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二次函数分类讨论
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二次函数的解析式
抛物线解析式的三种方法：
一般式 就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式．
顶点式顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点．当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a．在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题．在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．
交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2
<P class=MsoN word-break: page-break-after: page-break-before: text-indent: 0 body margin-left: di
3个问题　3个小结
根据直线y=x-2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A（2，m）、B（n，3），先求出m，n的值，再把A，B的坐标代入，利用抛物线对称轴为x=3即可求出解析式．
已知抛物线与X轴的交点坐标，利用交点式求解析式。
抛物线有顶点坐标的条件时，利用顶点式求解析式
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400万学生都爱用的随身家教二次函数综合题分类例析--《数学大世界(初中版)》2015年09期
二次函数综合题分类例析
【摘要】：正二次函数综合题难度较大,灵活性很高,涉及的知识面甚广,是检测同学们综合分析问题和解决问题能力的好题型.下面就举例分析,希望对同学们更好地解答此类问题能够有所帮助.一、求二次函数的解析式
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：G634.6【正文快照】：
二次函数综合题难度较大,灵活性很高,涉及的 (2)请在2轴上方的抛物线上找出一点〇,使面知识面甚广,是检测同学们综合分析问题和解决问题 积5^=5^8(;,并求出0点的坐标.能力的好题型·下面就举例分析,希望对同学们更好 解析(1)·.·抛物线y=2*2+m+m+2过B地解答此类问题能够有
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京公网安备75号课题名称二次函数知识点总结――题型分类总结；教学目标：；1.掌握二次函数表达式的三种形式，能灵活选用三种；2.掌握二次函数的图像与性质，结合解析式确定图像；教学重难点：；教学重点：1、二次函数的三种解析式形式；2、二次函数的图像与性质；教学难点：1、二次函数与其他函数共存问题；2、根据二次函数图像，确定解析式系数符号；3、根据二次函数图像的对称性、增减性解决
二次函数知识点总结――题型分类总结
教学目标：
1. 掌握二次函数表达式的三种形式，能灵活选用三种形式提高解题效率。
2. 掌握二次函数的图像与性质，结合解析式确定图像顶点、对称轴和开口方向；熟练掌握其与一元二次方程和一元二次不等式的关系；能通过基本性质解决图像的系数符号问题、共存问题、对称性问题、以及应用问题。
教学重难点：
教学重点：1、二次函数的三种解析式形式
2、二次函数的图像与性质
教学难点：1、 二次函数与其他函数共存问题
2、根据二次函数图像，确定解析式系数符号
3、 根据二次函数图像的对称性、增减性解决相应的综合问题。
【回顾与思考】
一、二次函数的定义
y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数. 定义：一般地，如果
（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）
精典例题：
例1：在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（
A．2xy+x2=1
B．y2-ax+2=0
C．y+x2-2=0
D．x2-y2+4=0 考点：二次函数的定义．
分析：根据二次函数的定义对四个选项进行逐一分析即可，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数． 解答：解：A、2xy+x2=1当x≠0
时，可化为
的形式的形式，不符合一元二
次方程的一般形式，故本选项错误；
B、y2-ax+2=0可化为y2=ax-2不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误； C、y+x2-2=0可化为y=x2+2，符合一元二次方程的一般形式，故本选项正确； D、x2-y2+4=0可化为y2=x2+4的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误． 故选C．
点评：本题考查的是二此函数的一般形式，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
例2：函数y=(m+3)xm2+m-4，当m=
时，它的图象是抛物线．
考点：二次函数的定义．
分析：二次函数的图象是抛物线的，由二次函数的定义列出方程与不等式解答即可．
解答：解：∵它的图象是抛物线， ∴该函数是二次函数，
∴，解得m=2或-3，m≠-3，∴m=2．
点评：用到的知识点为：二次函数的图象是抛物线；二次函数中自变量的最高次数是2，二次项的系数不为0．
例3：若y=xm-2是二次函数，则m=
考点：二次函数的定义．
分析：根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可． 解答：解：∵函数y=xm-2是二次函数， ∴m-2=2， ∴m=4． 故答案为4．
学以致用：
1、下列函数中，是二次函数的是
①y=x－4x+1；
③y=2x+4x；
④y=－3x；
⑧y=－5x。
⑤y=－2x－1；
⑥y=mx+nx+p；
⑦y =(4,x) ；
2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t+2t，则t＝4秒时，该物体所经过的路程为
3、若函数y=(m+2m－7)x+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为
。 4、若函数y=(m－2)x
+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为
二、二次函数的对称轴、顶点、最值
考点连接：如果解析式为顶点式：y=a(x－h)+k，则对称轴为：
，最值为：
如果解析式为一般式：y=ax2+bx+c，则对称轴为：最值
如果解析式为交点式：y=(x-x1)(x-x2), 则对称轴为：
精典例题：
例1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为
考点：二次函数图象与几何变换． 分析：利用二次函数图象的性质．
解答：解：经过原点，说明（0，0）适合这个解析式．那么m2+2m-3=0，（m+3）（m-1）=0．解
得：m1=-3，m2=1．
点评：本题应用的知识点为：在函数图象上的点一定适合这个函数解析式．
例2．若抛物线y＝ax－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为(
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
分析：由抛物线y=ax2-6x经过点（2，0），求得a的值，再求出函数顶点坐标，求得顶点到坐
标原点的距离．
解答：解：由于抛物线y=ax2-6x经过点（2，0），则4a-12=0，a=3，
抛物线y=3x-6x，变形，得：y=3（x-1）-3，则顶点坐标M（1，-3）， 抛物线顶点到坐标原点的距离|OM|=故选B．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求解析式，再求顶点坐标，最后求距离．
学以致用：
1．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax＋bx＋c(
A.开口向上，对称轴是y轴
B.开口向下，对称轴是y轴
C.开口向下，对称轴平行于y轴
D.开口向上，对称轴平行于y轴
2．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.
3．已知二次函数y=mx2+(m－1)x+m－1有最小值为0，则m＝。
三、函数y=ax+bx+c的图象和性质
知识点：（1）①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；
②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点. ③｜a｜越大，开口越小。
（?）（2）顶点是，对称轴是直线x??
（3）①当a?0时，在对称轴左边，y随x的增大而减小；在在对称轴右边，y随x的增大而
②当a?0时，在对称轴左边，y随x的增大而增大；在在对称轴右边，y随x的增大而减小。
（4） y轴与抛物线y?ax?bx?c得交点为(0,c)
c?0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，c?0，抛物线与y轴的交点在x轴下方
精典例题：
例1：（2002?十堰）抛物线y=-x2+2x+1的顶点坐标是____________，开口方向是
____________ ，对称轴是___________．
考点：二次函数的性质． 分析：根据二次函数的性质解题．
解答：解：∵y=-x2+2x+1=-（x2-2x）+1=-（x2-2x+1-1）+1=-（x-1）2+2，
∴抛物线y=-x2+2x+1的顶点坐标是（1，2），开口方向是向下，对称轴是x=1．
点评：此题考查了二次函数的性质，顶点坐标、对称轴及开口方向．
例2：（2010?兰州）抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x-3，则b、c的值。
考点：二次函数图象与几何变换．
分析：易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次
项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b，c的值．
解答：解：由题意得新抛物线的顶点为（1，-4），
∴原抛物线的顶点为（-1，-1），
设原抛物线的解析式为y=（x-h）+k代入得：y=（x+1）-1=x+2x， ∴b=2，c=0． 故选B．
点评：抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看
顶点坐标是如何平移得到的即可．
学以致用：
1．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝－2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式
2．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）－2x+1 ；
（2）y=－3x+8x－2；
（3）y=－ x+x－4
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