叫&6+1&，刚好和他的名字谐音。&
&今年4月底，我又收到了一封关于刘嘉忆的邮件，这次是《符号逻辑杂志》的主编、美国芝加哥大学数学系教授、逻辑学家邓尼斯&汉斯杰弗德发来的，说有个中国学生给他们投稿，内容是破解&西塔潘猜想&的。我一看名字，竟然是刘嘉忆。&丁德成说，&《符号逻辑杂志》是业内相当权威的杂志，他们想请中国同仁帮忙跟刘路取得联系。&
正好5月份浙师大有场相关的学术大会，于是会务组就把刘嘉忆请到了会场，接受一群专家面对面的考验。
丁德成记得，刘嘉忆当时讲了近一个小时。&很不错。在场的相关领域的教授都判断，这个学生的论文不是在胡扯。&丁德成马上给杂志回话，不久，《符号逻辑杂志》的审稿者在仔细推敲了刘嘉忆的论文后，在今年6月宣布这名年轻人破解了&西塔潘猜想&。
今年7月初，中南大学博士生导师侯振挺教授专程拜访丁德成教授，与他探讨一些数学问题。丁德成很兴奋地告诉侯振挺：&你们中南大学出了个好学生！&侯振挺听后，立即拨通了数学院主管学生的副书记陈海波教授的电话，然而查遍了数学学院学生档案，也没查到叫刘嘉忆的学生。
纳闷、疑惑之后，侯教授给刘嘉忆发出了一封电子邮件，很快收到回信，这才发现，原来刘路就是刘嘉忆。侯振挺当即决定收刘嘉忆为徒。&从事教育事业这么多年，一个大三的学生能独立发现问题，做出这个达到博士水平的论文，可以用百万分之一来形容，是罕见的惊喜。& （本报长沙今日电）
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& eeimg=&1&&扰动搞光滑一点，变成这样：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cmin%5Csum%5Csqrt%7B%28y_i-%5Calpha-%5Cbeta+x_i%29%5E2%2B%5Cvarepsilon%7D& alt=&\min\sum\sqrt{(y_i-\alpha-\beta x_i)^2+\varepsilon}& eeimg=&1&&&br&然后再用牛顿法或者带damp的牛顿法或者某种 “天外飞仙来一招” 的不动点迭代法慢慢解。。然后会发现，当&img src=&///equation?tex=%5Cvarepsilon& alt=&\varepsilon& eeimg=&1&&比较小的时候，这问题就很难解出来了，动不动Jacobian就singular了，动不动就不知道收敛到哪去了，动不动就blow up了。。这个问题的 “非线性” 使得该问题不存在 “最小二乘” 一样具有大量推广价值的算法，给一个不同的data set就得单独整一套算法和参数，这简直头疼啊。。。&br&&br&对更高模，问题的计算困难性同理。非线性方程组这种东西，在应用中处理起来还是很麻烦的。&br&&br&&br&&br&＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝&br&&br&楼上很多人说绝对值函数带来的困难是：算绝对值在计算机上要判断，而平方不要判断。。这绝逼不对啊。。。在计算机上，“判断一下” 的成本是比 “平方” 要小很多的，真正导致困难的地方是，当我们要用到 “模” 们的时候，经常是在某个优化问题的背景中，而优化必然涉及一阶导二阶导等等，一模的求导不稳定性才是关键。。&br&&br&然后，
这个问题姑且拆成两部分，一部分是 “为什么一开始人们这么定义”，另一部分是 “各种定义有什么利弊”。第一部分如果要严谨的回答，只能回到数学史里面去考证。且跳过。以下针对第二部分，即各种定义有什么利弊。其他答主从统计、数学体系角度答的都很好，…
这是一个相当困难的问题，来自于分布式计算，具体的解法出自这篇文章：&br&ftp://www1.idc.ac.il/Faculty/gadi/MyPapers/1996FMRT-wakeup.pdf&br&称为&see-saw protocol&&br&&br&0，假定每个犯人初始时有两个虚拟筹码，两盏灯一盏用于指示每个犯人当前的状态，称为&see-saw switch& 状态可以约定为1和－1, 另一盏用于指示犯人当前应采取的行为，称为&pebble switch&，状态可以约定为on和off&br&&br&每个犯人可以有三种状态 0，－1，1&br&&br&1，每个犯人第一次进入房间时，扳动see-saw开关，并记住自己对应的状态 （－1或 1，由开关指示）；&br&&br&2， 此后每次进入房间：&br&&br&2.1 若自身状态为0，则不采取任何行动&br&&br&2.2 若自身状态为1或－1，则：&br&&br&2.2a 若此时犯人无筹码，且与当前see-saw开关的状态一致，则扳动see-saw开关，并将自己标记为0&br&&br&2.2b 若此时犯人有筹码, 则：&br&&br&2.2b1 若自身状态与当前see-saw开关的状态一致，且pebble开关为off, 则扳动pebble开关并视作给出一个筹码&br&&br&2.2b2 若自身状态与当前see-saw开关的状态不一致，且pebble开关为on, 则扳动pebble开关并视作获得一个筹码&br&&br&任意时刻，某个犯人获得了2n （设有n个犯人）个筹码时可以宣布所有人均已访问过房间&br&&br&上述操作并不消灭或产生筹码，并总是保证筹码向当前人数低的一方流动，因此最终某人将获得全部2n或2n＋1个筹码 （取决于pebble开关的初始状态）
这是一个相当困难的问题，来自于分布式计算，具体的解法出自这篇文章：ftp://www1.idc.ac.il/Faculty/gadi/MyPapers/1996FMRT-wakeup.pdf称为"see-saw protocol"0，假定每个犯人初始时有两个虚拟筹码，两盏灯一盏用于指示每个犯人当前的状态，称为"see-saw …
授人以渔：&a href=&///?target=https%3A///input/%3Fi%3Dconvert%2B2.5%2Bto%2Bbase%2B5& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&convert 2.5 to base 5&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
授人以渔：
首先给每个箱子编号，号码从1到M。然后定义随机变量&img src=&///equation?tex=A_i%5C+%28i%3D1%2C...%2CM%29& alt=&A_i\ (i=1,...,M)& eeimg=&1&&，其取值为&br&&img src=&///equation?tex=A_i%3D%5Cbegin%7Bcases%7D%0A+%26+1%5Ctext%7B%EF%BC%8C%E5%A6%82%E6%9E%9C%E7%AC%AC%24i%24%E5%8F%B7%E7%AE%B1%E5%AD%90%E6%9C%80%E5%90%8E%E6%98%AF%E7%A9%BA%E7%9A%84%7D+%5C%5C+%0A+%26+0%5Ctext%7B%EF%BC%8C%E5%A6%82%E6%9E%9C%E7%AC%AC%24i%24%E5%8F%B7%E7%AE%B1%E5%AD%90%E6%9C%80%E5%90%8E%E4%B8%8D%E6%98%AF%E7%A9%BA%E7%9A%84%7D+%0A%5Cend%7Bcases%7D& alt=&A_i=\begin{cases}
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首先给每个箱子编号，号码从1到M。然后定义随机变量A_i\ (i=1,...,M)，其取值为A_i=\begin{cases}
& 1\text{，如果第$i$号箱子最后是空的} \\
& 0\text{，如果第$i$号箱子最后不是空的}
\end{cases}那么容易计算\mathbb{E}(A_i)=P(A_i=1)=(\frac{M-1}{M…
所所所所所所有人都过来
所所所所所所有人都过来
这个问题叫做&b&棋盘遍历问题&/b&,在算法学上面是经典的回溯法问题.百度&回溯法+棋盘遍历&即可.&br&----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------&br&但是本质上这是个图论问题,骑士的行动棋盘等价于一个图,给6*6的棋盘编号1-36,1连接9和14,2连接10和13和15...以此类推,最后这个图是这样的.&br&&img src=&/7bde53efa52a776e_b.png& data-rawwidth=&366& data-rawheight=&359& class=&content_image& width=&366&&&br&骑士图有很强的对称美.标上标号的话....就看不清了.&br&&img src=&/c9eba7a728c53c532f84e_b.png& data-rawwidth=&324& data-rawheight=&328& class=&content_image& width=&324&&&br&----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------&br&走遍有两种理解,第一种是像这样不要求最后一步接第一步,图论上也就是个求&b&哈密顿路径&/b&问题.&br&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-mathematica&&&span class=&o&&//&/span&&span class=&n&&Mathematica&/span&&span class=&err&&绘图代码&/span&&span class=&w&&&/span&
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&/code&&/pre&&/div&&img src=&/634f31d6e40394eddf070e5907bbb72a_b.png& data-rawwidth=&346& data-rawheight=&347& class=&content_image& width=&346&&这个解法少一些,不过也有9862种走法,没法一一给您过目了.&br&我这还有别的棋盘遍历问题的研究.&a href=&///?target=http%3A//cruy.xyz/E4%25B9%259D%25E5%25AE%25AB%25E6%25A0%25BC%25E5%25AF%%25A0%%259B%2598/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&简单棋盘遍历&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
这个问题叫做棋盘遍历问题,在算法学上面是经典的回溯法问题.百度"回溯法+棋盘遍历"即可.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------但是本质上这是个图论…
有一点数论的经验处理这题可能会更加顺手。&br&高中竞赛涉及数论的问题中，我们常常将一个整数&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&表为&img src=&///equation?tex=2%5E%7Bp_n%7D%5Ccdot+r_n+%5C%2C+%28p_n%2Cr_n+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D%2C+r_n+%5Cequiv+1+%5C%2C%28%5Ctext%7Bmod%7D2%29%29& alt=&2^{p_n}\cdot r_n \, (p_n,r_n \in \mathbb{Z}, r_n \equiv 1 \,(\text{mod}2))& eeimg=&1&&的形式（即，把&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&表为其因式分解中2的最高次幂和一个奇数的乘积）来对整数分类。&br&在本题里，我们依照&img src=&///equation?tex=r_n& alt=&r_n& eeimg=&1&&划分1到200这200个整数的集合&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&为：&br&&img src=&///equation?tex=A_1%3D%5Cleft%5C%7B+2%5E0%5Ccdot1%2C%5C%2C2%5E1%5Ccdot1%2C%5Ccdots+2%5E7%5Ccdot1%5Cright%5C%7D+& alt=&A_1=\left\{ 2^0\cdot1,\,2^1\cdot1,\cdots 2^7\cdot1\right\} & eeimg=&1&&;&br&&img src=&///equation?tex=A_3%3D%5Cleft%5C%7B+2%5E0%5Ccdot3%2C%5C%2C2%5E1%5Ccdot3%2C%5Ccdots+2%5E6%5Ccdot3%5Cright%5C%7D+& alt=&A_3=\left\{ 2^0\cdot3,\,2^1\cdot3,\cdots 2^6\cdot3\right\} & eeimg=&1&&;&br&&img src=&///equation?tex=%5Ccdots& alt=&\cdots& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=A_%7B2k%2B1%7D%3D%5Cleft%5C%7B+2%5E0%5Ccdot%282k%2B1%29%2C%5C%2C2%5E1%5Ccdot%282k%2B1%29%2C%5Ccdots+%5Cright%5C%7D+& alt=&A_{2k+1}=\left\{ 2^0\cdot(2k+1),\,2^1\cdot(2k+1),\cdots \right\} & eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Ccdots& alt=&\cdots& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=A_%7B197%7D%3D%5Cleft%5C%7B+2%5E0%5Ccdot197+%5Cright%5C%7D+& alt=&A_{197}=\left\{ 2^0\cdot197 \right\} & eeimg=&1&&;&br&&img src=&///equation?tex=A_%7B199%7D%3D%5Cleft%5C%7B+2%5E0%5Ccdot199+%5Cright%5C%7D+& alt=&A_{199}=\left\{ 2^0\cdot199 \right\} & eeimg=&1&&&br&共100个集合（注意，当&img src=&///equation?tex=m%3E100& alt=&m&100& eeimg=&1&&时，&img src=&///equation?tex=A_m& alt=&A_m& eeimg=&1&&里只有一个元素）。&br&现在取100个整数：&br&&ol&&li&假如有两个整数落在同一子集内，那么由于划分的构造，这两个整数必然一个能整除另一个；&br&&/li&&li&不然，就要在每一个子集内各取一个数，由于至少有一个数小于16，设这个数是&img src=&///equation?tex=2%5Ep%5Ccdot+r%28p%3D0%2C1%2C2%2C3%3Br%3D1%2C2%2C%5Ccdots15%29& alt=&2^p\cdot r(p=0,1,2,3;r=1,2,\cdots15)& eeimg=&1&&：&br&&/li&&/ol&&ul&&li&如果&img src=&///equation?tex=p%3D0& alt=&p=0& eeimg=&1&&，即这个数是奇数，则取一个大于100且是它倍数的整数即可整除；例如，如果这个数是15，我们就有105（由分划的构造知我们一定会取这个数！）能让它整除。&br&&/li&&li&如果&img src=&///equation?tex=p%3E0& alt=&p&0& eeimg=&1&&，我暂时没有特别优美的方法，这里我们不妨来举个例子看看，比如对于&img src=&///equation?tex=12%3D2%5E2%5Ccdot3& alt=&12=2^2\cdot3& eeimg=&1&&。考虑&img src=&///equation?tex=A_%7B9%7D& alt=&A_{9}& eeimg=&1&&里的数，其2的幂次如果大于等于2，则已经可整除。否则这个数2的幂次只能取0或1。再考虑&img src=&///equation?tex=A_%7B27%7D& alt=&A_{27}& eeimg=&1&&里的数，其2的幂次同理只能取0或1。&img src=&///equation?tex=A_%7B81%7D& alt=&A_{81}& eeimg=&1&&里的数亦然。这样一来，&img src=&///equation?tex=A_%7B9%7D%2CA_%7B27%7D%2CA_%7B81%7D& alt=&A_{9},A_{27},A_{81}& eeimg=&1&&里的数必然有两个有相同的2的幂次，这样这两个数就有了整除关系。构造完成！对于其他的数，这种不断考虑奇数因子3倍的构造方式也行得通。具体过程略去。&/li&&/ul&所以这100个整数无论怎么取，都能找到两个数、存在整除关系。
有一点数论的经验处理这题可能会更加顺手。高中竞赛涉及数论的问题中，我们常常将一个整数n表为2^{p_n}\cdot r_n \, (p_n,r_n \in \mathbb{Z}, r_n \equiv 1 \,(\text{mod}2))的形式（即，把n表为其因式分解中2的最高次幂和一个奇数的乘积）来对整数分类。…
&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3D%5Ccos%28x%29& alt=&f(x)=\cos(x)& eeimg=&1&&
f(x)=\cos(x)
谢邀。&br&因为覆盖面太广的缘故，试着就我了解的内容回答下吧。&br&首先七百万目前发出了一百万，应该拿到的钱的是俄国数学家佩雷尔曼，他解决了庞加莱猜想，如果细细讲来的话这是一个非常有趣的撕逼故事。&br&对于学过拓扑的孩子来说（好吧其实我很水），不难理解庞加莱猜想的内容，可以说类似哥德巴赫猜想这种一句话定理，难度是极大的。据学拓扑的老师对我讲，在拓扑界，空间越简单，问题越难。欧式空间问题难于一般空间问题，低维空间问题难于高维空间问题。而庞加莱猜想就是这样，首先，1960年Smale 搞定了四维以上的部分，然后66年怒砍菲奖。1983年Freedman 证明了四维的情况，然后86年怒砍菲奖。甚至为了证明庞加莱猜想而发明了新的工具的Turston也在1982年拿下了菲奖。庞加莱猜想堪称一只下金蛋的鸡。&br&接下来的事情就很有趣了，我印象很深，大约在我初二那年爆出了国人证粗庞加莱猜想了！！！当时并不懂什么是庞加莱猜想，只是觉得碉堡了！！！后来渐渐才发现，好吧真是狗血…&br&具体情节有兴趣的同学可以自行百度，我大概总结下：&br&有一个叫佩雷尔曼的俄国人很屌（其实好像是性格有些问题），独来独往，不交流不发文章，俨然隐士，研究数学。有一天发了几篇文章到了arxiv,然后两拨人都看了这几篇文章，然后都证明庞加莱猜想啦，然后就开始撕逼啦，包括丘成桐先生都卷入其中（他主导的国人那一拨），最后2006年菲奖当然无视了撕逼者发给佩雷尔曼啦，然后！！！！！这B拒领！！！！！然后！！！！！一百万刀也拒领啦！！！！然后就没有然后了…&br&P.S.据说我国某教授和佩雷尔曼是好基友，不过这就是另一个故事了…&br&&br&接下来说说NS方程。关于NS方程，了解的不是那么多，但是由于认识一些做PDE的老师和同学，或多或少也听说过一些，总结出一个字，就是难！！！PDE方向极其的多（旁听过一门PDE课程的第一节课，老师介绍了PDE的目前大致研究方向，目测有二十来个），经常是一个方程就是好几个方向（正问题啊 反问题啊 各种XX性分析啊），但是，搞定百万刀这件事情实在是太难了，目前为止只能打打擦边球，据说短期内是基本上没什么可能解决了。&br&14年的时候俄媒报道过哈萨克斯坦有个数学家搞定了，第一反应卧槽哈萨克斯坦！！！尼玛好吊好吊！！！然后又看到是个70多岁的老头子…不管你们信不信，反正我是不信的…&br&&br&&br&黎曼猜想占个坑…手机要没电了（好吧我决定太监了…反正也并没有人看…）&br&&br&剩下的五个问题，NP问题好像是计算的，并不懂…米尔斯杨理论似乎偏物理，也不懂…BSD和Hodge都和代数几何有关，还是不懂…
谢邀。因为覆盖面太广的缘故，试着就我了解的内容回答下吧。首先七百万目前发出了一百万，应该拿到的钱的是俄国数学家佩雷尔曼，他解决了庞加莱猜想，如果细细讲来的话这是一个非常有趣的撕逼故事。对于学过拓扑的孩子来说（好吧其实我很水），不难理解庞加…
遗憾的是，不能。&br&&img src=&/56474dbd55fda158f04a1d2_b.jpg& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&1600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&/56474dbd55fda158f04a1d2_r.jpg&&
遗憾的是，不能。
如果不理解为何可以如苏暖暖那样建模，可以简化理解。&br&&br&同时翻4个是2次同时翻2个的特殊情况。&br&&br&同时翻2个，无论这两个同时向上、同时向下、还是一上一下，都不改变同向杯子个数的奇偶性，所以不可能有0个杯口向下变成7个杯口向下。
如果不理解为何可以如苏暖暖那样建模，可以简化理解。同时翻4个是2次同时翻2个的特殊情况。同时翻2个，无论这两个同时向上、同时向下、还是一上一下，都不改变同向杯子个数的奇偶性，所以不可能有0个杯口向下变成7个杯口向下。
来一步步的看，看归纳的前两步就行了。&br&&br&按照题主给出的论证：&br&x=1 的时候马显然是同一种颜色。&br&假设 x=1 的时候 1 匹马都是同一种颜色，那么 x=2 的时候将 2 排序。第一匹马（和自己）是同一种颜色，第二匹马是同一种颜色。
直到这里都没有问题，但是， 两匹马是同一种颜色？为什么？这个结论怎么得到的？&br&&br&&br&稍微再往后说一点。很多时候你们喜欢说话说不清楚。这个地方有两个不同的版本分别使得结论成立和不成立。&br&假设我们给出的条件是 n=2 的时候，2 匹马是同一种颜色。那么会出现两种不同的读法：&br&&ul&&li&对于任意的两匹马，它们的颜色相同。从这个地方就可以用数学归纳法（根本没必要用数学归纳法）得到所有马颜色都相同的结论。&br&&/li&&li&对于某两匹马来说，它们的颜色相同。这里数学归纳就归纳不过去了，从 2 归纳到 3 的时候，我们可以有 x1，x2 的颜色是相同的，但是这个时候 x2 和 x3 的颜色为什么要是相同的呢？&/li&&/ul&如果将这个错误论证做得更有迷惑性的话，应该写成这样：&br&Claim：任何两匹马颜色都是相同的&br&Fact：两匹马颜色是相同的&br&By Induction &br&Basic Step：n=2 的时候成立&br&Inductive Step：假设 n&2，并且对于 n=x 是成立的，那么对于 n=x+1 因为此时 x 匹马的颜色是相同的，因此 x1 到 xn 的颜色是相同的，x2 到 x(n+1) 的颜色是相同的。并且由于 n&2，两个集合之间肯定有交集。根据等价关系的性质，x 和 x(n+1) 的颜色也是相同的，因此 n+1 匹马的颜色是相同的。&br&对于任意的 n，n 匹马的颜色是相同的。&br&Fact：世界上的马的个数是某个自然数 m。&br&m 匹马的颜色是相同的。&br&因此所有马的颜色是相同的。
来一步步的看，看归纳的前两步就行了。按照题主给出的论证：x=1 的时候马显然是同一种颜色。假设 x=1 的时候 1 匹马都是同一种颜色，那么 x=2 的时候将 2 排序。第一匹马（和自己）是同一种颜色，第二匹马是同一种颜色。
直到这里都没有问题，但是， 两匹马…
首先你得知道k条直线最多把平面分成(k^2+k+2)/2个部分, 并且大概知道证明.&br&&br&然后空间的情形类似, 并且要用到上述结论. &br&&br&------------------------我是详细答案的分隔线--------------------------&br&&br&引理: &img src=&///equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&条直线最多把平面分成&img src=&///equation?tex=%5Cdfrac%7Bk%5E2%2Bk%2B2%7D%7B2%7D& alt=&\dfrac{k^2+k+2}{2}& eeimg=&1&&个部分.&br&引理的证明: 用数学归纳法, &img src=&///equation?tex=k%3D1& alt=&k=1& eeimg=&1&&时显然成立. 假设&img src=&///equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&条直线最多能将平面分成&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bk%5E2%2Bk%2B2%7D%7B2%7D& alt=&\frac{k^2+k+2}{2}& eeimg=&1&&个部分, 那么对于&img src=&///equation?tex=k%2B1& alt=&k+1& eeimg=&1&&条直线, 前&img src=&///equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&条至多将平面分成&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bk%5E2%2Bk%2B2%7D%7B2%7D& alt=&\frac{k^2+k+2}{2}& eeimg=&1&&个部分, 第&img src=&///equation?tex=k%2B1& alt=&k+1& eeimg=&1&&条直线和前&img src=&///equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&条直线至多交于&img src=&///equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&个不同的交点, 从而它至多被分成&img src=&///equation?tex=k%2B1& alt=&k+1& eeimg=&1&&段, 每段将一个平面区域一分为二, 因此&img src=&///equation?tex=k%2B1& alt=&k+1& eeimg=&1&&条直线至多将平面分成不多于&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bk%5E2%2Bk%2B2%7D%7B2%7D%2Bk%2B1%3D%5Cfrac%7B%28k%2B1%29%5E2%2B%28k%2B1%29%2B2%7D%7B2%7D& alt=&\frac{k^2+k+2}{2}+k+1=\frac{(k+1)^2+(k+1)+2}{2}& eeimg=&1&&个部分.&br&另外当这&img src=&///equation?tex=k%2B1& alt=&k+1& eeimg=&1&&条直线两两相交, 并且任意三线不共点时, 这个数可以被取到. 从而引理成立.&br&&br&回到原问题, 我们来证明&img src=&///equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&个平面最多把空间分成&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bk%5E3%2B5k%2B6%7D%7B6%7D& alt=&\frac{k^3+5k+6}{6}& eeimg=&1&&个部分&br&同样用数学归纳法, &img src=&///equation?tex=k%3D1& alt=&k=1& eeimg=&1&&时显然成立. 假设&img src=&///equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&个平面最多能将空间分成&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bk%5E3%2B5k%2B6%7D%7B6%7D& alt=&\frac{k^3+5k+6}{6}& eeimg=&1&&个部分, 那么对于&img src=&///equation?tex=k%2B1& alt=&k+1& eeimg=&1&&个平面, 前&img src=&///equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&个平面至多将空间分成&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bk%5E3%2B5k%2B6%7D%7B6%7D& alt=&\frac{k^3+5k+6}{6}& eeimg=&1&&个部分, 第&img src=&///equation?tex=k%2B1& alt=&k+1& eeimg=&1&&个平面和前&img src=&///equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&个平面至多交于&img src=&///equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&条不同的直线, 这些直线将第&img src=&///equation?tex=k%2B1& alt=&k+1& eeimg=&1&&个平面分成至多&img src=&///equation?tex=%5Cdfrac%7Bk%5E2%2Bk%2B2%7D%7B2%7D& alt=&\dfrac{k^2+k+2}{2}& eeimg=&1&&个部分, 每个部分将一个空间区域一分为二, 因此&img src=&///equation?tex=k%2B1& alt=&k+1& eeimg=&1&&个平面至多将空间分成不多于&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bk%5E3%2B5k%2B6%7D%7B6%7D%2B%5Cdfrac%7Bk%5E2%2Bk%2B2%7D%7B2%7D%3D%5Cdfrac%7B%28k%2B1%29%5E3%2B5%28k%2B1%29%2B6%7D%7B6%7D& alt=&\frac{k^3+5k+6}{6}+\dfrac{k^2+k+2}{2}=\dfrac{(k+1)^3+5(k+1)+6}{6}& eeimg=&1&&&br&个部分.&br&另外当这&img src=&///equation?tex=k%2B1& alt=&k+1& eeimg=&1&&个平面两两相交, 任意三个平面有公共点且不共线(从而不会出现两个平面在第三个平面上的两条交线平行或重合), 任意四个平面不共点(从而不会出现三个平面在第四个平面上的三条交线共点)时, 这个数可以被取到. 证明完毕&br&&br&因此当&img src=&///equation?tex=k%3D5& alt=&k=5& eeimg=&1&&时, 所求的值是&img src=&///equation?tex=26& alt=&26& eeimg=&1&&.
首先你得知道k条直线最多把平面分成(k^2+k+2)/2个部分, 并且大概知道证明.然后空间的情形类似, 并且要用到上述结论. ------------------------我是详细答案的分隔线--------------------------引理: k条直线最多把平面分成\dfrac{k^2+k+2}{2}个部分.引理的…
透露一个好玩的东西:&br&&br&我知道&br&&br&&img src=&///equation?tex=819%5E3%2B499%5E3-678%5E3%3D6& alt=&819^3+499^3-678^3=6& eeimg=&1&&&br&&br&这不在那个表上. &br&&br&我看过Bjorn Poonen教授的一篇文章,他建议解出题主所给方程的人去专门从事丢番图方程的研究.&br&&br&P.S. 这是Richard Guy那本书的问题,编号D5, 已知&img src=&///equation?tex=%5Cmax%28%5Cvert+x+%5Cvert%2C+%5Cvert+y+%5Cvert%2C+%5Cvert+z+%5Cvert%29%3C10%5E%7B14%7D& alt=&\max(\vert x \vert, \vert y \vert, \vert z \vert)&10^{14}& eeimg=&1&&,那么题主所给的方程无解. 这其实是一个很有研究意义的丢番图方程, 但是需要进一步的理论才有希望解出来.
透露一个好玩的东西:我知道819^3+499^3-678^3=6这不在那个表上. 我看过Bjorn Poonen教授的一篇文章,他建议解出题主所给方程的人去专门从事丢番图方程的研究.P.S. 这是Richard Guy那本书的问题,编号D5, 已知\max(\vert …
&img src=&///equation?tex=2%5EA& alt=&2^A& eeimg=&1&&
&p&谢邀。我说点自己的一点朴素理解，就不引用文献了。&/p&&br&&p&1. 先简单整理整理签名算法的框架，看看有哪些组成部分吧。&/p&&p&一般，一个签名算法&img src=&///equation?tex=%5Cpi+%3D%28Gen%2C+Sign%2C+Vrfy%29& alt=&\pi =(Gen, Sign, Vrfy)& eeimg=&1&&含有三个子算法，依次是密钥产生算法、签字算法和验证算法。其中，&/p&&p&--- Gen负责根据需要（比如要求密钥有1024-bit等）产生一对密钥pk和sk；&/p&&p&--- Sign负责用私钥sk来给消息签名；&/p&&p&--- Vrfy负责用公钥pk来验证消息；&/p&&p&（在绝大多数数情况下，）有&img src=&///equation?tex=Vrfy%28pk%2C+m%2C+Sign%28sk%2Cm%29%29+%3D+1& alt=&Vrfy(pk, m, Sign(sk,m)) = 1& eeimg=&1&&&/p&&p&也就是说，如果签名是真的，则一定能通过检验。&/p&&p&&u&Gen至少要求能高效计算&/u&，比如若产生素数本身就是个指数时间的复杂问题，RSA签名就不会被实现了。&/p&&br&&p&2. 现在考虑&u&攻击者可以如何攻击&/u&这个签名方案，从而确定如何把难题“嵌入”签名所需要的安全性场景。&/p&&p&2.1 攻击者尝试从公钥pk里恢复私钥sk。&/p&&p&防止这个的发生其实是一种最弱的安全性要求了。典型的比如教科书上的RSA签名，因为因数分解的复杂性假设的存在，所以直接恢复sk很困难。&/p&&p&类似，所有的、安全的单向函数F,可满足 pk = F(sk)，原则上都可以用在密钥产生算法里。【注1】所以，如果难题有类似的这种性质，比如离散对数问题、格上的LWE问题都可以有类似的演化来作为Gen(即密钥产生算法)的一部分。&/p&&br&&p&2.2 攻击者尝试从签名里恢复私钥sk。&/p&&p&这也是一个很弱的安全性要求。单向的难题也是在这里用到，即从二元函数G(sk, m)中，即使已知G(sk, m)的值和m的值，仍旧很难恢复出正确的sk。Sign至少得是这样的（单向）二元函数。&/p&&br&&p&2.2 攻击者尝试从已知的多个明文和其对应的签名中算出一个新的、有效的签名。【注2】&/p&&p&这里在满足2.1之后，还&u&至少&/u&要求明文、签名对不可以有类似同态的关系。&/p&&p&比如textbook RSA里有&img src=&///equation?tex=%28m_1+%5Ccdot+m_2%29%5E%7Bsk%7D+%3D+m_1+%5E%7Bsk%7D+%5Ccdot+m_2+%5E%7Bsk%7D& alt=&(m_1 \cdot m_2)^{sk} = m_1 ^{sk} \cdot m_2 ^{sk}& eeimg=&1&&，所以如果攻击者拿到m1和m2的签名，马上就可以伪造出m1 m2这个明文的签名，而无须知道sk是多少。这也就是textbook RSA为什么不安全的原因之一。&/p&&p&因此，Sign算法必须打破类似同态的这些性质，引入Hash和padding是常用的手段。&/p&&p&当已经有了基本的Gen和Sign的雏形，接下来就可以用一些通用的构建方法了。这一方面有很多研究文章发表。&/p&&br&&p&综上，签名的基本设计流程是：&/p&&p&从一个难题本身出发，构建基本的单向函数或其他primitive(如hash、MAC等)，然后用已知的、或者独创的转换来尝试设计数字签名。其后通过发现安全性证明中仍旧存在的漏洞，引入其他的工具或者难题进行“修补”，直到满足安全性要求为止。&/p&&br&&p&【注1】因签名算法整体设计同时也牵涉到Sign和Vrfy，所以强调是“原则上”。&/p&&p&【注2】具体来说是selective CMA和adaptive CMA两种安全性，此处不展开。&/p&
谢邀。我说点自己的一点朴素理解，就不引用文献了。1. 先简单整理整理签名算法的框架，看看有哪些组成部分吧。一般，一个签名算法\pi =(Gen, Sign, Vrfy)含有三个子算法，依次是密钥产生算法、签字算法和验证算法。其中，--- Gen负责根据需要（比如要求密钥…
题主让我想起了十四岁的自己。也是成天抱着计算器按，然后发现了不少稀奇古怪的&公式&。我看到前面的答案都很正确，但是一个十四岁的少年可能不知所云。所以我想写一个答案，不是非常严谨，但是至少让题主稍微了解一下这件事情。&br&&img src=&/8e3ec561ccbc45b67e7c45e1b66eb401_b.jpg& data-rawwidth=&1865& data-rawheight=&2911& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1865& data-original=&/8e3ec561ccbc45b67e7c45e1b66eb401_r.jpg&&&br&题主若有不解之处，请务必提出来。&br&实际上，题主最好还是学一些微积分，这样就会基本上完全理解这件事。我知道让一个初中生学微积分听起来很吓人。但是不妨先看完初中的函数知识（一次函数，二次函数等）以及解方程等内容，然后看一下高中的对数、三角函数之类的内容。这时可以找一本大学文科的或者专科的微积分，是可以看懂的。看的时候不纠结具体论证，就体会极限、导数、积分、级数这些是甚么概念即可。即使是这样粗浅的了解，也是让微积分在头脑里生根，对以后的学习（甚至是中学学习）都很好。六年前我跟你差不多时，就是这样做的。&br&哦忘了赞一下题主。按计算器能发现这样一件事情，我觉得相当厉害。继续吧。
题主让我想起了十四岁的自己。也是成天抱着计算器按，然后发现了不少稀奇古怪的"公式"。我看到前面的答案都很正确，但是一个十四岁的少年可能不知所云。所以我想写一个答案，不是非常严谨，但是至少让题主稍微了解一下这件事情。题主若有不解之处，请务必提…
既然你都学概率统计了，那我估计你是高数课上到泰勒展开的时候睡着了【
既然你都学概率统计了，那我估计你是高数课上到泰勒展开的时候睡着了【
其实这种题需要计算吗？？？&br&&br&需要吗？&br&&br&需要吗？&br&&br&需要吗？&br&&br&首先人类都躺下都只占了地球的一小部分，所以每个人先尝试挖出体积跟自己一样的鼻屎再说吧吧，来来来，题主，你先来。
其实这种题需要计算吗？？？需要吗？需要吗？需要吗？首先人类都躺下都只占了地球的一小部分，所以每个人先尝试挖出体积跟自己一样的鼻屎再说吧吧，来来来，题主，你先来。
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