数学分析证明题 求解_百度知道
数学分析证明题 求解
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+∞}1&#47,+∞)上的连续函数lim{α→0} I(α)=I(0)=∫{1;(1+x&#178;(1+x&#178;)dx是收敛的, +∞}1&#47，∴由魏尔斯特拉斯判别法得I(α)=∫{1;(1+x&#178;(1+x&#178，I(α)是α在(-∞, +∞}cos(α*x)&#47,+∞)内一致收敛再由一致收敛积分的连续性定理可知;(1+x&#178, +∞}=π/)而∫{1;)|≤1&#47，|cos(α*x)&#47,+∞)时;)dx=arctanx|{1;4=π/)dx关于α在(-∞;2-π&#47∵当α∈(-∞
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占海明，毕业于大连理工大学电气工程及其自动化专业。擅长MATLAB科学计算、数据处理和数学建模等，具有多年的MATLAB编程经验。大学期间曾获得了大连市高等数学竞赛全市特等奖，多次获得过国内国际数学建模比赛一等奖。
第1篇 入门篇
第1章 神经网络概述（ 教学视频：10分钟） 2
1.1 人工神经网络简介 2
1.2 神经网络的特点及应用 3
1.2.1 神经网络的特点 3
1.2.2 神经网络的应用 4
1.3 人工神经网络的发展历史 5
1.4 神经网络模型 7
1.5 神经网络的学习方式 9
第2章 MATLAB快速入门（ 教学视频：48分钟） 10
2.1 MATLAB功能及历史 10
2.1.1 MATLAB的功能和特点 10
2.1.2 MATLAB发展历史 12
2.2 MATLAB R2011b集成开发环境 13
2.2.1 MATLAB的安装 13
第1篇 入门篇
第1章 神经网络概述（ 教学视频：10分钟） 2
1.1 人工神经网络简介 2
1.2 神经网络的特点及应用 3
1.2.1 神经网络的特点 3
1.2.2 神经网络的应用 4
1.3 人工神经网络的发展历史 5
1.4 神经网络模型 7
1.5 神经网络的学习方式 9
第2章 MATLAB快速入门（ 教学视频：48分钟） 10
2.1 MATLAB功能及历史 10
2.1.1 MATLAB的功能和特点 10
2.1.2 MATLAB发展历史 12
2.2 MATLAB R2011b集成开发环境 13
2.2.1 MATLAB的安装 13
2.2.2 MATLAB集成开发环境 19
2.2.3 搜索路径设定 21
2.3 MATLAB语言基础 24
2.3.1 标识符与数组 24
2.3.2 数据类型 28
2.3.3 运算符 34
2.3.4 流程控制 37
2.3.5 M文件 41
第3章 MATLAB函数与神经网络工具箱（ 教学视频：62分钟） 45
3.1 MATLAB常用命令 45
3.2 矩阵生成和基本运算 52
3.2.1 zeros 生成全零矩阵 52
3.2.2 ones 生成全1矩阵 53
3.2.3 magic 生成魔方矩阵 53
3.2.4 eye 生成单位矩阵 54
3.2.5 rand 生成均匀分布随机数 54
3.2.6 randn 生成正态分布随机数 55
3.2.7 linspace 产生线性等分向量 56
3.2.8 logspace 产生对数等分向量 57
3.2.9 randperm 生成随机整数排列 58
3.2.10 randi 生成整数随机数 59
3.2.11 range 向量的最大/最小值之差 60
3.2.12 minmax求最大/最小值 60
3.2.13 min/max/mean求最大/最小值 61
3.2.14 size/length/numel/ndims 矩阵维度相关 62
3.2.15 sum/prod 求和或积 64
3.2.16 var/std 求方差与标准差 66
3.2.17 diag 生成对角矩阵 68
3.2.18 repmat 矩阵复制和平铺 69
3.2.19 reshape 矩阵变维 70
3.2.20 inv/pinv 矩阵求逆/求伪逆 71
3.2.21 rank/det 求矩阵的秩/行列式 73
3.2.22 eig 矩阵的特征值分解 73
3.2.23 svd 矩阵的奇异值分解 74
3.2.24 trace 求矩阵的迹 75
3.2.25 norm 求向量或矩阵的范数 76
3.3 数学函数 78
3.3.1 abs 求绝对值 78
3.3.2 exp/log 指数函数/对数函数 79
3.3.3 log10/log2 常用对数/以2为底的对数 79
3.3.4 fix/round/ceil/floor 取整函数 81
3.3.5 mod/rem 取模数/余数 81
3.4 图形相关函数 82
3.4.1 plot 绘制二维图像 82
3.4.2 坐标轴设置函数 83
3.4.3 subplot 同一窗口分区绘图 88
3.4.4 figure/hold 创建窗口/图形保持 88
3.4.5 semilogx/semilogy 单对数坐标图 89
3.4.6 contour/ clabel曲面等高线/等高线标签 90
3.4.7 gcf/gca/gco 返回当前图形/坐标/对象句柄 91
3.4.8 mesh 绘制三维网格图 92
3.5 神经网络工具箱 92
3.5.1 工具箱函数基本介绍 93
3.5.2 神经网络对象与属性 95
第2篇 原理篇
第4章 单层感知器（ 教学视频：27分钟） 104
4.1 单层感知器的结构 104
4.2 单层感知器的学习算法 105
4.3 感知器的局限性 108
4.4 单层感知器相关函数详解 108
4.4.1 newp――创建一个感知器 108
4.4.2 train――训练感知器网络 111
4.4.3 sim――对训练好的网络进行仿真 113
4.4.4 hardlim/hardlims――感知器传输函数 114
4.4.5 init――神经网络初始化函数 115
4.4.6 adapt――神经网络的自适应 117
4.4.7 mae――平均绝对误差性能函数 119
4.5 单层感知器应用实例――坐标点的二类模式分类 120
4.5.1 手算 120
4.5.2 使用工具箱函数 127
第5章 线性神经网络（ 教学视频：41分钟） 129
5.1 线性神经网络的结构 129
5.2 LMS学习算法 130
5.3 LMS算法中学习率的选择 132
5.3.1 确保网络稳定收敛的学习率 132
5.3.2 学习率逐渐下降 133
5.4 线性神经网络与感知器的对比 134
5.4.1 网络传输函数 134
5.4.2 学习算法 134
5.5 线性神经网络相关函数详解 134
5.5.1 newlind――设计一个线性层 135
5.5.2 newlin――构造一个线性层 136
5.5.3 purelin――线性传输函数 138
5.5.4 learnwh――LMS学习函数 138
5.5.5 maxlinlr――计算最大学习率 141
5.5.6 mse――均方误差性能函数 142
5.5.7 linearlayer――构造线性层的函数 143
5.6 线性神经网络应用实例 144
5.6.1 实现二值逻辑――与 144
5.6.2 实现二值逻辑――异或 151
第6章 BP神经网络（ 教学视频：49分钟） 156
6.1 BP神经网络的结构 156
6.2 BP网络的学习算法 158
6.2.1 最速下降法 158
6.2.2 最速下降BP法 159
6.2.3 串行和批量训练方式 162
6.2.4 最速下降BP法的改进 163
6.3 设计BP网络的方法 164
6.4 BP神经网络的局限性 166
6.5 BP网络相关函数详解 166
6.5.1 logsig――Log-Sigmoid传输函数 167
6.5.2 tansig――Tan-Sigmoid传输函数 168
6.5.3 newff――创建一个BP网络 169
6.5.4 feedforwardnet――创建一个BP网络 172
6.5.5 newcf――级联的前向神经网络 173
6.5.6 cascadeforwardnet――新版级联前向网络 174
6.5.7 newfftd――前馈输入延迟的BP网络 175
6.5.8 dlogsig/dtansig――Sigmoid函数的导数 176
6.6 BP神经网络应用实例 177
6.6.1 基于BP网络的性别识别 177
6.6.2 实现二值逻辑――异或 191
第7章 径向基函数网络（ 教学视频：62分钟） 196
7.1 径向基神经网络的两种结构 196
7.1.1 径向基函数 196
7.1.2 正则化网络 198
7.1.3 广义网络 199
7.2 径向基神经网络的学习算法 200
7.2.1 随机选取固定中心 200
7.2.2 自组织选取中心 201
7.2.3 有监督选取中心 202
7.2.4 正交最小二乘法 203
7.3 径向基神经网络与多层感知器的比较 204
7.4 概率神经网络 205
7.4.1 模式分类的贝叶斯决策理论 205
7.4.2 概率神经网络的结构 206
7.4.3 概率神经网络的优点 207
7.5 广义回归神经网络 208
7.5.1 广义回归神经网络的理论基础 208
7.5.2 广义回归神经网络的结构 209
7.6 径向基神经网络相关函数详解 210
7.6.1 newrb――设计一个径向基函数网络 210
7.6.2 newrbe――设计一个严格的径向基网络 212
7.6.3 radbas――径向基函数 213
7.6.4 dist――欧几里得距离权函数 215
7.6.5 netprod――乘积网络输入函数 215
7.6.6 dotprod――内积权函数 216
7.6.7 netsum――求和网络输入函数 217
7.6.8 newpnn――设计概率神经网络 217
7.6.9 compet――竞争性传输函数 218
7.6.10 ind2vec/vec2ind――向量-下标转换函数 220
7.6.11 newgrnn――设计广义回归神经网络 220
7.6.12 normprod――归一化点积权函数 221
7.7 径向基网络应用实例 222
7.7.1 异或问题 222
7.7.2 RBF网络曲线拟合 227
7.7.3 GRNN网络曲线拟合 234
7.7.4 PNN网络用于坐标点分类 237
第8章 自组织竞争神经网络（ 教学视频：52分钟） 243
8.1 竞争神经网络 243
8.2 竞争神经网络的学习算法 243
8.2.1 Kohonen学习规则 244
8.2.2 阈值学习规则 245
8.3 自组织特征映射网络 246
8.4 SOM的学习算法 247
8.5 学习矢量量化网络 249
8.5.1 LVQ1学习规则 250
8.5.2 LVQ2规则 250
8.6 自组织竞争网络相关函数详解 251
8.6.1 gridtop――网格拓扑函数 251
8.6.2 hextop――六边形拓扑函数 252
8.6.3 randtop――随机拓扑结构函数 253
8.6.4 tritop――三角拓扑函数 253
8.6.5 dist、boxdist、linkdist、mandist――距离函数 255
8.6.6 newc――竞争网络 258
8.6.7 competlayer――新版竞争网络函数 260
8.6.8 newsom――自组织特征映射网络 261
8.6.9 selforgmap――新版自组织映射网络函数 262
8.6.10 newlvq――学习矢量量化网络 265
8.6.11 lvqnet――新版学习矢量量化网络函数 267
8.6.12 mapminmax――归一化函数 268
8.7 自组织竞争神经网络应用实例 269
8.7.1 坐标点的分类（竞争神经网络） 269
8.7.2 坐标点的分类（自组织映射网络） 275
第9章 反馈神经网络（ 教学视频：51分钟） 278
9.1 离散Hopfield神经网络 278
9.1.1 Hopfield网络的结构 278
9.1.2 Hopfield网络的稳定性 279
9.1.3 设计离散Hopfield网络 282
9.2 连续Hopfield神经网络 284
9.3 Elman神经网络 285
9.4 盒中脑模型 286
9.5 反馈神经网络相关函数详解 288
9.5.1 newhop――生成一个离散Hopfield网络 289
9.5.2 satlin――饱和线性传递函数 290
9.5.3 satlins――对称饱和线性传递函数 291
9.5.4 nnt2hop――更新Hopfield网络 291
9.5.5 newelm――创建Elman反馈网络 292
9.5.6 elmannet――创建Elman反馈网络（新版本） 294
9.6 反馈神经网络应用实例 296
9.6.1 二维平面上的联想记忆网络 296
9.6.2 Elman股价预测 303
第10章 随机神经网络（ 教学视频：40分钟） 308
10.1 模拟退火算法 308
10.1.1 模拟退火算法的引出 308
10.1.2 退火算法的参数控制 310
10.2 Boltzmann机 311
10.2.1 Boltzmann机基本原理 312
10.2.2 Boltzmann机的学习规则 314
10.2.3 Boltzmann机的运行步骤 316
10.3 Sigmoid置信度网络 316
10.4 MATLAB模拟退火算法工具 317
10.4.1 MATLAB优化工具箱 318
10.4.2 模拟退火算法相关函数 322
10.5 模拟退火算法求解TSP问题 327
第11章 用GUI设计神经网络（ 教学视频：56分钟） 334
11.1 神经网络工具（nntool） 334
11.1.1 nntool界面介绍 334
11.1.2 使用nntool建立神经网络 337
11.2 神经网络分类/聚类工具（nctool） 340
11.3 神经网络拟合工具（nftool） 348
11.4 神经网络模式识别工具（nprtool） 353
11.5 神经网络时间序列工具（ntstool） 359
11.6 nntraintool与view 365
第3篇 实战篇
第12章 Simulink 368
12.1 Simulink中的神经网络模块 368
12.2 用gensim生成模块 371
12.2.1 相关函数介绍 371
12.2.2 gensim使用实例 374
第13章 神经网络应用实例（ 教学视频：96分钟） 377
13.1 BP神经网络实现图像压缩 377
13.1.1 问题背景 377
13.1.2 神经网络建模 378
13.1.3 神经网络压缩的实现 380
13.2 Elman网络预测上证股市开盘价 387
13.2.1 问题背景 387
13.2.2 神经网络建模 387
13.2.3 Elman网络预测股价的实现 388
13.3 径向基网络预测地下水位 395
13.3.1 问题背景 395
13.3.2 神经网络建模 395
13.3.3 径向基网络预测的实现 397
13.4 基于BP网络的个人信贷信用评估 402
13.4.1 问题背景 402
13.4.2 神经网络建模 402
13.4.3 个人信贷信用评估的实现 404
13.5 基于概率神经网络的手写体数字识别 411
13.5.1 问题背景 411
13.5.2 神经网络建模 412
13.5.3 手写体数字识别的实现 414
13.6 基于概率神经网络的柴油机故障诊断 420
13.6.1 问题背景 420
13.6.2 神经网络建模 421
13.6.3 柴油机故障诊断的实现 422
13.7 基于自组织特征映射网络的亚洲足球水平聚类 425
13.7.1 问题背景 426
13.7.2 神经网络建模 426
13.7.3 足球水平聚类的实现 428
高等数学是理、工科院校一门重要的基础学科，也是非数学专业理、工科专业学生的必修数学课，也是其他一些专业的必修课。作为一门科学，高等数学有其固有的特点，那就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。人类社会的进步与数学这门科学的广泛应用是分不开的。
　　本书由浅入深，全面、系统地介绍了MATLAB相关基础知识及其在高等数学问题求解中的应用。书中的每一章都提供了大量的实例程序，以方便读者进行练习和学习。每个实例都经过精挑细选，具有很强的针对性。本书既注重基础知识，又非常注重实践，读者可以快速上手并迅速提高。通过学习本书内容，读者不仅可以全面掌握高等数学的基本知识，还可以灵活地将MATLAB运用到该门课程中，从而提升工作效率。
　　1. 每章都提供配套的教学视频，学习起来高效、直观
　　为了便于读者高效、直观地学习本书中的内容，作者对每章的重点内容都特意制作了教学视频，这些视频和本书的实例源文件一起收录于配书DVD光盘中。
　　2．结构合理，内容全面、系统
高等数学是理、工科院校一门重要的基础学科，也是非数学专业理、工科专业学生的必修数学课，也是其他一些专业的必修课。作为一门科学，高等数学有其固有的特点，那就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。人类社会的进步与数学这门科学的广泛应用是分不开的。
　　由Mathworks公司发布的MATLAB软件功能强大，简单易学，并且对问题的描述和求解符合人们的思维方式和数学表达习惯，所以它已经成为高校教师、科研人员和工程技术人员的必学软件。使用MATLAB，可极大地提高人们的工作效率和质量。
　　本书由浅入深，全面、系统地介绍了MATLAB相关基础知识及其在高等数学问题求解中的应用。书中的每一章都提供了大量的实例程序，以方便读者进行练习和学习。每个实例都经过精挑细选，具有很强的针对性。本书既注重基础知识，又非常注重实践，读者可以快速上手并迅速提高。通过学习本书内容，读者不仅可以全面掌握高等数学的基本知识，还可以灵活地将MATLAB运用到该门课程中，从而提升工作效率。
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　　2．结构合理，内容全面、系统
　　本书首先介绍了MATLAB的一些基础知识，然后逐章介绍了MATLAB在高等数学问题求解中的具体应用。在内容的安排上，根据读者的学习习惯和内容的梯度合理安排，更加适合读者学习。
　　3．叙述详实，例程丰富
　　本书有详细的例程，每个例子都经过精挑细选，有很强的针对性。书中的程序都有完整的M文件代码，而且代码尽量采用函数M文件，这便于读者直接调用相关函数来解决自己的问题。
　　4．语言通俗，图文并茂
　　对于程序的运行结果，本书给出了大量的图片。本书不仅注重基础知识，而且非常注重实践，让读者快速上手，并且凡在笔者认为利用图形表示更能说明问题的地方，都利用MATLAB绘制出了相关的图形。
　　5．提供“在线交流，有问必答“网络互动答疑服务
　　国内最大的MATLAB&Simulink技术交流平台――MATLAB中文论坛联合本书作者和编辑，一起为您提供与本书相关的问题解答和MATLAB技术支持服务，让您获得最佳的阅读体验。具体参与方式请详细阅读本书封底的说明。
　　本书共15章，分两篇，各篇对应的章节和具体内容介绍如下。
　　第1篇包括第1～5章，主要介绍了MATLAB的一些基础知识，例如MATLAB桌面操作环境，MATLAB程序设计、MATLAB图形绘制、MATLAB数值运算与符号运算等。
　　第2篇包括第6～15章，介绍了MATLAB在高等数学问题求解中的具体应用。涵盖的内容有函数、极限与连续的MATLAB求解；导数与微分的MATLAB求解；级数的MATLAB求解；代数方程组的MATLAB求解；向量代数与空间解析几何的MATLAB求解；多元函数微分学的MATLAB求解；重积分的MATLAB求解；常微分方程的MATLAB求解；积分变换的MATLAB求解。
本书读者对象
* 高等院校理、工科专业的学生和老师；
* 高等数学的计算机求解爱好者；
* 数学建模爱好者；
* 各行业中用MATLAB求解数学问题的人员；
* 用MATLAB进行编程和开发的技术人员；
* MATLAB爱好者和研究人员。
　　笔者在此感谢父母、家人、同事及所有在本书写作过程中帮助过我的人！另外，本书编写过程中参考了一些优秀论文及matlabsky论坛上的一些资源，在此对相关作者也一并表示感谢！由于时间仓促，加之作者水平和经验所限，书中可能还存在一些疏漏甚至错误，恳请广大读者指正。
　　编著者
　　于上海　　
本书全面、系统地介绍了基于MATLAB的高等数学问题的求解。通过本书的学习，读者会有这样一种感觉：原来高等数学还可以这样学！本书包含了大量的实例及其MATLAB实现，通过对实例的研究会大大提升MATLAB的应用能力。
――MATLAB技术论坛
本书含有大量科研人员感兴趣的MATLAB应用技巧。它能带领初学者由浅入深，全面而系统地学习与运用此工具。读者阅读本书时可结合MATLAB中文论坛的在线交流平台，更能从多角度领会MATLAB的精髓。
――MATLAB中文论坛
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数学分析求极限的方法
求极限的方法具体方法⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1①：若极限limf(x)和limg(x)都存在，则函数f(x)?g(x)，f(x)?g(x)x?x0x?x当x?x0时也存在且①lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)x?0x?x0x?x.0②lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)x?x0x?x0x?x0又若limg(x)?0，则x?x0f(x)在x?x0时也存在，且有 g(x)f(x)limf(x) limg(x)?limg(x)x?x0x?x0x?x0利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如?0、等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中?0的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。例1：求limx?2?x2?4 x?2解：原式=limx?2??x?2??x?2??x?2lim?x?2??0x?2?⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用limx?0sinx?1来求极限 xlimx?0sinx?1的扩展形为： x令g?x??0，当x?x0或x??时，则有limx?x0sing?x?sing?x??1 ?1或limgxgxx??sinx
??x例2：limx??解：令t=??x.则sinx=sin(?? t)=sint, 且当x??时t?01故 limx??sinxsint?lim?1 ??xt?0t例3：求limx?1sinx2?1 x?1???x?1??sin?x2?1??sin?x2?1?解：原式=lim?lim?x?1???2 2x?1x?1x?1x?1x?11②利用lim(1?)?e来求极限 xx??limx??1(1?)?e的另一种形式为x11lim(1??)?e.事实上，令?????01.x?????0.所以x1e?lim(1?)x?lim(1??)??e xx????0例4: 求lim(1?2x)的极限x?01x解：原式=limx?011??22x2x?(1?2x)?(1?2x)??e ??利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 ⒊利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即f(x)~g(x).(x?x0). f(x)?1.称f(x)与g(x)是x?x0时的等价无穷小量，记作x?x0g(x)定理2②：设函数f(x),g(x),h(x)在u0(x0)内有定义，且有f(x)~g(x).(x?x0)① 若limf(x)g(x)?A,则limg(x)h(x)?Ax?x0x?x0② 若limx?x0x?x0h(x)h(x)?B,则lim?B f(x)x?x0g(x)g(x)?limf(x)h(x)?1?A?A f(x)x?x0证明：①limg(x)h(x)?limx?x0②可类似证明，在此就不在详细证明了！由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限2例5：求limx?0tanx?sinx的极限 3sinxsinx(1?cosx).而sinx~x,(x?0)； cosx解：由 tanx?sinx?x21?cosx~,（x?0）is；n2x3?x3~x3,（x?0）. 故有limx?0tanx?sinx= limsinx3x?0x2x?11?3? cosxx2注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量，如：由于limx?0sinxarctanx?1，故有sinx~x,(x?0).又由于lim?1,故有arctanx~x，xxx?0(x?0).另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中，若因有tanx~x，(x?0);sinx~x,(x?0).而推出
limx?0tanx?sinxx?x?0 则得到的结果是错误=lim3sinx3sinxx?0的。⒋ 利迫敛性来求极限定理3③：设limf(x)= limg(x)=A,且在某uo(x0,?')内有f(x)?h(x)?g(x),x?x0x?x0则limh(x)=Ax?x0?1?例6：求limx??的极限 ?x?x?0??1?解：?1?x??&1-x. 且lim(1?x)?1
由迫敛性知
?x?x?0??1??limx??=1 ?x?x?0?做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。⒌利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限包括：如函数f(x)在x0点连续，则limf(x)?f(x0)及若lim?(x)?ax?x0x?x0且f(u)在点a连续，则3limx?x0??f??(x)??f?lim?(x)? ?x?x0?1?cosx2例7：求lime2arcsinx的极限x?0解：由于limx?0211?cosx142arcsinx2x?02arcsinxu??及函数在处连续，故==e4。 e??fu?eelim2442arcsinxx?01?cosx1?cosx1⒍利用洛比达法则求函数的极限在前面的叙述中，我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限，在此笔者叙述一种牵涉到无穷小（大）量的比较的求极限的方法。我们把两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记作0?型或型的不定式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为0?洛比达法则。下面就给出不定式极限的求法。(1)对于0型不定式极限，可根据以下定理来求出函数的极限 0定理4④：若函数f(x)和函数g(x)满足：①limf(x)=limg(x)=0。x?x0x?x0②在点x0的某空心邻域u0(x0)内两者都可导，且g'(x)?0③limx?x0f'(x)=A。（A可为实数，也可为??或?） g'(x)则limx?x0f(x)f'(x)=lim=A。 g(x)x?x0g'(x)注：此定理的证明可利用柯西中值定理，在此，笔者就不一一赘述了。例8：求limx??1?cosx tan2x解：容易检验f(x)=1+cosx与g(x)=tan2x在x0??的邻域里满足定理的条件①和②，又因lim?x??sinxcos3x1f'(x)? =lim= -lim222g'(x)x??2tanxsecxx??故由洛比达法则求得，limx?x0f(x)f'(x)1=lim= g(x)x?x0g'(x)24在此类题目中，如果limx?x00f'(x)仍是型的不定式极限，只要有可能，我们可再次利用洛比达法则，0g'(x)即考察极限limx?x0f'(x)是否存在。当然，这是f'(x)和g'(x)在x0的某邻域内必须满足上述定理的条件。 g'(x)x12例9：求limx?0e?(1?2x) ln(1?x2)解：利用ln(1?x2)~x2 （x?0），则得原式=limx?0e?(1?2x)e?(1?2x)=lim2xx2x?0x12x?12=limx?0e?(1?2x)2x?32?2?1 2在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换，如下例， 例10：求limx?0?x1?ex 解：这是0型不定式极限，可直接运用洛比达法则求解，但是比较麻烦。如作适当的变换，计算上就会0更方便些，故 令t?x,当x?0?时有t?0?，于是有limx?0?x1?e=limt?0?t1???1 t??e1?etlimt?0(2)?型不定式极限 ?若满足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限。定理5⑤：若函数f(x)和函数g(x)满足：①limf(x)=limg(x)=?x?x0?x?x0?②在点x0的某空心邻域u0?(x0)内两者都可导，且g'(x)?0③lim则limf'(x)=A，（A可为实数，也可为??或?）。 g'(x)f(x)f'(x)=lim=A。 g(x)x?x0?g'(x)x?x0?x?x0?此定理可用柯西中值定理来证明，在此，笔者就不一一赘述了。例11：求limlnx xx???解：由定理4得，5lnx(lnx)'l???0 limlimlim'x???xx???(x)x???x注1：若limx?x0f(x)f'(x)不存在，并不能说明lim不存在。 g'(x)x?x0g(x)注2：不能对任何比式极限都按洛比达法则来求解。首先必须注意它是不是不定式极限；其次是观察它是否满足洛比达法则的其它条件。下面这个简单的极限limx??x?sinx=1
x虽然是?型的，但若不顾条件随便使用洛比达法则： ?limx??x?sinx1?cosx=lim就会因右式的极限不存在而推出原式的极限不存在这个错误的结x1x??论。(3)其它类型不定式极限不定式极限还有0??，1?，00，?0，???等类型。这些类型经过简单的变换，都可以化为?型的不定式极限。 ?例12：求limxlnx 0型0和x?0?解：这是一个1?型的不定式极限，作恒等变形xlnx=lnx?，将它转化为型的不定式极限，并用洛比达1?x法则得到
limx?0?xlnx=limx?0?1x2lnx=1limx?0?x1=(?x)?0 ?1lim?x?02x例13：求lim(cosx)x?0解：这是一个1?型的不定式极限，作恒等变形(cosx)=e其指数部分的极限limx?01x21x2lncosx 0?tanx111lncosxlncosx?是型的不定式极限，可先求得== limlim2202x2xx?0xx?06从而得lim(cosx)=ex?01x2?12例14: 求lim(sinx)x?0?k1?lnx（k为常数）?型的极限， ?解：这是一个00型的不定式极限，按上例变形的方法，先求klnsinx?lim1?lnxx?0?k1?lnxlimx?0?kcosxx=kcosx?=k lim1?sinxx?0x=ek（k?0） 然后得到
lim(sinx)x?0?当k=0时上面的结果仍成立。例15: 求lim(x??x)2x???1lnx?型） ?解：这是一个?0型的不定式极限，类似地，先求其对数的极限（1limx???ln(x??x2)=limlnxx???1lnx?x=1 1x于是有lim(x??x2)x???=e⒎利用泰勒公式求极限由于泰勒公式的特殊形式，对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用。例16：求limx?0cosx?ex4?x22解：本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为x4，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，（取n=4） x2x4cosx=1-++o(x5) 224e?x22x2x4?o(x5) =1-+287cosx-e?x22x4?o(x5) =-12?x2214x?o(x5)cosx?e1因而求得lim=??limx412 x4x?0x?0⒏利用微分中值定理和积分中值定理求极限 ?例17：求limx?02x?2sinxx3的极限xsinxxsinx2?22?2x?sinx??解：? 33x?sinxxx由微分中值定理得，2x?2sinx?2?ln2x?sinx （?介于x与sinx之间）原式=limx?02x?2sinxx?sinx1?cosxln2? ?lim?2ln2??limlim32x?sinxx?06x3x??0x?0??例18：求limx?02x?2sinxx3的极限xsinxxsinx2?22?2x?sinx??解：? 33x?sinxxx由微分中值定理得，2x?2sinx?2?ln2x?sinx （?介于x与sinx之间）原式=limx?02x?2sinxx?sinx1?cosxln2? ?lim?2ln2??limlim32x?sinxx?06x3x??0x?0??⒐利用定积分求极限例19：求limn??(111???)n?1n?22n解：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算计算定积分，为此作如下变形： J?limn??1? ?ini?11?n1在区间?0,1?上的一个积分和。（这里所取的是等分分割，1?x8 n1不难看出，其中的和式是函数发f(x)??xi?1i?i?1i?i?1.2.??????n., ?i???）， 所以 ,?（nn?nn?11dxJ???ln(1?x)??ln2 01?x01当然，也可把J看作f(x)? 在?1,2?上的定积分，同样有 x2dx3dxJ????????????ln2 1x2x?1总结以上方法是在高等数学里求解极限的重要方法。在做求解极限的题目时，仅仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的，必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法。这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。这就要求学习者要吃透其精髓，明了其道理，体会出做题的窍门。达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时得心应手。
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