称行列式$$\det A=\det\left(\frac{1}{a_{i}+b_{j}}\right)_{n\times n}$$为Cauchy行列式,我们来计算他：
由于$$\det\left(\frac{1}{a_{i}+b_{j}}\right)_{n\times n}=\frac{1}{\prod\limits_{1\leq i,j\leq n}(a_{i}+b_{j})}\det(c_{ij})_{n\times n}$$
如果将$a_{1},\cdots,a_{n},b_{1},\cdots,b_{n}$视作变量,那么每个$c_{ij}$都是一个$n-1$次的多元多项式,因此$\det(c_{ij})_{n\times n}$的结果必然是一个$n(n-1)$次的多元多项式$f(a_{1},\cdots,a_{n},b_{1},\cdots,b_{n})$(简记作$f$).
如果我们将$a_{1}$视作变量,而其余视作常数,那么显然当$a_{1}=a_{k},k=2,3,\cdots,n$时,必然有$$f=\det(c_{ij})_{n\times n}=0$$
从而$f$有因子$(a_{1}-a_{k}),k=2,3,\cdots,n$;以此类推可知$f$含有因子$$g=\prod_{1\leq i&j\leq n}(a_{i}-a_{j})(b_{i}-b_{j})$$
注意到$${\rm deg }g=2\times\binom{n}{2}={\rm deg}f$$
因此$f$和$g$仅相差一个非零常系数.即$$\det A=\frac{C\prod\limits_{1\leq i&j\leq n}(a_{i}-a_{j})(b_{i}-b_{j})}{\prod\limits_{1\leq i,j\leq n}(a_{i}+b_{j})}$$我们来求这个系数$C$,现令$$a_{i}=\frac{1}{2}+ix,b_{j}=\frac{1}{2}-jx$$,那么$$\det A=\det\left(\frac{1}{1+(i-j)x}\right)_{n\times n}$$
注意到上式的结果对于充分大的$x$是连续的,从而我们令$x\to\infty$可知$$\det A=1$$
而此时\begin{align*}\lim_{x\to\infty}\frac{\prod\limits_{1\leq i&j\leq n}(a_{i}-a_{j})(b_{i}-b_{j})}{\prod\limits_{1\leq i,j\leq n}(a_{i}+b_{j})}&=\lim_{x\to\infty}\frac{\prod\limits_{1\leq i&j\leq n}(i-j)x(j-i)x}{\prod\limits_{1\leq i,j\leq n}(1+(i-j)x)}\\&=\frac{-\prod\limits_{1\leq i&j\leq n}(i-j)^2}{\prod\limits_{1\leq i,j\leq n,i\neq j}(i-j)}=1\\\Rightarrow C&=1\end{align*}
综上便知$$\det\left(\frac{1}{a_{i}+b_{j}}\right)_{n\times n}=\frac{\prod\limits_{1\leq i&j\leq n}(a_{i}-a_{j})(b_{i}-b_{j})}{\prod\limits_{1\leq i,j\leq n}(a_{i}+b_{j})}$$
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行列式的计算方法(精辟）
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行列式的计算方法(精辟）
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行列式的计算方法
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行列式的计算方法
官方公共微信加边法计算行列式的值
行列式的值等于其第一行各元素乘以各自对应的代数余子式之积的和。
（注：本代码仅提供一种思路，并不代表最优解）
/// &summary&
/// 递归计算行列式的值
/// &/summary&
/// &param name="matrix"&矩阵&/param&
/// &returns&&/returns&
public static double Determinant(double[][] matrix)
//二阶及以下行列式直接计算
if (matrix.Length == 0) return 0;
else if (matrix.Length == 1) return matrix[0][0];
else if (matrix.Length == 2)
return matrix[0][0] * matrix[1][1] - matrix[0][1] * matrix[1][0];
//对第一行使用“加边法”递归计算行列式的值
double dSum = 0, dSign = 1;
for (int i = 0; i & matrix.L i++)
double[][] matrixTemp = new double[matrix.Length - 1][];
for (int count = 0; count & matrix.Length - 1; count++)
matrixTemp[count] = new double[matrix.Length - 1];
for (int j = 0; j & matrixTemp.L j++)
for (int k = 0; k & matrixTemp.L k++)
matrixTemp[j][k] = matrix[j + 1][k &= i ? k + 1 : k];
dSum += (matrix[0][i] * dSign * Determinant(matrixTemp));
dSign = dSign * -1;
2.Main函数调用
static void Main(string[] args)
//二阶行列式 -2
double[][] matrix1 = new double[][]
new double[] { 1, 2 },
new double[] { 3, 4 }
Console.WriteLine(Determinant(matrix1));
//三阶行列式 -4
double[][] matrix2 = new double[][]
new double[] { 2, 0, 1 },
new double[] { 1, -4, -1 },
new double[] { -1, 8, 3 }
Console.WriteLine(Determinant(matrix2));
//四阶行列式 -21
double[][] matrix3 = new double[][]
new double[] { 1, 2, 0, 1 },
new double[] { 1, 3, 5, 0 },
new double[] { 0, 1, 5, 6 },
new double[] { 1, 2, 3, 4 }
Console.WriteLine(Determinant(matrix3));
Console.ReadLine();
3.运行结果
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2015考研数学线代：行列式的计算方法总结
13:59:33 来源：新东方在线编辑整理
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& & 新东方在线小编为考生总结了线性代数行列式的细算方法，希望对于这方面有疑问的考生能够起到参考借鉴的作用。　　行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。当然，任何一个n阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知，n阶行列式的展开式有n!项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。值的注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。接下来要介绍计算行列式的两种最基本方法――化三角形法和按行(列)展开法。　　方法1　　化三角形法　　化三角形法是将原行列式化为上(下)三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上(下)三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。　　原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。　　例1：浙江大学2004年攻读入学考试试题第一大题第2小题(重庆大学2004年攻读硕士入学考试试题第三大题第1小题)的解答中需要计算如下行列式的值：　　[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始;每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以-1加到第n列，第n-2列乘以-1加到第n-1列，一直到第一列乘以-1加到第2列。然后把第1行乘以-1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。　　解：　　方法2　 按行(列)展开法(降阶法)　　设为阶行列式，根据行列式的按行(列)展开定理有　　或　　其中为中的元素的代数余子式　　按行(列)展开法可以将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式计算。若继续使用按行(列)展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行(列)展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行(列)含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行(列)展开法时，应利用行列式的性质将某一行(列)化为有较多的零元素，再按该行(列)展开。　　例2，计算20阶行列式[9]　　[分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行(列)展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20!*20-1次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。　　注意到此行列式的相邻两列(行)的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：　　解：　　以上就是计算行列式最基本的两种方法，接下来介绍的一些方法，不管是哪种，都要与行列式的性质和基本方法结合起来。　　下面是一常用的方法：　　方法3　递推法　　应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式(比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等)的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式(比如二阶或一阶行列式)的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。　　[注意]用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。　　例3，2003年入学考试试题第二大题第10小题要证如下行列式等式：　　(虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。)　　[分析]此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式[1]。从行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1与Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。　　证明：Dn按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：　　这是由Dn-1
和Dn-2表示Dn的递推关系式。若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因此，可考虑将其变形为：　　或　　现可反复用低阶代替高阶，有：　　同样有：　　因此当时　　由(1)(2)式可解得：　　证毕。　　[点评]虽然我们从一个行列式中可以看出有低阶的相同的结构，然后得到一递推关系式，但我们不要盲目乱代，一定要看清这个递推关系式是否可以简化我们的计算，如果不　　行的话，就要适当地换递 推关系式，如本题。　　以上总共给出了计算行列式的3种方法，其中一些是常见的些是最基本的方法，还有一些是特殊但很实用的方法。在课外书中还有其他的一些方法，如：极限法、换元法、导数法、差分法、积分法等，但这些方法用处不多，所以不加以介绍。
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