& 关于微积分中极限内容教学的思考
关于微积分中极限内容教学的思考
摘 要：文章阐述极限的实际应用在微积分教学中的重要性,通过实际例子充分展现极限在现实世界中的应用,注重提高学生对微积分学习的重要性的认识,从而提高学生的学习兴趣和学习积极性。
【题　名】关于微积分中极限内容教学的思考
【作　者】杨昕
【机　构】广西财经学院国际教育中心 广西南宁530003
【刊　名】《百色学院学报》2011年 第3期 68-70页　共3页
【关键词】微积分 极限 实际应用 学习兴趣
【文　摘】文章阐述极限的实际应用在微积分教学中的重要性,通过实际例子充分展现极限在现实世界中的应用,注重提高学生对微积分学习的重要性的认识,从而提高学生的学习兴趣和学习积极性。
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微积分,极限,实际应用,学习兴趣
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从AP微积分考核的四大内容讲解极限
来源：新东方网
作者：祁恩云
　　《庄子》中有一句名言：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”这是最早的极限思维，截取量无限接近0，但又永远不会等于零。所以极限不是一个确定的数，是无限趋近这个确定的数。微积分以函数为研究对象，以极限思维为基本研究方法，极限的思想贯穿整个微积分学始终。以极限方法研究变化率(如：速度、加速度)问题而建立了微分学;以极限方法研究微小量的累积求和问题(如：面积、体积)建立了积分学;微积分的基本原理揭示了导数和积分的内在联系;无穷级数的收敛或发散要由极限来判断。极限无处不在，引领着微积分在我们的生活和科学等各领域发挥着重要作用。
　　下面我们从AP微积分考核的四个方面内容来看极限在其中的表现。
　　1. 极限和函数的连续：
　　函数在某一点存在极限的充要条件是左极限与右极限均存在且相等。
　　?可用极限判断函数是否存在渐近线(竖直渐近线、水平渐近线)：由此分析函数的基本特征。?用极限来定义函数在某点的连续性：
　　?夹挤定理、中间值定理、极值定理都是极限概念的延展。
　　2. 导数、微分及应用
　　对瞬时变化率问题如速度、加速度等的研究产生了导数。
　　-其几何意义是函数f(x)在a点的斜率。
　　?由此可讨论连续函数的增减性、弯凸性、确定函数极值、相关变化率。
　　?并可由导数定义式给出所有函数的求导公式。
　　3、定积分、不定积分及应用
　　对非常规图形面积的计算的要求产生了定积分。
　　“分割、近似求和(黎曼和)、取极限(定积分)”是定积分的核心思想。
　　?由此可计算面积、旋转体体积、弧长、平均值，
　　4、多项式近似和无穷级数
　　无穷级数是微积分学的重要组成部分，涉及极限、微分和积分的内容。级数收敛、发散的定义：
　　上述内容，尤其是微积分的运算和应用，所有微积分公式都来自极限。但当我们掌握并能熟练应用这些公式后，由于极限的身影很少出现，故往往会忽视这些公式的起源。从上面微积分内容介绍，我们可看到极限无处不在，极限的概念就是微积分的核心思想。
　　新东方祁恩云：从事多年大学物理教学工作，加拿大阿尔伯塔大学访问学者，合作研究激光光谱用于物质识别项目。2006年后专注于北美数理课程教学，受邀于温哥华著名教育中心--温哥华功力数理学院(Vancouver
Power Math and Science
Academy，Canada)任数学、物理教师。目前已有多年加拿大“数学、物理、微积分”等中学、大学课程、美国大学理事会标准化考试SAT2和AP课程的丰富教学经验，熟悉北美数理教育。2011年回国后，将国外的教学经验融入中国教育，发挥中国学生的优势，弥补中美两国教育差距，能使中国学生用最短的时间备考美国标准化考试SAT2和AP。祁老师也可为准备考试的学生提供申请大学咨询及拟定学习计划的教育咨询。
(责任编辑：许爽)
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导数，斜率，速度与变化率 Derivatives.slope.velocity.rate.of.change
[第2课]极限和连续
极限，连续和三角函数 Limits.continuity.Trigonometric.limits
导数，商数，正弦和余弦 Derivatives.of.products.quotients.sine.cosine
链式法则和高阶微分 Chain.rule.Higher.derivatives
隐函数微分 Implicit.differentiation,.inverses
指数,log,对数微分;双曲函数 Exponential.and.log.Logarithmic..hyperbolic.functions
扩展和复习 Continuation.and.Review
线性二次逼近 Linear.and.quadratic.approximations
曲线构图 Curve.sketching
极值问题 Max-min.problems
相关变率 Related.rates
牛顿迭代法及应用 Newton's.method.and.other.applications
微分中值定理与不等式 Mean.value..Inequalities
微分,不定积分 Differentials,.antiderivatives
微分方程和分离变量 Differential.equations,.separation.of.variables
定积分 Definite.integrals
微积分基本定理
介绍了微积分课程中最重要的定理——微积分基本定理的形式2。仅用一点板书，就证明了这个牛顿和莱布尼茨费尽心思才发现的“上帝秘密”最后以几个简单的例子，给大家以最直观的理解并且引入了“超越函数”
在介绍了微积分基本定理的两个形式之后紧接着就是定理的应用了利用此定理，来探究一些函数的性质，让学生豁然开朗尤其是在对数函数上的应用，从前的性质竟然变得如此显然
壳层体积与平均值 Volumes.by.disks.and.shells
工作，平均值，概率 Work,.average.value,.probability
数值积分 Numerical.integration
数学永远不是读懂的，只有通过练习才能更好地理解数学概念和方法的本质。同样，只看视频不做题也不会收获很多。这节课上，教授总结了前一段时间的内容，带领同学们计算了几个例子。如果你之前半懂不懂，那更不能错过这节复习课了！
三角代换 Trigonometric.integrals.and.substitution
返向代换积分 Integration.by.inverse..completing.the.square.use
有理函数是一大类函数。如果对于它们，我们也不能解析地写出原函数的话，那绝对是令人沮丧的。但是，上帝还是不忍心让数学家们失望的。这节课上，教授告诉我们。如何才能合理地来处理这一大类函数。
不是所有函数都能解析地写出原函数。对于那些有可能写出来的函数，也需要一定的积分技巧才能随心所欲。分部积分正是很重要的一种积分技巧。通过它，我们甚至可以得到某类型函数的原函数，这是利用了导出的公式——换算公式。
积分的概念来源于实际的应用。对一个函数积分可以理解为求曲线下的面积，但积分的作用不仅仅如此。有了积分，我们就可以去计算曲线的弧长，可以去求区域的面积，
也可以去计算很多物理问题。难怪微积分被誉为牛顿一生最伟大的发现。
直角坐标是常用的坐标法，但是对于一些特别的问题，在直角坐标系下处理就显得有点笨拙了。这个时候，我们不妨试试极坐标。它可以使得问题变得出乎意料地简洁，
也能让问题直观地清晰起来。数学嘛，直观起来的话，也是蛮可爱动人的。
学习离不开预习和复习，对于考试前的日子，同学们一定都是在复习中度过的。MIT也是学校，有学校的地方就有考试。这节课上，教授回顾了过去几节课的内容。包括几个积分技巧和积分的应用。所谓“温故而知新”嘛，看看也是有收获的啦！
尽管之前学习过如何处理极限了，但是对于一些特殊情形的极限问题，过去的方法显得有点苍白。在先前课程的内容铺垫下，我们终于可以处理一些不定型的极限问题了，其中包括“0/0”型、“∞/∞”型。这一切都是通过“洛必达法则”实现的。从此，我们甚至能够判断“∞的大小”。
过去我们学习了有限区间上的积分，但对于无穷的情况和区间上有奇点的情况，看上去仍然无法理解。这节课上，教授不仅定义了两种反常积分——无穷积分和瑕积分，甚至还算出了几个神奇的例子。看上去，反常积分还是略显有趣的。
你是否考虑过这样的情况，龟兔赛跑中的乌龟若要赶上兔子，就必须先到达一半的距离，接着还要通过一半距离的一半...如此下去，似乎看上去乌龟永远也无法赶上兔子。但现实证明，乌龟是能够做到的！这个看似有点诡异的问题，在数学面前，神秘荡然无存。学习了本课之后，掌握了无穷级数的概念和其收敛性的判定准则，你就能破解以上谜题了。
三角函数的历史起源是几何，但是，大师欧拉用分析的办法，得到了正弦函数、余弦函数的又一个定义方法——无穷级数和。课上，教授向我们讲解了如何把某类函数展开成为一个无穷级数，所用的办法证实大名鼎鼎的“泰勒公式”。毫无疑问，通过本课的学习，你将感受到分析的强大威力。
教授度假去了，请来了代课教授。代课教授带领同学们回顾了过去的内容，并重点再次讲解了上节课的“泰勒展开”。更重要的是，他为后续课程——多变量微积分（我们已经翻译并发布完毕）做了一段广告，看上去内容很是丰满。最后，黑板上出现了Jerison教授送给大家的一首小诗。自此，本课程完美落幕。
学校：麻省理工学院
讲师：Prof. David Jerison
授课语言：英文
类型：数学 国际名校公开课
课程简介：本微积分课程内容包括介绍一元函数的微分、积分和应用。
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关于微积分极限思想的具体教学探讨
极限理论是微积分的基础.极限概念在微积分中占有极其重要的地位和作用,该思想贯穿整个微积分的始终.微积分极限概念教学是非常重要的.学生对极限部分实质掌握,影响随后的其它概念和理论的掌握与理解.极限理论也是学生学习的一个难点,对该部分的教学探讨有助于学生掌握极限理论培养数学思维.
作者单位：
台州学院数学与信息工程学院,浙江临海,317000
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