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几何光学期末复习 (1)
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浙大光学工程研究生入学考试部分复试题目
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浙大光学工程研究生入学考试部分复试题目
官方公共微信&>&&>&更高更妙的物理：专题24几何光学问题集成
更高更妙的物理：专题24几何光学问题集成 12562字 投稿：戴赃资
会前提示：各位伙伴，我们的会议马上就要开始了，因为本次会议人数较多，请各单位在工作人员的提示下按指定的位置就座，请获电脑奖励的各位精英按指定的位置就座并请佩戴好大红花；，请表演节目的单位或个人提前将光碟交音效室并排队；为了保证会场秩序，请各位将手机关…
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几何光学问题集成
几何光学是在把光的传播抽象成光线模型并认定光的下述两条基本性质的基础上建立
起来的一门学问。光的第一条基本性质：光总是沿着光程为极值的路径传播—在均匀介质里沿直线传播，因为给定两点间直线路径最短；在不均匀的介质中，光沿着所有可能的光程中有最小、最大或稳定的光程的路径传播，即遵从费马原理。光的另一条基本性质：独立传播原理—不同方向的光线相交时互不扰乱，不会改变每束光的颜色、强弱与传播方向。
在均匀介质中光程l表示光的几何路程s与物质的折射率n的乘积：l?ns。在不均匀介质中，取元光程?l?ni??s，总光程为l?limN???n??s。本专题我们将通过几个特例说i
明费马原理的正确性，并以费马原理为基础，给出各种反射与折射光具的物像公式。
在两种均匀介质的平面界面上，光发生反射时，遵守反射定律的
光程为最小，这是很容易证明的；在如图所示旋转椭球形的凹面上的
反射，是光程为稳定值的情形：若光从椭球的一个焦点F1射出，则在
镜面上任一点P反射后都要落在第二个焦点F2上，根据椭球的几何性
2na；若有如图所示与椭质，若半长轴为a，可知光程F1PF2总等于
球面相切于P的镜面aa?（其余部分都在椭球面内），光线F1PF2也是
被镜面aa?反射的光线，且遵守反射定律，其光程F1PF2总比另外的
不遵守反射定律的光程、例如图中F1P?F2大，即当光线在镜面aa?上
反射时，遵守反射定律的光程为最大；又若有如图所示与椭球面相切
于P的镜面bb?（其余部分都在椭球面外），光线F1PF2亦是被镜面
bb?反射且遵守反射定律的光线，其光程F1PF2总比另外的不遵守
反射定律的光程、例如图中F1P??F2小，即当光线在镜面bb?上反射
时，遵守反射定律的光程为最小。
当光线在两种均匀介质的界面上发生折射时，光程也遵守费马
原理，如图，aa?为折射率各是n1、n2的两种介质的界面，入射光
线AO在O点折射后的折射光线为OB，对给定的两点A、B，光
程AOB为l?n1?AO?n2?OB；由图得
BO?x?y?k，
根据费马原理，这方程应取极值，即①式的一阶导数应该等于零：
n1?0， 即n1sini?n2sinr，这就是折射定律，可见，满足极值条件的光程也满足折射定律。
【例1】某行星上大气的折射率随着行星表面的高度h按照n?n0?ah的规律而减小，行星的半径为R，行星表面某一高度h0处有光波道，它始终在恒定高度，光线沿光波道环绕行
星传播，试求高度h0。
【分析与解】在专题13“小试身手”中，读者根据光波的惠更斯原理，
已求解过这个圆形光波道高度问题，这里，我们依据费马原理换角度求解。
如图，设光线在X行星表面高h
0处沿圆周绕行星一周，则其光程为
l?n?2?r，式中n?n0?ah，r?R?h0。由费马原理可知，光是沿着光程为极值的路径传播的，所设光线路径实际存在的特定条件是其光程为极值，故只须求出使l取极值时的h0即可：
2?n0(?h0)?(R?h0)。 aa
上式中0?h0?0R?h0?0，且0?h0?R?h0?0?R为定值，故当aaa
n01n?h0?R?h0时，光程有最大值。由此可见，在h0?(0?R)处，存在光的圆折射路a2al?2?(n0?ah0)?(R?h0)?
根据费马原理，可以确定光线在各种具体情况下的传播方向，从而可以用来研究光在平面和球面系统中的反射或折射成像问题。发光点形成发散光束，具有一个顶点的光束被称为单心光束，顶点被我们称为物点，单心光束通过光具反射或折射后若仍为单心光束，则将这被作用后的光束的顶点称为像点，其中，被光具作用后的单心光束实际会聚的顶点，称为实像点，而相反的情况—被光具作用后的单心光束发散，即经反射或折射后的光线反向延长线通过的顶点，则该顶点称为虚像点。几何光学主要研究各种成像规律，关注像如何准确地反映发光物体形状，也就是怎样保持光束单心性的问题。
平面镜成像与球面镜成像均属反射成像情
况。平面镜成像特点是不改变光束的敛散性，即
若入射光束为单心发散光束（实物），反射光束必
为单心发散光束（虚像）；反之，若入射光束为单
心会聚光束（虚物），反射光束必为单心会聚光束
（实像），故平面镜是一个最简单的能成完善像的
光学系统。球面反射会破坏光束的单心性，我们
通常考虑近轴光线条件下的球面反射。如图所示，反射镜面AOB是球面的一部分，C为球面曲率中心，F为焦点，O为球面顶点，C、O所在直线为主轴，物点S距主轴y，物距OP?u，单心光束经O1、O间球面反射后会聚于S?，S?即为像点，像点距主轴y?，像距OQ?v。认根据费马原理可以推论，任一发光点所发光束经球面反射或折射后能成像于一点的条件是，从物点到达像点的所有光线的光程都相等，在图所示情况中，从S发出的任一光线—例如SO1S?的光程为
l?SO1?O1S??
在近轴光线的条件下，与反射面所在球半径r相比，y、y?、x、h以及入射角i、反
?射角i?都是小量，图中法线CO1与主轴所夹角?亦为小量，且有x?h??h?。22r2r?
利用二项式定理对②式展开并略去小量高次项得
(y?h)2(y??h)2
。 l?(u?x)??(v?x)?2(u?x)2(v?x)
上式中第2项
(y?h)2(y?h)2(y?h)2x(y?h)2h2(y?h)2
??(1?)?(1?)?； 2(u?x)2u(1?x)2uu2u2ru2u
同理，第4项
(y??h)2(y??h)2
(y?h)2(y??h)2y2y?2yy?h211l?(u?x)??(v?x)??u?v???h(?)?(?)?2x2u2v2u2vuv2uv
y2y?2yy?h2112 =u?v???h(?)?(??)2u2vuv2uvr
要使所有从物点S发出的光线到达像点S?光程都相等，必须满足l与h无关这样一个条件，即上式中含有h、h?的各项应等于零，故有
112???0； uvr
r在近轴光线条件下焦距f?，故有 2
此即近轴光线条件下球面反射的成像公式，式中u、v、f均以“?”“?”表示实与虚。③式体现了近轴光线条件下球面反射成像的理想性亦即物与像的几何相似性，放大率
近轴光线条件下球面反射成像规律如下表，表中u、v、f只指代表物距、像距与焦距k?大小：
棱镜、透镜等均属折射光具。
光在两种介质的平面分界面上折射时，除平行光束仍为平行光束
外，单心光束将被破坏其单心性，仅当单心光束中各条光线几乎垂直
于界面时，被平面界面折射后的光束才几乎保持为单心。考虑近轴（界
面法线）光线条件下的平面折射，如图，aa?为两种介质（折射率
n1?n2）的界面，设物点P距界面H，从P作正入射光线（入射角
为0）与一条近轴光线（入射角i很小），前者折射后方向不变仍垂直
于界面，后者改变方向，折射角为r，两折射光线的反向延长交于P?，
此即P的虚像，设其距界面h，由图中几何关系知：H?tani?h?tanr?h?
在近轴光线条件下，taniH，tanrntanisinin2??，故h?2H。这里像与界面的距离h被称为像似tanrsinrn1n1
深度，当折射光所在介质折射率n2小于入射光所在介质折射率n1时，h?H，譬如在水面上沿着竖直方向看水中物体，所见像较清晰，且所见“物体”上升了，所谓“水清池浅”是也；当折射光所在介质折射率n2大于入射光所在介质折射率n1时，h?H，我们通过大气层所见中天之日，其位置比太阳的实际位置高正属此种情况。
【例2】某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜中他自己眼睛的像。他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起。若凸面镜的焦距为10cm，眼睛与凸面镜顶点的距离为40cm，问玻璃板距观察者眼睛的距离为多少？
【分析与解】观察者通过薄玻璃板看到的像是物（眼睛）S发出的光通过平面反射而成的等大虚像S1，若设玻璃板距观察者眼睛的距离为x，则S1到玻璃板的距离也是x，玻璃板面同时还对物S发出的光折射而成一虚像S2，它的位置与物S在同一侧，距离薄玻璃板nx；被玻璃板折射后入射到凸面镜上的光束就如同来自S2，故对凸面镜而言，S2是它的物，经凸面镜反射成一缩小虚像S?，根据题意S?与S1重合，故位于距玻璃板x处，成像光路如图所示。
由上分析，运用球面镜物像公式，有
111???， (n?1)x?402x?4010
取玻璃的折射串为1.5，可得
x?24.2cm。
【例3】如图所示，介质在一定区域x?0、y?0内的折射率随着y的
变化而连续变化。一束细光束沿x方向垂直入射到介质表面，并沿着一
个半径为R的圆弧路径穿过介质，求折射率n随y变化的规律。如果
y?0时折射率n0?1，已知的材料中最大折射率（金刚石折射率）不
超过2.5，圆弧所对应的圆心角最大可能达多少？
【分析与解】我们先看一下光穿过几个互相平行的、折射率不同的
介质区的情况，如图所示，光以入射角?从折射率为n0的介质进入
折射率为n1的介质中，折射角为r1，由折射定律，sin?n1?，即sinr1n0
n0sin??n1sinr1，同样的方法可得n1sinr1?n2sinr2，??????即
与各介质区厚度及个数无关。n0sin??n1sinr1????nisinri?常数，
这个规律可以运用到折射率连续变化的不均匀介质中。
如图所示，我们将题给介质区域分成与x轴平行的N薄层
（N??），各层的折射率n(y)可视为不变，x轴上方y处的
第i层的折射率为ni，光在该薄层轨迹为极小一段圆弧（可视作
直线），进入该薄层的光束折射角为ri，射出该薄层的光束折射
角变为ri?1。由于初始细光束沿x方向垂直入射到介质表面，故
0，由图所示几何关系ni
nRn0，此即所求折射率n随y变化的规可知，y?R?Rsinri?R(1?0)，则n(y)?R?yni有n0sin90?nisinri，那么，sinri
如果y?0时折射率n0?1，已知的具有最大折射串的材料其折射率不超过2.5，这是
能使折射光束对应的圆心角达到最大的折射率极限，取sinrmax?
的最大圆心角可达??90?arcsin0n012??，则相应nmax2.552?66.40。 5
在棱镜中光线入射与出射的两个平面界面互不平行，我们来
探讨三棱镜对光路控制的一些特殊规律。如图所示为一块放在空
气中、折射率为n的三棱镜的主截面，该图中AB、AC在两个
折射面上，A为折射棱角，当单色光束通过棱镜时，将连续两次
折射，出射线与入射线间夹角?称为偏向角，它反映三棱镜改变
光传播方向的程度。由图所示几何关系知，??(i?r)?(i??r?)，
而r?r??A，故??i?i??A。由此式可知，若三棱镜折射棱角
确定，入射角i变化时，出射光线偏向角将随之改变，其中，当i?i?，
即光线对称地进出三棱镜时，偏向角?有最小值?min?2i?A。若
三棱镜折射棱角A很小，当光垂直于一个折射面射入，如图所示，
00即i?0时，r?0，r??A，则r??nA，由??i?i??A可得：
??(n?1)A。
【例4】通常用阿贝数v?(nD?1)(nF?nC)来表示光学材料的色散特性，其中nD、nC、nF分别表示材料对单色光D及单色光C及F的折射率。一束白光照射到一顶角A?60，冕牌玻璃（nD?1.500，nC?1.495，v?40）棱镜上，使单色光D在棱镜中的传播方向垂直于角A的平分面。求从棱镜射出的单色光C和F之间的夹角。
【分析与解】根据题给条件，白光以入射角i进入棱镜后，单色
光D对称地进出三棱镜，偏向角?有最小值?min?2i?A；单
色光C的偏向角小于2i?A；单色光F的折射率nF?1.5075，
偏向角大于2i?A。做出D通过三棱镜的光路如图，由图可得0
Asini?300，由折射定律nD?可知白光中各单色光2sinr
??A，的入射角均为i?arcsin(nDsinr)?arcsin0.750，单色光C的偏向角?C?i?iC单色
??A，那么从棱镜射出的单色光C和F之间的夹角光F的偏向角?F?i?iF
??siniCsiniFsinisini??iC?，由折射定律nF?，nC?，得
???F??C?iFsin(A?rF)sinrFsin(A?rC)sinrCr?r??
??sinsiniFcosA?sini?1?0.750?0.7575， 22
??49.240；
1?0.750?0.74496， 2
0??49.16； iC??sinsiniCcosA?sini?
于是得?F??C?1.080，入射白光经三棱镜的折射发生色散而使折射率不同的C光与F光射出棱镜后的传播方向有约10的张角。
现在来讨论近轴物在近轴光线条件下的球面折射，如图所示，球面AOB为n1、n2两不同折射率的介质的分界面，C为球面曲率中心，O为折射球面中心，C、O在主轴上，物点P距主轴y，物距OP??s（根据笛卡儿符号法则，与光传播方向一致的长度取正，相反的长度取负），单心光束经O1O间球面折射后会聚于P?，P?即为像点，像点距主轴?y?（“?”表示像在主轴下方），像距OP??
s?。根据费马原理，任一发光点所发光束经球面折
射后能成像于一点的条件是，从物点到达像点的所有光线的光程都相等，在图所示情况中，从P发出的任一近轴光线—例如PO1P?的方程为
l?n1?PO1?n2?O1P??nn
① 在近轴光线的条件下，与球半径R相比，y、y、x、h以及入射角i、折射角r都是
?小量，且有sini?i，sinr?r，x?h??h?，利用二项式定理对①式展开并22R2R?
略去小量高次项得
(y?h)2(?y??h)2
l?n1(?s?x)?n1?n2(s??x)?n22s2s? 222nyny?nyny?hnnnn ??n1s?n2s??1?2?h(1?2)?(?1?2?1?2)2s2s?ss?2ss?RR
要使所有从物点P发出的光线到达像点P?光程都相等，必须满足l与h无关这样一个
2条件，即上式中含有h、h的各项应等于零，故有
yy?n1?n2?0，
n2n1n2?n1??。
平行于主轴在n1介质方的入射光线折射后与主轴的交点称为像方焦点F2，O点与其距
n2n1离即像方焦距f2，以s??代入③式即得f2?对称地，物方焦距f1?R，R；n2?n1n1?n2
将此二式代入③式可得
n2n1nff???1?1?2?1。 s?sf1ss?
此即近轴光线条件下球面折射的物像公式，称为高斯公式。由图可知y?s?i，
iny?ns?y??s??r，在近轴光线条件下，?2，则???1?，这正是②式所表示的像关于rn1yn2s
物的横向放大率。
透镜成像是两个折射面对光线作用的结果。设如图所示的透镜材料折射率为n，物方介
质折射率为n1、球面曲率半径为R1；像方介质折射率为n2、球面曲率半径为?R2，透镜厚度OO?设为d，物点P在主轴上，物距OP??s，P发出的近轴光线经球面AOB一次折射所成像P??在主轴上，像距OP???s??（这时假设球面AO?B不存在且球面AOB右边被折
射率为n的介质充满），由球面折射的物像公式：
④ ??s??sR1
再考虑光线经球面AO?B的二次折射，对该面而言，P??是入射光延长后的会聚点，即
OB?折射所成像P?仍在主轴上，为虚物，物距为(s???d)，经A像距O?P??s?，对球面AO?B
s?(s???d)R2
在薄透镜的情况下，d?0，由④、⑤两式消去s??得
n2n1n?n1n2?n。 ???s?sR1R2
1n?n1n2?n这就是薄透镜成像的普适公式，若以物方焦距??，像方焦距?f1n1R1n1R2
ff1n?n1n2?n代入薄透镜成像的普适公式，亦可得高斯物像公式：1?2?1。进??ss?f2n2R1n2R2
1111而若将薄透镜置于空气中，n1?n2?1，焦距?，则有??(n?1))f1f2R1R2
1111111????。我们较熟悉的用几何方法推导出的薄透镜成像公式??与该式vufs?sf1f2
111相比，薄透镜成像公式??中的u、v、f可正可负，“正实负虚”，高斯物像公式中vuf
s、s?、f只用正值，而加正、负号表示与光传播方向的一致或相反，例如物方焦距是?f1，因为定义为从折射球面顶点算起到焦点的长度与入射光的方向是相反的。
【例5】如图所示，一玻璃半球的曲率半径为R，折射率
n?1.5，其平面的一边镀银。一物高为h，放在曲面顶点
前2R处。求：⑴由球面所成的第一个像的位置；⑵这一光
具组的最后一个像在哪里？
【分析与解】发光物体经球面折射所成的第一个像可运用球
面折射的高斯公式：f1f2??1，其中物方焦距ss?
nn；像方焦距f2?f1?0R??2RR?3R，则有n?n0n0?n
?2R3R??1，可得s???，即入射光经球面第一次折射??2Rs
后成平行光，物体上端点光束光路如图；图中示出此后平行
光由平面镜反射仍成平行光而第二次由球面折射，成像在球
面左侧距球面顶点s??处，由高斯公式得?3R2R??1，?s??
s???2R，即最后所成像在出射光线一侧距球面顶点2R处，是一个倒立等大的实像。
4，而玻璃的折射率3【例6】水中的发光体位于距盛水器皿壁x处，从外面往器皿壁上贴一个平凸透镜，透镜在空气中的焦距等于f。透镜和器皿壁是非常薄的，水的折射率为n水?
n玻?3。物体位于透镜的主光轴上。求出并讨论像的位置y与物体的位置x
的关系。作为2
特例，求出x?f时像的位置和放大倍数。如果透镜是贴在器皿内壁，情况是否会发生变化？怎样变化？
【分析与解】透镜和器皿壁都非常薄，不考虑器皿壁对光的作用而将平凸透镜视为薄透镜。
n2n1n?n1n2?n，在空气中n1?n2?n0?1，以???s?sR1R2
s???（或s??）、s??f（或s?f）代入，知凸面曲率半径R?(n玻?1)f?0.5f。当透镜贴在器皿壁外面时，如图所示，物方介质为水，透镜的平面曲率半径为?，根据薄n?n水1?n玻1411n透镜物像公式?水?玻，??，即
?y3xfy?x??R平凸透镜平面曲率半径为?，由
114??， yf3x
由此式，当 41414??0时，x?f，y?0，?0
即像在透镜出射光同侧，是实像；当?3f3xf3x
44时，x?f，y?0，即像在透镜出射光的另一侧，是虚像；若x?f?f，y??3f，33
n水y43f即所成像在距透镜3f的水中一侧成一放大虚像，??????4。 n0x3f
如果透镜是贴在器皿内壁，如图所示，此时物方焦距为
4n?nn?n1， ??玻水?0玻?f物n水Rn水??0.5f3
f物??4f； 1.5?
像方焦距为 n?nn?n1?玻水?0玻?f像n0Rn0?0.5f1.5?4，f?3f，由高斯公式： 像
?4f3f114??1???， ?xyy3f3x
这时，当x?f时，y??f，即在水中一侧距壁f处成一放大虚像，
n水y4f4???????。 n0x3f3
【例7】有一薄透镜如图所示，S1面是旋转椭球面（椭圆绕长轴旋转而成的曲面），其焦点
C与F2重合。已知此透镜放在空气中时能使从无穷远处为F1和F2；S2面是球面，其球心
位于椭球长轴的物点射来的全部入射光线（不限于傍轴光线）会聚于一个像点上，椭圆的偏心率为e。⑴求此透镜材料的折射率（要论证）；⑵如果将此透镜置于折射率为n?的介质中，并能达到上述的同样的要求，椭圆应满足什么条件？
【分析与解】对题给薄透镜，不需要傍轴光线的条件也可会聚理想成像。我们先做出光路图
如图，来自无穷远处主轴上物点的光线可视作平行于主轴，任意平行于主轴的光线入射到椭球面上任一点O1，NN?为O1点椭球面的法线，入射角为i，如若让该光经椭球面S1折射进入透镜中的传播方向沿O1F2，由于F2同时又是球面S2的球心，则再经球面S2折射将不改变传播方向而到达F2(C)，F2(C)即为像点位置。由椭圆几何性质知，法线NN?是O1与两
??1F1?r；设椭球半长轴为a，则焦点F2O1N??NO1、F2张角的平分线，?F
F1F2FFOFOF1211
12；将正弦定理运用于?O1F，得??F12ensi2rnsi()insi(?r)ir?
sini11?，即此透镜材料的折射率应取n?。 由该二式可解得sinreeO1F1?O1F2?2a?，
如果将此透镜置于折射率为n?的介质中，并同样能理想成像，根据以上分析，应有sini1nn???，则椭圆的偏心率应满足e?。 sinren?n
实际运用的光学系统往往由多个共轴的折射面构成，可用上面所讨论的成像规律逐个求解，但在解决数量很多的球面系统问题时，将面临大量的运算，这时，我们可以通过等效方法，把共轴系统简化成一个等效光具组来处理。包括两个折射面的薄透镜就是一个简单的光具组，我们已经看到薄透镜成像也遵守高斯公式，即等效于某个球面折射。空气中的薄透镜又是最简单的情况，其物像关系简化为 111??，物方的任一点都与像方的一点共轭。许vuf
多光学助视仪器如放大镜、显微镜、望远镜等都是由透镜或透镜组构成，下面我们关注助视光学仪器的放大本领。
最简单的放大镜是一个单独的凸透镜，物体AB
放在凸透镜的焦点里面一些，隔着透镜观察物体可看
到正立、放大的虚像A?B?，如图。设物长y，放在眼
的明视距离d处，肉眼直接观察物体时的视角
y，使用凸透镜后，让物的虚像成在眼睛明视距d
y?y?，故放离处，设像长y?，观此像时视角???df
??d?。 大镜的角放大率m??f??
显微镜由四个以上的透镜组合而成，其原理可用一个目镜为凸透镜和一个物镜为凸透镜
采等效。如图，物镜L0焦距f0很小，用来成一实像，目镜Le的焦距fe大于f0，它的作用
等同于放大镜。两镜共主轴，物体AB放在物镜L0焦点F0外面一些，由物镜成一倒立放大实像A1B1在目镜焦点Fe里面，此像对目镜而言是物，再通过目镜成放大虚像A?B?在眼睛明视距离处。设两镜间距离（即显微镜筒长）l，对物镜，物体的物距接近f0，像距约等于l，A1B1l?，对目镜，像A?B?对眼所张的视角ABf0
ABA?B?A1B1；不用显微镜，物体AB的视角??，则显微镜的角放大率 ????ddfe
??ABdldm??11????0?e。 ?feABf0fe
天文望远镜是一种折射式望远镜，如图，物镜L0与目镜Le都是凸透镜，两镜共主轴，则物镜的横向放大率（像长放大率）?0?物镜的像方焦点与目镜的物方焦点重合，筒长l?f0?fe，物镜L0的焦距f0较大，用来成实像；目镜Le的焦距fe较小。无限远处天体各点发出的光对物镜而言，相当于平行光束，经凸透镜折射会聚于物镜焦平面，之后再经目镜折射在无穷远处成一虚像A?B?。由于肉眼直接看遥远的天体，视角??
角放大率m?ABABA1B1，从目镜看像A?B?，视角???11，则望远镜?sfofe??fo?。
【例8】复式显微镜中物镜焦距为1cm，目镜焦距为4cm，两者相距16cm，观察者明视距离为24cm，被观察物体应放在物镜前多远处？显微镜的放大率是多少？
【分析与解】题中已知目镜的焦距和像距，所以应先求出目镜的物距，现设为u?，有
dfe(?24)?424111??；u???cm?cm。 d?fe(?24)?47du?fe
2488)cm?cm，对物镜运用透镜公式： 对物镜，像距v?l?u??(16?77
???u?cm?1.09cm。 uvf081
?7，因此总的再求总放大率。一次成像放大率为?0??；二次成像放大率为?e??u7u
放大率为m??0??e?81。即像长为物长的81倍，像面积是物面积的6561倍。
【例9】讨论具有长焦距镜头的照相机摄远景的工作原理。 【分析与解】最简单的照相机是由一个会聚透镜作为物镜，使景物在底片上成倒立缩小实像，
；其横向放大率???。拍摄远景时，物距远??，v?
uvfu?fuu?f
大于像距（镜头到底片间距离），即uv，uf，横向放大率??，可知在物距比镜
由透镜公式
头焦距大得多时，相机镜头的横向放大率与焦距成正比。因此为了在底片上留下足够大的像，必须设法加大镜头的焦距，这正是远摄镜要采用长焦距镜头的原理。
长焦距远摄镜可由前方的一个会聚透镜和后方的一个共轴的发散透镜组成，如图。图中从景物发出的一条平行于主轴的入射光先到达组合光具的前透镜L1，经其作用后的折射光应指向透镜L1的像方焦点F1，该光再入射在后面的发散透镜L2，经L2作用，从光具组出射的光线与主轴交于F?，出射光线这样求作：过凹透镜光心作平行于向L2入射的光MN的副光轴，副光轴与L2的像方焦平面交于P，P为一副焦点；根据凹透镜性质—与副光轴平行的入射光线，经凹透镜折射后，发散自副焦点，只需连接PN，并继续延伸且与主光轴相交即可。对系统而言，平行于主轴的入射光折射后会聚于主焦点，故F?即为系统的等效凸透镜的像方焦点。将出射光线NF?反向延长与平行入射光交于Q，过Q点垂直于主轴的位置就是与光具组等效的一个凸透镜L?之所在，我们看到等效凸透镜的焦距变长了，因而这种相机镜头不但可成像，还可增大横向放大率。
若两透镜间距d?60mm，f1?76mm，f2??25mm，我们用几何方法来计算该系统的等效焦距f?。由图所示三角形相似关系可得
F2F?MO1?F2F?f?
?，其中??f?
MO1fPF2NO2f1?d
，于是有 ?1，而F2F??f2，?
MO1f1PF2?NO2PF2f2
PF2PF2MO1f
f???f2?f1?f
f2f1?df2?f1?d?f1f1
代入数据后得f??
mm?211mm。
1、圆锥面的内表面镀上反射层，构成圆锥面镜。在圆锥形内沿轴拉紧一根细丝。要使细丝发出的光线在圆锥内面上反射不多于一次，圆锥形最小的展开角??_________。 2、小路灯L发出的光束在离灯R0?100m处会聚成小光斑A。在光传播的路径上放两个正方形平面镜，如图。两镜面的交线到灯的距离r?70m，并且垂直穿过光束轴。两镜面互相垂直，
其中一个平面镜与光束轴交成角??30，则现在光束将会聚在离灯_________m处。 3、由点光源S发出的近轴光线经透明球形成像S?，像到透明球的距离为b，如图。如果沿垂直于水平轴将球分成两半，左边一半的平面上镀银，那么像的位置在_________，与球的距离为_________。
4、深度为3cm的水面上（n1?1.33）漂浮着2cm厚的醇（n2?1.36）层，则水底距醇表面的像似深度为_________。
5、两块平面镜宽度均为L?5cm，相交成角??12，如图所示，构成光通道。两镜的右端相距为d?2cm，左端靠在光接收器的圆柱形的感光面上。试问入射光线与光通道的轴成的最大角度?max为多少才能射到光接收器上？
6、湖湾成顶角为?的楔形，岸上住有一个渔人：他的房子在A点，如图。从A点到他离湖最近的C点距离为h，而到湖湾的一头，即到D点的距离为l。湖对岸B点处有渔人好友的房子，点B位置与A点相对湖对称。渔人有一只小船，他可以速度v沿岸步行或以速度乘船在湖中划行，他从自己家出发到好友家里去。求他需要的最短时间。
7、等腰直角玻璃镜的底面AC和侧面BC是光滑的，而侧面AB是毛糙的，如图，棱镜的底面放在报纸上，一位观察者从光滑面BC看去，只看见报纸上一篇文章的一部分，且可见部分与应见部分之比为k?0.95（按面积），试求玻璃的折射率。
8、图表示一条光线经过薄会聚透镜折射的光路ABC和透镜的后焦点F。试用圆规和直尺，做出透镜所在位置和它的主光轴。
AB?BC。9、利用薄凸透镜得到三齿的像，如图。三齿ABCEDG的底边AC位于主光轴上，
AB部分成像放大率?1?6，而BC部分的放大率?2?3，试求BD部分成像的放大率。
10、在不透光的箱内直立着一根蜡烛，箱的后壁是平面镜，前壁嵌有透镜，如图，箱长为L，在这光具组中观察到蜡烛火焰的两个像，并且像的大小相等。试求透镜的焦距。
11、凸透镜后面距离L?4cm（大于焦距）处放置有一块垂直于主光轴的平面镜，透镜前面垂直于主光轴放一页方格纸，如图。当这页纸相对透镜移动两个位置时（这两个位置相距?9cm），纸上均得到其方格的像。试求凸透镜的焦距。
12、有一薄凸透镜，凸面曲率半径R?30cm，如图所示。已知在利用近轴光线成像时：⑴若将此透镜的平面镀银，其作用等同于一个焦距是30cm的凹面镜；⑵若将此透镜的凸面镀银，其作用也等同于一个凹面镜。求在⑵情况下的等效凹面镜的焦距。
13、如图所示，两个完全相同的球面薄表壳玻璃合在一起，中空，其中一块涂银成为球面反射镜．屏上小孔Q为点光源，它发出的光经反射后成像于Q?点。调整屏与表壳间的距离L，当L?20cm时，像点Q?正好落在屏上。然后在表壳玻璃间注满折射率n?
的水。试问当 3
L为何值时，像点Q?仍落在屏上？
14、如图所示的薄透镜系统中，透镜L1和L2的焦距f1?f2?10cm，两透镜的间距为70cm，物在L1的前方20cm处，试求最后像的位置、大小与正倒；为提高光能利用率（增加系统的聚光能力以增加像亮度），可增加第三个会聚透镜L3，为了使最后像的位置仍保持不变，试问L3应放在何处？试借助特殊光线用作图法解释L3能提高聚光能力的原因。
15、如图所示，薄壁球形玻璃鱼缸的半径为R，所盛水的折射率n?
。鱼缸左侧与轴线垂3
直的平面反射镜离球心的距离为3R。一条位于左球面顶点处的小鱼沿缸壁以速度v游动。从鱼缸右侧观察鱼的直接像与反射像（先经平面镜反射，再经鱼缸所成的像）。试求两像之间的相对速度。
16、假定你站在水平的大沙漠上。你会看见在远处好似水面的东西，当你靠近“水面”时，它会同时后退，并保持你同它的距离不变，试解释这一现象。假定你的两眼离地面1.6m，且你同“水面”的距离保持为250m，试计算地表温度。空气在15C，1标准大气压下的折射率为1.0002760，假定在距地面1m以上空气温度恒为30C，大气压强为0.1013MPa。折射率用n表示，并假定n?1同空气密度成正比。
17、图中的矩形ABCD代表一个折射率为n的透明长方体，其四周介质的折射率为1，一束单色细光束以角?入射至AB面上的P点，AP?
AD。不考虑在长方体内的二次及二次2
以上的多次折射，试解下面三个问题。
⑴若要求此光束进入长方体能射至AD面上，角?的最小值?min应为多大？
⑵若要求此光束能在AD面上全反射，角?应在什么范围内？长方体材料的折射率n应在什么范围内？
⑶画出角?小于上问中许可的最小角及大于上问中许可的最大角时的光路图。
专题24 几何光学问题集成 几何光学是在把光的传播抽象成光线模型并认定光的下述两条基本性质的基础上建立起来的一门学问。光的第一条基本性质：光总是沿着光程为极值的路径传播—在均匀介质里沿直线传播，因为给定两点间直线路径最短；在不均匀的介质中，光沿着所有…
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