一道概率问题求解_概率吧_百度贴吧
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一道概率问题求解收藏
一个男子在某城市的一条街道遭到背后袭击和抢劫，他断言凶犯是黑人。然而，当调查这一案件的**在可比较的光照条件下多次重新展现现场情况时，发现受害者正确识别袭击者肤色的概率只有80%，假定凶犯是本地人，而在这个城市人口中90%是白人，10%是黑人，且假定白人和黑人的犯罪率相同，（1）问：在这位男子断言凶犯是黑人的情况下，袭击他的凶犯确实是黑人的概率是多大？（2）问：在这位男子断言凶犯是黑人的情况下，袭击他的凶犯是白人的概率是多大？
福利不只是穿多穿少，还要有迷人的微笑!
A1：袭击他的是白人；A2：袭击他的是黑人。B1：他断言是白人；B2：他断言是黑人。求：断言是黑人时袭击者是黑人的概率P(A2|B2)
断言是黑人时袭击者是白人的概率P(A1|B2)按题意有：
P(A1)=0.9，P(A2)=0.1
P(B1|A1)=0.8，P(B2|A1)=0.2；P(B1|A2)=0.2，P(B2|A2)=0.8由全概率公式：P(B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(A2)P(B2|A2)=0.9*0.2+0.1*0.8=0.26由贝叶斯公式：P(A2|B2)=P(A2)P(B2|A2)/P(B2)=0.08/0.26=4/13P(A1|B2)=P(A1)P(B2|A1)/P(B2)=0.18/0.26=9/13
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为兴趣而生，贴吧更懂你。或还是一道概率题在一道答案有4种选择的单项选择题测验中,他就从4个答案中任选1个,已知有80%的学生知道正确答案,现在某个学生答对了此题,问他确实知道正确答案的概率是多少
血战舞动丶菤
一个同学做正确的可能概率P=0.8+0.2×0.25=0.85现在他已经正确了,那么总体由1变为了0.85他知道答案的概率P=0.8÷0.85=16/17
我已经懂了。可是你能不能用概率统计里面的公式帮我解释一遍
A=﹛该生做对了﹜B1=﹛该生知道怎么做﹜
B2=﹛该生不知道怎么做﹜
B1∪B2＝Ω,B1B2=￠
P(A/B1)=1，P(A/B2)=0.25
由贝叶斯公式可得
P(B1/A)=P(A/B1)·P(B1)÷[P(A/B1)·P(B1)＋P(A/B2)·P(B2)]=1×0.8÷﹙1×0.8＋0.25×0.2﹚=16/17
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假设你被神秘的坏人抓住，你想活命给你一个机会被坏人称为简单抓小球的“死亡游戏”规则有A、B两个方案让你选A、是一个完全看不见内部状况的摇奖箱，开口仅能伸进一只胳膊，里面有90个白色球和10个黑色球，你亲手接连掏出10个白球，就可以放你走，否则后果很严重。B、同样的摇奖箱，里面有3个小球，有可能全是白色球或者黑色球，也有可能有白色球还有黑色球，你掏出一个球，以此准确判断箱子里另外的两个球是什么颜色，猜对可以放你走，否则后果很严重。在这种情况下，你认为A、B哪个方案胜算比较大？说出你的理由！
这些回帖亮了
这一题A情况很简单，无非是10个概率的连乘，已经有人给出答案就不说了。下面说一下B情况。首先声明下，概率这种问题本来每个人都有每个人的想法，当然只有一种是正确的，但是毕竟是个虚无缥缈的东西，很多根本验证不了，所以请理性讨论，但是我实在不理解1/3的答案是怎么被亮上去的。
首先B情况是一个无序的，也就是他不需要你一个个的摸出第二个球和第三个球，并且分别说出是什么颜色，只用答出剩下的两个球是什么颜色。现在把题目稍微改动一下，一个暗箱子里有3个球，白黑都有可能，已知先从里面摸出的第一个球是黑球，让你求解剩下两球是两黑的、两白的、一黑一白的概率。
其实剩下的两个球的颜色跟摸出的第一个球的颜色是没有关系的。我们标注一下剩下的两个球一个为2号球，一个为3号球，那么一共几种情况呢，2*2=4种，分别是2（号）黑3黑，2黑3白，2白3黑，2白3白，并且每一种都是等可能的，概率为1/4，所以最终两黑的概率为1/4, 两白为1/4，一黑一白为1/2。所以1/3是错的。到这里答案已经出来了，如果你没有时间或者没有一颗研究的心就不要看下去了。
下面我重点要讲的是楼下FORHUMAN这位兄弟的思维，并且推翻掉这种思维，有兴趣的可以继续看下去，因为这种思维我当年考研的时候曾经绕进去过，最后才挣扎出来，所以相信有这种思维的不在少数。
先详细说一下他的想法。暗箱中有3个球，分别标记为1号球2号球3号球。那么3个球的颜色一共多少种情况呢，一共2*2*2 = 8种（注意我这里是考虑排序的，不考虑排序是4种情况）。我把8种情况列出来，从左到右依次为1号 2号 3号球：
而且这八种情况在你没有摸球之前都是等可能的，也就是每一种都是1/8可能性，这时候开始摸球了，第一个摸出的是黑球，那么第8种情况是不是被推翻了？只剩下1-7种情况。那么得出它们每个的可能性都分别为1/7，
再去掉第一个抽出的黑球，把重合的情况相加一下，剩下两个球是
两黑的概率为1/7，两白的概率为3/7，一黑一白的概率为3/7。
是不是被绕进去了？如果绕进去了，请好好想想为什么这种想法是错误的。下面我来推翻这种想法。
原因是这样的，在第一个球摸出是黑球的时候，剩下的7种可能性不再是等可能性了，也就是它们并不是每个都是1/7概率，而是有大有小的（其实第八种情况也一样，只是它特别小，小到为0了）。而这个大小就是贝叶斯公式可以求出来的。相信很多人看到这段话就已经恍然大悟了，那么下面的解释也不用看了。
我把我在25楼的回复粘贴上来，然后后面再补充一些公式帮助理解。
首先复习一下后验概率，举个例子，比如A B C三人射击，A打中靶心的概率为90%，B为50%，C为20%，现在已知有人打中靶心了，那么是谁打的呢，大家肯定猜是A打的，这其实就是后验概率的问题。而且ABC到底是谁打的，概率是可以用贝叶斯公式算出来的，由于手机码字，公式就不写了，明天可以上公式。
&&& 其实这题也一样，三个球一共多少种可能呢，2*2*2=8种，其中三黑，三白各一份，两黑一白和两白一黑各三份。而且在没摸球之前这八种可能性都是等几率的，这叫先验概率。
&&& 如果第一次摸到了黑球，这时候就不一样了，首先三黑的情况抽出黑球的概率是1,可以理解为三黑这个人射中靶心的概率是100%，而三白这个人射中靶心的概率为0，黑黑白、黑白黑、白黑黑这三个人打中靶心的几率是2/3，白白黑、白黑白、黑白白打中靶心的概率是1/3。这样一想是不是和上面的射击的模型一
&&& 有的人可能已经想通了，就认为那三黑射中的概率最高，那选三黑，其余两个球是黑的。那就大错特错了，虽然三黑几率高，但是他就一个人啊，而黑白黑，黑黑白，白黑黑他们三人的几率虽然是2/3，但是他们三人啊，把三人概率相加等于2,也就是其实剩下两个球是一黑一白的概率是两黑的两倍，白白黑，白黑白，黑白白三人射中的概率都是1/3,把他们三人相加，概率为1。也就是剩下的球是两白的概率和两黑的概率是相等的，并且等于一黑一白的一半。对他们做归一化后得出结果：两个黑和两个白的概率分别是1/4,一黑一白是1/2。我没有列公式，希望大家可以看明白，这些都可以通过贝叶斯公式和条件概率公式算出来。
当然这里是为了反驳你这种想法，这题最直接的想法就是独立，也就是另外两球和拿出的第一个球颜色无关，以上就是证明。
说到现在的贝叶斯公式，我尽量把它说的通俗易懂一些：
假设X事件一共可以并且只能通过A
、B、C三种途径发生，A、B、C的先验概率分别为P(A) P(B) P(C)。
条件概率：A发生的情况下X发生的概率为
P(X|A)，B和C的类似。那么当X已经确定发生时，它是由A这个途径发生的概率为：
P(A|X) &= &[P(X|A)P(A)] &/& [P(X|A)P(A)+
P(X|B)P(B)+ P(X|C)P(C)]
下面我用贝叶斯公式证明下上面的结论：
定义事件X为从三个球中抽出黑球，定义事件A为三个球的颜色都是黑球，事件B为3个球的颜色都是白球，事件C为3个球中两黑一白，事件D为3个球中两白一黑。
首先计算先验概率 P(A)=
P(B)=1/8 ， P(C)=P(D)=3/8。
&接着计算条件概率，
三个球都是黑球时抽中黑球的概率
P(X|A)=1 ，类似P(X|B) = 0，
P(X|C) =2/3，
P(X|D)=1/3。
那么根据贝叶斯公式，第一个球拿出来是黑色的情况下，原来3个球都是黑色的概率为：
P(A|X) &= &[P(X|A)P(A)] &/& [P(X|A)P(A)+
P(X|B)P(B)+ P(X|C)P(C)P(X|DP(D)]
&&&&& = [1*1/8]& /&
[1*1/8 + 0*1/8 + (2/3)*(3/8) +(1/3)*(3/8)]
&&&&& = 1/4
同理可得 P(B|X) =
&&&&&&& P(C|X) = 1/2
&&&&&&& P(D|X) = 1/4
再去掉第一个黑球，得出剩下的两个球的颜色为两黑 1/4 两白1/4 一黑一白1/2
&&& 证毕到这里就结束了，如果对概率模型想有更深入的了解的可以看看这篇博客，讲EM算法的，很通俗易懂，当然你得有一些概率论的基础。
[ 此帖被99terry在 07:39修改 ]
10*9*8*7*6*5*4*3*2*1/*100/99/98/97/96/95/94/93/92/91
和1/3发自手机虎扑
好吧，算一下第一个概率（90*89*88*87*86*85*84*83*82*81）÷（100*99*98*97*96*95*94*93*92*91）第二种无论你第一个球是什么颜色，剩下两个球只有三种情况：两黑，两白，一黑一白，三选一。。
第一种情况：90*89*88*......*80/100*99*98*......*90=0.294
第二种情况：1/3
so……ps：第二组情况只有黑黑 黑白*2 白白，如果选黑白的话自然是50%，反之黑黑白白的话就25%。可以终结此贴了不？[ 此帖被Xthanks在 23:32修改 ]
概率题――发自手机虎扑
不是你达不到，只是你不够！
理论上来说 前者概率大
madrid!!!永远支持板鸭
明显第二个概率大，都不用算
前面要全白，难度太高，就像你做选择乱填也不可能全错那样，选第二个来的爽快点。。
10*9*8*7*6*5*4*3*2*1/*100/99/98/97/96/95/94/93/92/91
和1/3发自手机虎扑
好吧，算一下第一个概率（90*89*88*87*86*85*84*83*82*81）÷（100*99*98*97*96*95*94*93*92*91）第二种无论你第一个球是什么颜色，剩下两个球只有三种情况：两黑，两白，一黑一白，三选一。。
引用6楼 @ 发表的:
好吧，算一下第一个概率（90*89*88*87*86*85*84*83*82*81）÷（100*99*98*97*96*95*94*93*92*91）第二种无论你第一个球是什么颜色，剩下两个球只有三种情况：两黑，两白，一黑一白，三选一。。
手机不好码字，算式表示有误，两个括号内相乘完再相除
第一种情况：90*89*88*......*80/100*99*98*......*90=0.294
第二种情况：1/3
so……ps：第二组情况只有黑黑 黑白*2 白白，如果选黑白的话自然是50%，反之黑黑白白的话就25%。可以终结此贴了不？[ 此帖被Xthanks在 23:32修改 ]
6楼正解，这种题也好意思放上来？
Live without regret. Choose without fear.
这一题A情况很简单，无非是10个概率的连乘，已经有人给出答案就不说了。下面说一下B情况。首先声明下，概率这种问题本来每个人都有每个人的想法，当然只有一种是正确的，但是毕竟是个虚无缥缈的东西，很多根本验证不了，所以请理性讨论，但是我实在不理解1/3的答案是怎么被亮上去的。
首先B情况是一个无序的，也就是他不需要你一个个的摸出第二个球和第三个球，并且分别说出是什么颜色，只用答出剩下的两个球是什么颜色。现在把题目稍微改动一下，一个暗箱子里有3个球，白黑都有可能，已知先从里面摸出的第一个球是黑球，让你求解剩下两球是两黑的、两白的、一黑一白的概率。
其实剩下的两个球的颜色跟摸出的第一个球的颜色是没有关系的。我们标注一下剩下的两个球一个为2号球，一个为3号球，那么一共几种情况呢，2*2=4种，分别是2（号）黑3黑，2黑3白，2白3黑，2白3白，并且每一种都是等可能的，概率为1/4，所以最终两黑的概率为1/4, 两白为1/4，一黑一白为1/2。所以1/3是错的。到这里答案已经出来了，如果你没有时间或者没有一颗研究的心就不要看下去了。
下面我重点要讲的是楼下FORHUMAN这位兄弟的思维，并且推翻掉这种思维，有兴趣的可以继续看下去，因为这种思维我当年考研的时候曾经绕进去过，最后才挣扎出来，所以相信有这种思维的不在少数。
先详细说一下他的想法。暗箱中有3个球，分别标记为1号球2号球3号球。那么3个球的颜色一共多少种情况呢，一共2*2*2 = 8种（注意我这里是考虑排序的，不考虑排序是4种情况）。我把8种情况列出来，从左到右依次为1号 2号 3号球：
而且这八种情况在你没有摸球之前都是等可能的，也就是每一种都是1/8可能性，这时候开始摸球了，第一个摸出的是黑球，那么第8种情况是不是被推翻了？只剩下1-7种情况。那么得出它们每个的可能性都分别为1/7，
再去掉第一个抽出的黑球，把重合的情况相加一下，剩下两个球是
两黑的概率为1/7，两白的概率为3/7，一黑一白的概率为3/7。
是不是被绕进去了？如果绕进去了，请好好想想为什么这种想法是错误的。下面我来推翻这种想法。
原因是这样的，在第一个球摸出是黑球的时候，剩下的7种可能性不再是等可能性了，也就是它们并不是每个都是1/7概率，而是有大有小的（其实第八种情况也一样，只是它特别小，小到为0了）。而这个大小就是贝叶斯公式可以求出来的。相信很多人看到这段话就已经恍然大悟了，那么下面的解释也不用看了。
我把我在25楼的回复粘贴上来，然后后面再补充一些公式帮助理解。
首先复习一下后验概率，举个例子，比如A B C三人射击，A打中靶心的概率为90%，B为50%，C为20%，现在已知有人打中靶心了，那么是谁打的呢，大家肯定猜是A打的，这其实就是后验概率的问题。而且ABC到底是谁打的，概率是可以用贝叶斯公式算出来的，由于手机码字，公式就不写了，明天可以上公式。
&&& 其实这题也一样，三个球一共多少种可能呢，2*2*2=8种，其中三黑，三白各一份，两黑一白和两白一黑各三份。而且在没摸球之前这八种可能性都是等几率的，这叫先验概率。
&&& 如果第一次摸到了黑球，这时候就不一样了，首先三黑的情况抽出黑球的概率是1,可以理解为三黑这个人射中靶心的概率是100%，而三白这个人射中靶心的概率为0，黑黑白、黑白黑、白黑黑这三个人打中靶心的几率是2/3，白白黑、白黑白、黑白白打中靶心的概率是1/3。这样一想是不是和上面的射击的模型一
&&& 有的人可能已经想通了，就认为那三黑射中的概率最高，那选三黑，其余两个球是黑的。那就大错特错了，虽然三黑几率高，但是他就一个人啊，而黑白黑，黑黑白，白黑黑他们三人的几率虽然是2/3，但是他们三人啊，把三人概率相加等于2,也就是其实剩下两个球是一黑一白的概率是两黑的两倍，白白黑，白黑白，黑白白三人射中的概率都是1/3,把他们三人相加，概率为1。也就是剩下的球是两白的概率和两黑的概率是相等的，并且等于一黑一白的一半。对他们做归一化后得出结果：两个黑和两个白的概率分别是1/4,一黑一白是1/2。我没有列公式，希望大家可以看明白，这些都可以通过贝叶斯公式和条件概率公式算出来。
当然这里是为了反驳你这种想法，这题最直接的想法就是独立，也就是另外两球和拿出的第一个球颜色无关，以上就是证明。
说到现在的贝叶斯公式，我尽量把它说的通俗易懂一些：
假设X事件一共可以并且只能通过A
、B、C三种途径发生，A、B、C的先验概率分别为P(A) P(B) P(C)。
条件概率：A发生的情况下X发生的概率为
P(X|A)，B和C的类似。那么当X已经确定发生时，它是由A这个途径发生的概率为：
P(A|X) &= &[P(X|A)P(A)] &/& [P(X|A)P(A)+
P(X|B)P(B)+ P(X|C)P(C)]
下面我用贝叶斯公式证明下上面的结论：
定义事件X为从三个球中抽出黑球，定义事件A为三个球的颜色都是黑球，事件B为3个球的颜色都是白球，事件C为3个球中两黑一白，事件D为3个球中两白一黑。
首先计算先验概率 P(A)=
P(B)=1/8 ， P(C)=P(D)=3/8。
&接着计算条件概率，
三个球都是黑球时抽中黑球的概率
P(X|A)=1 ，类似P(X|B) = 0，
P(X|C) =2/3，
P(X|D)=1/3。
那么根据贝叶斯公式，第一个球拿出来是黑色的情况下，原来3个球都是黑色的概率为：
P(A|X) &= &[P(X|A)P(A)] &/& [P(X|A)P(A)+
P(X|B)P(B)+ P(X|C)P(C)P(X|DP(D)]
&&&&& = [1*1/8]& /&
[1*1/8 + 0*1/8 + (2/3)*(3/8) +(1/3)*(3/8)]
&&&&& = 1/4
同理可得 P(B|X) =
&&&&&&& P(C|X) = 1/2
&&&&&&& P(D|X) = 1/4
再去掉第一个黑球，得出剩下的两个球的颜色为两黑 1/4 两白1/4 一黑一白1/2
&&& 证毕到这里就结束了，如果对概率模型想有更深入的了解的可以看看这篇博客，讲EM算法的，很通俗易懂，当然你得有一些概率论的基础。
[ 此帖被99terry在 07:39修改 ]
第二个猜一黑一白应该有1/2的可能性吧发自手机虎扑
9楼正解，这种题也好意思放上来？
是不是一个人太久了，总觉得时间在翻倍的的过；我不知道自己在找什么，只觉得丢了很多...
如果要是指明每个球的颜色那就都是1/4了发自手机虎扑
对于我这样的学渣来说，你还是杀了我吧发自手机虎扑
后一种情况万一正合我意呢发自手机虎扑
B选项说三分之一的过脑子了吗？？
四分之一，每次选都是两种可能，几率一样大，说两黑两白和一黑一白是三中可能不错，可是一黑一白是另外两种可能的两倍。发自手机虎扑
B无论如何猜一黑一白，能有3/7的概率活命
引用8楼 @ 发表的:
第一种情况：90*89*88*......*80/100*99*98*......*90=0.294
第二种情况：1/3
so……ps：第二组情况只有黑黑 黑白*2 白白，如果选黑白的话自然是50%，反之黑黑白白的话就25%。可以终结此贴了不？
不能。
还是细说一下吧，假设箱内黑白球概率均等。3个球可能的情况为黑黑黑，黑黑白，黑白白，白白白。分别为1/8，3/8，3/8，1/8.
掏出一个，假设为黑，排除三白。猜一黑一白，正确概率为3/7。
白色同理。
条件概率……
引用16楼 @ 发表的:
B选项说三分之一的过脑子了吗？？
四分之一，每次选都是两种可能，几率一样大，说两黑两白和一黑一白是三中可能不错，可是一黑一白是另外两种可能的两倍。
呵呵，没过脑的是你吧，题干明显有问题没看出来？要依次猜对两个球的颜色只是你自己脑补的条件罢了
Live without regret. Choose without fear.
引用18楼 @ 发表的:
不能。
还是细说一下吧，假设箱内黑白球概率均等。3个球可能的情况为黑黑黑，黑黑白，黑白白，白白白。分别为1/8，3/8，3/8，1/8.
掏出一个，假设为黑，排除三白。猜一黑一白，正确概率为3/7。
白色同理。
条件概率……
oh完全忽略了，受教了！
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已知一随机发生器，产生0的概率是p，产生1的概率是1-p，现在要你构造一个发生器，使得它构造0和1的概率均为1/2；构造一个发生器，使得它构造1、2、3的概率均为1/3；...，构造一个发生器，使得它构造1、2、3、...n的概率均为1/n，要求复杂度最低；
没啥思路。
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首先是1/2的情况，我们一次性生成两个数值，如果是00或者11丢弃，否则留下，01为1，10为0，他们的概率都是p*(1-p)是相等的，所以等概率了
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本帖最后由 goldenfort 于
16:32 编辑
让这个发生器，&&发生2 次数：
有以下可能结果 （ 0， 0） （ 0， 1）（ 1，0） （1，1）
如果 产生&&（0， 1） 就算为0， 如果产生 （1，0） 就算为1。&&如果产生的是其它的，就放弃，重新发生。
3， 。。。。。。n 的结果， 可以类似产生
假设& & p&=0.5,& &&&以三为例子。
发生3回，&&我们只取&&有一回 1， 2回 0的情形。&&如果 1， 发生在第一回， 算1，&&发生在第2回，算 2， 第三回，算3.
4-n& &可以类推。
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然后是1/n的情况了，我们以5为例，此时我们取x=2，因为C(2x,x)=C(4,2)=6是比5大的最小的x，此时我们就是一次性生成4位二进制，把1出现个数不是2的都丢弃，这时候剩下六个:10,00，取最小的5个，即丢弃1100，那么我们对于前5个分别编号1到5，这时候他们的概率都是p*p*(1-p)*(1-p)相等了
关键是找那个最小的x，使得C(2x,x)&=n这样能提升查找效率
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我不知道“构造一个发生器”是什么意思？
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就是每次调用你你都生成一个1到n之间的数值，使得你生成这些数值出现都等概率
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富足长乐, 积分 5144, 距离下一级还需 2856 积分
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哦，就是像弄一个随机函数的样子，是吧。
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对，至少我是这么理解的
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小富即安, 积分 2555, 距离下一级还需 2445 积分
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daybreakcx
& & 这种问题，等价于&&有 n个球， 其中 n/2&&个是白球，&&n-n/2个是黑球。
要将 这n个球 排列起来， 问有几种不同的排列方式。
假设 有 k个 排列方式，&&则可以用n产生出&&〈=k的等概率随机发生器
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goldenfort
& & 那只是那个公式的一个解释，我之所以取C(2x,x)是为了让同样的序列长度下可用的资源尽量多，因为C(n,i)最大是在i接近n/2的地方取得，此时我有更大比率的序列用于生成，换句话说被抛掉的更少了，这样做是为了避免大量生成了丢弃序列而使得生成速率减慢，其它的没什么特别的意思。
实际上我之所以将x取定是为了让我取得的序列生成的概率互相相等，比如C(2x,x)的概率就是[p(1-p)]^x，互等的样例空间内保证了对应的每个值取得的样例等概率
PS：我真不明白你提取球干啥………………
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