§1-4 精度和衡量精度的指标
§1-4& 精度和衡量精度的指标
评定测量成果的精度是测量平差的主要任务之一。精度就是指误差分布的密集或离散的程度。例如两组观测成果的误差分布相同，便是两组观测成果的精度相同；反之，若误差分布不同，则精度也就不同。
从直方图来看，精度高，则误差分布较为密集，图形在纵轴附近的顶峰则较高，且由长方形所构成的阶梯比较陡峭；精度低，则误差分布较为分散，在纵轴附近顶峰则较低，且其阶梯较为平缓。这个性质同样反映在误差分布曲线的形态上，即有误差分布曲线较高而陡峭和误差分布曲线较低而平缓两种情形。
在一定的观测条件下进行的一组观测，它对应着一种确定的误差分布。如果分布较为密集，即离散度较小时，则表示该组观测质量较好，也就是说，这一组观测精度较高；反之，如果分布较为离散，即离散度较大时，则表示该组观测质量较差，也就是说，这一组观测精度较低。在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于他们对应着同一种误差分布，对于这一组中的每一个观测值，都称为是同精度观测值。
为了衡量观测值的精度高低，可以按上节的方法，把在一组相同条件下得到的误差，用组成误差分布表、绘制直方图或画出误差分布曲线的方法来比较。在实用上，是用一些数字特征来说明误差分布的密集或离散的程度，称它们为衡量精度的指标。衡量精度的指标有很多种，下面介绍几种常用的精度指标。
一、方差和中误差
用表示误差分布的方差，误差Δ的概率密度函数为：
由方差的定义：&&&
由于在此主要包括偶然误差部分，，所以有：
&&&&&&&&&&&&&&
&&&& (1-4-1)
就是中误差：&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
不同的将对应着不同形状的分布曲线，愈小，曲线愈为陡峭，愈大，则曲线愈为平缓。的大小可以反映精度的高低，所以常用中误差作为衡量精度的指标。
正态分布曲线具有两个拐点，它们在横轴上的坐标为，为随机变量的数学期望。对于偶然误差，由于其数学期望，所以拐点在横轴上的坐标为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
如果在相同的条件下得到了一组独立的观测误差，可由（1-3-1）式，并根据定积分的定义可以写出：&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
对于离散型：&&&&& ；&&& &&&&&& （1-4-5）
“[表达式]”是测量平差教材和文献中的一个惯用符号，与数学中的“”读音和意义相同，表示方括号中表达式的所有项求和。例如，。
方差是真误差平方的数学期望，也就是的理论平均值。在分布律为已知的情况下，是一个确定的常数。或者说，方差是的极限值，它们都是理论上的数值。实际上观测个数总是有限的，由有限个观测值的真误差只能得到方差和中误差的估值，方差和中误差的估值分别用符号和表示，即
，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
& （1-4-6）
这就是根据一组等精度独立真误差计算方差和中误差估值的基本公式。在后续的文字叙述中，在不需要特别强调“估值”意义的情况下，也将“中误差的估值”简称为“中误差”。
二、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差。
设以表示平均误差，则有：
如果在相同条件下得到了一组独立的观测误差，平均误差为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&& （1-4-7）
即平均误差是一组独立的偶然误差绝对值的算术平均值之极限值。因为
；&& &&&&&&&&&&&&
上式是平均误差与中误差的理论关系式。由此可见，不同大小的，对应着不同的，也就对应着不同的误差分布曲线。因此，也可以用平均误差作为衡量精度的指标。
由于观测值的个数总是一个有限值，在实用上也只能用的估值来衡量精度，并用表示的估值，但仍然简称为平均误差。则：&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
三、或然误差
随机变量X落入区间内的概率为：
对于偶然误差来说，误差Δ落入区间的概率为：
或然误差的定义是：误差出现在之间的概率等于，即
将Δ的概率密度代入上式，并作变量代换，令
则得：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
由概率积分表查得，当概率为时，积分限为0.6745，即得
；& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（1-4-10）
上式是或然误差与中误差的理论关系。不同的也对应着不同的误差分布曲线，因此，或然误差也可以作为衡量精度的指标。
实用上，因为观测值个数是有限值，因此也只能得到的估值，但仍简称为或然误差。它是这样求得的：将相同观测条件下得到的一组误差，按绝对值的大小排列，当为奇数时，取位于中间的一个误差值作为，当为偶数时，则取中间两个误差值的平均值作为。在实用上，通常都是先求出中误差的估值，然后按（1-4-10）式求出或然误差。
由于当不大时，中误差比平均误差更能灵敏地反映大的真误差的影响，同时，在计算或然误差时往往是先算出中误差，因此，世界各国通常都是采用中误差作为精度指标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
四、极限误差&&
中误差不是代表个别误差的大小，而是代表误差分布的离散度的大小。由中误差的定义可知，它是代表一组同精度观测误差平方的平均值的平方根极限值，中误差愈小，即表示在该组观测中，绝对值较小的误差愈多。按正态分布表查得，在大量同精度观测的一组误差中，误差落在、和的概率分别为：
&&&&&&&&&&&&&&&&&
（1-4-11）
上式反映了中误差与真误差间的概率关系。绝对值大于中误差的偶然误差，其出现的概率为31.7%；而绝对值大于二倍中误差的偶然误差出现的概率为4.5%；特别是绝对值大于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅有0.3%，这已经是概率接近于零的小概率事件，或者说这是实际上的不可能事件。一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值，并称为极限误差。即：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
（1-4-12）
实践中，也常采用作为极限误差的。例如测量规范中的限差通常是以作为极限误差的。实用上以中误差的估值代替。在测量工作中，如果某误差超过了极限误差，那就可以认为它是错误，相应的观测值应进行重测、补测或舍去不用。
五、相对误差
对于某些长度元素的观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的好坏。例如，分别丈量了1000m及500m的两段距离，它们的中误差均为±2cm，虽然两者的中误差相同，但就单位长度而言，两者精度并不相同。显然前者的相对精度比后者要高。此时，须采用另一种办法来衡量精度，通常采用相对中误差，它是中误差与观测值之比。如上述两段距离，前者的相对中误差为，而后者则为。
相对中误差是个无名数，在测量中一般将分子化为1，即用表示。
对于真误差与极限误差，有时也用相对误差来表示。例如，经纬仪导线测量时，规范中所规定的相对闭合差不能超过，它就是相对极限误差；而在实测中所产生的相对闭合差，则是相对真误差。与相对误差相对应，真误差、中误差、极限误差等均称为绝对误差。
例[1-1] 观测了两段距离，分别为1000m±2cm和500m±2cm。问：这两段距离的真误差是否相等？中误差是否相等？它们的相对精度是否相同？
解：这两段距离的真误差不相等。这两段距离中误差是相等，均为±2cm。它们的相对精度不相同，前一段距离的相对中误差为，后一段距离的相对中误差。
相对精度是对长度元素而言。如果不特别说明，相对精度是指相对中误差。角度元素没有相对精度。
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> 第1章 现代传感技术
第2节 测量误差的理论基础
　　1.测量误差定义及分类
　　测量误差就是测量值，与被测量的真值之差，直接采用这种差值表示的方法称绝对误差表示法。此外还有相对误差表示法(见式(1.8)和(1.9))等。
　　测量误差有不同的分类方法，常见的是按出现的规律分类，有系统误差、随机误差和粗大误差三类。
　　(1)系统误差
　　在同一条件下，对同一被测参数进行多次重复测量时，所出现的数值、符号都相同，或者按一定规律变化的误差称为系统误差，前者称为恒值系统误差，后者称为变值系统误差。产生系统误差的主要原因有：测量原理或测量方法的不完善、标准量值的不准确、仪表本身的缺陷、环境条件的变化等。系统误差是可以通过修正来补偿的，但不能完全排除。
　　(2)随机误差
　　在同一测量条件下，多次重复测量同一被测量时，其绝对值和符号以不可预定的随机性的方式变化称为随机误差。随机误差的产生可能由于人们尚未认识的原因，或目前尚无法控制的某些因素(如电子线路中的噪声)的影响，即偶然因素所引起的。
　　(3)粗大误差
　　超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。此误差值较大，明显表现为测量结果异常。如测量时读错、记错仪表指示值，仪表操作失误，测量数据计算错误等。含粗大误差的测量结果毫无意义应该剔除。
　　测量误差按产生的原因分类，有设备装置误差(如标准器误差、仪表误差、辅助设备和附件误差)，环境误差，方法误差和人员误差等。
　　2.误差的估计和评价处理方法
　　(1)随机误差
　　设在重复条件下对某个量进行无限次测量，若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则该测量列中的各个测量误差出现的概率密度分布服从正态分布，即
　　式中，为测量值与约定真值之间的误差;为分布函数的标准差，其定义为
　　式中，n为测量次数。正态分布曲线如图2.1所示。可以看出正态分布的随机误差具有对称性，单峰性，有界性和抵偿性等特征。
　　标准差反映了测量误差的分散程度，越大，图2.1所示的曲线越趋于平坦，幅值越小，表明误差分散性较大;反之越小，曲线越尖锐，幅值越大。对式(2.1)给出的分布函数在区间[-，]内积分，即可求得测量误差落在该区间上的概率。当分别取，2和3时，可求得概率;;。
　　在实际测量中，测量次数n为有限值，而且真值为未知。可以证明n个测量值的算术平均值
&是被测量真值的最大似然估计值，的数学期望恰好就是被测量真值。
　　测量值的标准差(也称样本标准差或实验标准差)为
　　测量值的算术平均值也是一个随机变量，它的实际标准差由下式计算，
　　式(2. 5)说明用n次测量值的算术平均值代替单次测量的测定值估计具有更高的精密度。
　　测量值落在置信区间[-，+](称为置信区间半长)内的置信概率用表示，置信区间与置信概率共同表明了测量结果的置信度。由于置信度的不同，测量结果的误差有不同的表示方法，常用的有
　　①标准误差 置信区间半长=，置信概率;
　　②平均误差=0.7979，;
　　③或然误差=0.6745，;
　　④极限误差=3，。
　　当测量次数n&10时，测量误差需用t分布的概率密度函数表示，即
　　式中，为特殊函数，称为自由度。t分布在区间[，]内的置信概率为。
　　各次测量(或各组测量)的精密度不同的测量过程称非等精度测量。在非等精度测量中，被测量真值的最佳估计值是各次组测量值的加权平均值，即
　　式中，就是测量值的权，是一正常数，是测量值的标准差。加权平均值的标准差则为
　　(2)粗大误差
　　在一列测量数据中，判别是否有粗大误差现在主要有两种方法。
　　①拉依达法 如果测量列中某一测量值其残差(=)的绝对值大于该测量列标准误差的3倍，即
那么可以认为为坏值，应予以剔除。此方法用于测量次数n&10的情况。
　　②格拉布斯法 当测量次数较少()时，若测量列某一测量值的残差满足如下关系，
　　则可以认为存在粗大误差。式中称为格拉布斯系数，为显著水平，(一般取0.01或0.05)。当n=3～10时，约为1.15～2.4。和拉依达法比较，格拉布斯法在n较小时，判别粗大误差的效果更好。
　　(3)系统误差
　　分析和处理系统误差的关键，首先在于如何发现和判定测量数据中是否存在系统误差，主要检验方法或评判准则有
　　①实验对比法 采用准确度高一等级的&标准&仪表在相同条件下进行测量。
　　②残余误差观察法 设测量列中各测量值的系统误差比随机误差大，将它们按测量先后顺序排定，若残差的符号有规律地交替变化，则测量列中含有周期性系统误差;若残差的大小有规则地向一个方向变化，则测量列中含有累进的系统误差。
　　③马利科夫准则和阿贝-赫梅特准则 计算差值
　　其中当n为偶数时，取，;当n为奇数时，取，。若差值D显著地异于零，则测量列中含有累进的系统误差，该准则称马利科夫准则。
若，则可认为测量列中含有周期性系统误差，该准则称阿贝-赫梅特准则。
　　④标准差判据 用不同的标准差计算公式计算并进行比较，如由式(2.2)计算的标准差称贝塞尔公式，另一个计算标准差的公式称佩特尔斯公式，其定义为
则怀疑测量列中可能存在变值系统误差。式中k为置信概率P决定的置信系数，当和时，k分别取2和3。
　　(4)误差的合成
　　考虑测量模型，可以是直接测量量，也可以是影响输出的非被测参数或外界影响因素。当函数关系明确，各个影响量的测量误差已知(实际上就是系统误差)，则待测量的总误差为
　　实际上，系统误差、随机误差和粗大误差同时包含在测量值中，它们之间没有绝对的界限，而且测量值的真值一般是不能准确知道。所以，国际上现在逐步采用不确定度来表示测量结果的质量高低程度。用标准差(由式(2.4)或(2.5)计算得到)表示的测量不确定度称标准不确定度，用u表示。标准不确定度与测量结果的绝对值的比值称相对标准不确定度，用表示。
　　采用不确定度的概念后，不论测量过程产生的误差的性质，只要各输入量彼此独立，则合成的不确定度为
　　式中是由输入量对引起不确定度的分量;为输入量本身的不确定度;。下标r为相对不确定度，其中\。
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