请问：f（x）=xlnx单调减区间 （a-1）x...

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2011-10-25 11:23 标签： 已知y xlnx
已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）（I）若函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x-1）_答案网
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&已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）（I）若函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x-1）时间:&&分类:&&&【来自ip:&18.198.137.118&的&热心网友&咨询】
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已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）（I）若函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，求a的取值范围；（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x-1）+ax-x恒成立，求正整数k的值．
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&网友答案：
（Ⅰ）解：由f（x）=xlnx+ax，得：f′（x）=lnx+a+1∵函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，∴当x∈[e2，+∞）时f′（x）≥0，即lnx+a+1≥0在区间[e2，+∞）上恒成立，∴a≥-1-lnx．又当x∈[e2，+∞）时，lnx∈[2，+∞），∴-1-lnx∈（-∞，-3]．∴a≥-3；（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x-1）+ax-x恒成立，即x?lnx+ax＞k（x-1）+ax-x恒成立，也就是k（x-1）＜x?lnx+ax-ax+x恒成立，∵x∈（1，+∞），∴x-1＞0．则问题转化为k对任意x∈（1，+∞）恒成立，设函数h（x）=，则，再设m（x）=x-lnx-2，则．∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）=x-lnx-2在（1，+∞）上为增函数，∵m（1）=1-ln1-2=-1，m（2）=2-ln2-2=-ln2，m（3）=3-ln3-2=1-ln3＜0，m（4）=4-ln4-2=2-ln4＞0．∴?x0∈（3，4），使m（x0）=x0-lnx0-2=0．∴当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，h′（x）＜0，∴在（1，x0）上递减，x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，∴在（x0，+∞）上递增，∴h（x）的最小值为h（x0）=．∵m（x0）=x0-lnx0-2=0，∴lnx0+1=x0-1，代入函数h（x）=得h（x0）=x0，∵x0∈（3，4），且k＜h（x）对任意x∈（1，+∞）恒成立，∴k＜h（x）min=x0，∴k≤3，∴k的值为1，2，3．解析分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，由函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，得其导函数在[e2，+∞）上大于等于0恒成立，把变量a分离出后得a≥-1-lnx，然后利用函数的单调性求-1-lnx在[e2，+∞）上的最大值，
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