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已知半径R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R=（　　）
题型：单选题难度：偏易来源：重庆三模
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据魔方格专家权威分析，试题“已知半径R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于..”主要考查你对&&球面距离&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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球面距离的概念：
球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，叫做这两点的球面距离。
地球上的经纬线：
①当把地球看作一个球时，经线是指球面上从北极到南极的半个大圆．纬线是指垂直于地轴的一组平行平面所截得的圆，纬线除了赤道是大圆外，其余都是小圆．如图所示．
&②某点的经度是经过这点的经线与地轴确定的半平面和本初子午线（00经线）与地轴确定的半平面所成的二面角度数．此角实则为二面角，某点的纬度是经过这点的球半径与赤道面所成角的度数，此角实则为线面角．下面用图标注．
对球面距离的理解：
（1）球面上的两点间的球面距离，必须是在球面过此两点的大圆中求此两点所对应的劣弧的长度，不能在过此两点的球的小圆中求．（2）由于球是旋转体，而旋转体又是轴对称的几何体，因此在解题时，常利用球的轴截面图形来研究问题，从而将空间问题转化为平面问题．（3）熟练掌握球的截面中大圆的半径，截面圆半径以及球心到截面圆圆心的距离的关系是解决有关球的问题的关键．
发现相似题
与“已知半径R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于..”考查相似的试题有：
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已知半径R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R=
A．4 B．2 C．2 D．
题型：单选题难度：中档来源：0124
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据魔方格专家权威分析，试题“已知半径R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于..”主要考查你对&&柱、锥、台、球的结构特征&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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柱、锥、台、球的结构特征
（1）概念：如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线互相平行。这样的多面体叫做棱柱。棱柱中两个互相平行的面叫棱柱的底面，其余各个面都叫棱柱的侧面，两个侧棱的公共边叫做棱柱的侧棱，棱柱中两个底面间的距离叫棱柱的高。 （2）分类：①按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱和直棱柱。侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱； ②按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形…、分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，…
（1）概念：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各个面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫棱锥。在棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面，棱锥中这个多边形叫做棱锥的底面，棱锥中相邻两个侧面的交线叫做棱锥的侧棱，棱锥中各侧棱的公共顶点叫棱锥的顶点。棱锥顶点到底面的距离叫棱锥的高，过棱锥不相邻的两条侧棱的截面叫棱锥的对角面。 （2）分类：按照棱锥底面多边形的边数可将棱锥分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥… （3）正棱锥的概念：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。
圆柱的概念：
以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。 旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆柱侧面的母线。
圆锥的概念：
以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体；
圆台的概念：
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分；&
球的定义：
第一定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫球体，简称球。 半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。 第二定义：球面是空间中与定点的距离等于定长的所有点的集合。
球的截面与大圆小圆：
截面：用一个平面去截一个球，截面是圆面； 大圆：过球心的截面圆叫大圆，大圆是所有球的截面中半径最大的圆。 球面上任意两点间最短的球面距离：是过这两点大圆的劣弧长； 小圆：不过球心的截面圆叫小圆。 棱柱的性质：
①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形；②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形；③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。
棱锥的性质：
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比。
正棱锥性质：
①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等； ②正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影、侧棱、底面的外接圆的半径R、底面的半边长可组成四个直角三角形。
圆柱的几何特征：
①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
圆锥的几何特征：
①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。&
圆台的几何特征：
①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
球的截面的性质：
性质1：球心和截面圆心的连线垂直于截面；性质2：球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有如下关系：r2=R2-d2.&&&
发现相似题
与“已知半径R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于..”考查相似的试题有：
331426784789404410827397746527789082自半径为R的球面上一点M,引球的三条两两垂直的弦MA,MB,MC,求MA^2 MB^2 MC^2.三条两两垂直的弦MA,MB,MC就是球的内切长方体的长宽高,它们的平方和就是球直径的平方.所以MA^2 MB^2 MC^2=（2R)^2=4R^2.以上是比较简略的解答过程,我希望把它说的更加详细,成为一道规范的解答题.
字母wan848
证明:设MA、MB确定一平面截球面为小圆AMB.∵MA⊥MB,∴AB为小圆直径且其圆心为O′,连结MO′并延长交小圆O′于D,连结CD,则MC⊥小圆面AMB.∵MC小圆面MCD,∴平面MCD⊥小圆面MAB.又MD是小圆面的直径,∴平面MCD是球面的一个大圆面.由MC⊥MD,∴CD过球心O,即CD是球O的直径.∴CD2=MC2+MD2=MC2+MA2+MB2,即MA2+MB2+MC2为定值4R2.
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简单理解一下吧，想成内切长方体。三条线两两垂直，体对角线为MA^2＋ MB^2＋ MC^2.而正方体的体对角线正好也是球的直径，球的直径为2R，即为4R2
证明:设MA、MB确定一平面截球面为小圆AMB.∵MA⊥MB，∴AB为小圆直径且其圆心为O′，连结MO′并延长交小圆O′于D，连结CD，则MC⊥小圆面AMB.∵MC小圆面MCD，∴平面MCD⊥小圆面MAB.又MD是小圆面的直径，∴平面MCD是球面的一个大圆面.由MC⊥MD，∴CD过球心O，即CD是球O的直径.∴CD2=...
扫描下载二维码将半径为R的四个球，两两相切地放在桌面上，求上面一个球的球心到桌面的距离．
设四个球的球心分别为O1、O2、O3、O4，将它们两两连结恰好组成一个正三棱锥，且各棱长均为2R，作O1H⊥面O2O3O4，垂足为H，则O1H为棱锥的高．连接O4H，则O4H=R，∵O1H⊥面O2O3O4，∴O1H⊥HO4，即∠O1HO4=90°，∴O1H=R，则从上面一个球的球心到桌面的距离为（+1）R．
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设四个球的球心分别为O1、O2、O3、O4，将它们两两连结恰好组成一个正三棱锥，且各棱长均为2R，作O1H⊥面O2O3O4，垂足为H，则O1H为棱锥的高，由此可求上面一个球的球心到桌面的距离．
本题考点：
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
考点点评：
本题考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，考查学生转化问题的能力，属于中档题．
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在同一平面内，已知点O到直线l的距离为5，以点O为圆心，r为半径画圆．探究、归纳：（1）当r＝________时，⊙O上有且只有一个点到直线l的距离等于3；（2）当r＝________时，⊙O上有且只有三个点到直线l的距离等于3；（3）随着r的变化，⊙O上到直线l的距离等于3的点的个数有哪些变化？并求出相对应的r的值或取值范围．（不必写出计算过程）
主讲：刘大伟
【思路分析】
(1)根据垂线段最短，则要使⊙O上有且只有一个点到直线l的距离等于3，则该点是点O到直线l的垂线段与圆的那个交点，此时圆的半径是5－3=2；(2)根据点O到直线l的距离为5，要使⊙O上有且只有三个点到直线l的距离等于3，则需要在此直线的两侧分别有一条和该直线的距离是3的直线分别和圆相交、相切．此时圆的半径是5+3=8；(3)结合上述两种特殊情况即可对此题进行分情况考虑：当0＜r＜2时，或当r=2时，或当2＜r＜8时，或当r=8时，或当r＞8时．
【解析过程】
解：如图：(1)r=5－3=2；(2)r=5+3=8；(3)当0＜r＜2时，⊙O上没有点到直线l的距离等于3，当r=2时，⊙O上有且只有1个点到直线l的距离等于3，当2＜r＜8时，⊙O上有且只有2个点到直线l的距离等于3，当r=8时，⊙O上有且只有3个点到直线l的距离等于3，当r＞8时，⊙O上有且只有4个点到直线l的距离等于3．
(1)2；(2)8；(3)当0＜r＜2时，⊙O上没有点到直线l的距离等于3；当r=2时，⊙O上有且只有1个点到直线l的距离等于3，当2＜r＜8时，⊙O上有且只有2个点到直线l的距离等于3；当r=8时，⊙O上有且只有3个点到直线l的距离等于3；当r＞8时，⊙O上有且只有4个点到直线l的距离等于3．
能够根据特殊情况分析得到所有的圆上的点到直线的距离等于3的点的个数．
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