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思考题在数学教学中的作用
2009年第22期目录
&&&&&&本期共收录文章20篇
　　内容摘要 : 通过思考题在数学教学中的适当编配与讲解,使学员对某个知识上的难点或值得进一步开拓或深化的问题有更深,更系统的了解与掌握。解答思考题让学员独立思考,体会到知识连贯性的重要,启发他们积极钻研教材,养成认真读书的习惯。 中国论文网 /9/view-899273.htm　　关键词 : 思考题 ; 数学 ; 数学教学 　　 　　在数学的教学实践中,经常会遇到学员对概念的内涵,定理的条件和结论,公式,法则的适用范围不能正确和深刻理解的情况,这和教师的讲解有一定的关系,因此改进教师的讲解决方法是减少这些情况的基本途径,然而应当看到:由于数学的高度抽象性,加之学员在科学技术,生产实践等知识上的局限性,由于学员在接受能力上的差异以及其他原因,对概念、定理、公式和法则的理解存在这样和那样的错误认识,在学习的过程中是自然的、难以避免的,因此,解决这个问题的一种必要的,合理的补充于手段是: 对于那些知识上的难点,提出经过精心选择的思考题,来检验学员对知识的消化理解程度,通过学员在求解过程中的独立思考,及课堂的讨论,教师的讲评,找出其中的谬论因素,去伪存真,建立起正确而深刻的理解。 　　为了说明思考题在不同情况下所起的作用,我们从一些例子来具体分析。 　　 数列的极限是一个十分抽象而难懂的概念,在学员的理解中容易产生混乱和模糊,然而思考题 : 　　1: 就是对(无论它多么小)最多只有有限个xn使成立,这种说法对吗? 　　可以引导学员把混乱的模糊的问题逐步理解,从而找到这样一个简练,清晰的命题即:数列极限的ε-N定义,它既刻划了极限概念的本质特征,又方便记忆,更容易用来判断明确某个a是不是一个数列xn的极限。 　　 在利用公式 　　 　　 计算定积分时,必须具备一定的条件,否则会导致错误的结果,思考题: 　　 中是否可以用 作变量替换,即中是否可以用 　　 这里学员发现: 由于代换 在 【-1,1】上 存在没有定义的点t=0 (也就没有连续的偏导数),导致不能利用这个换元公式,从而清楚地了解公式中这些条件的作用。 　　由于积分变量取值的正负依赖于积分区间 ,所以当被积函数中出现 形式的因子时,有时在某些区间上有 ,在另一些区间上有,有的学员对算术根的概念理解不透澈,当把它运用到积分区间的时候更弄不清楚其中的规律,对不同情况不加区别,一律使用 ,造成结果的错误。我们看思考题: 　　3:下面的计算是否正确? 　　这里引导学员发现: 　　 　　从而即可纠正积分运算中同类的错误,又有助于学员在整个数学的学习中正确运用算术根。 　　以上这些列子容易使人认为思考题的作用主要在于堵塞知识漏洞的方面。实际上并非如此,下面我们通过一些例子说明思考题在发展知识,使理解到新的深度,沟通各部分知识之间的联系等方面所起的作用。 　　多元函数f(P)在某一点 P的偏导数存在不是f(P)在P点连续的充分条件。多元函数和一元函数在这个问题上是有所不同的。一般教材给出了: 　　 　　在点(0,0)处有fx(0,0)=0fy(0,0)=0但是在点(0,0)处f(x,y) 并不连续。那 么关于多元函数的连续性与偏导数之间是否联系呢?教材中又给出: 　　若函数f(x,y) 在点(x,y)处可微,则f(x,y)在该点(x,y)处连续,又有定理 1:若z=f(x,y)的偏导数 在点(x,y)处连续,则函数在该点可微。从而联系起来可见若z=f(x,y)在点(x,y)处的偏导数 连续,则z=f(x,y)在该点(x,y)处连续。 　　虽然对于一元函数的结论二元函数就不完全相同,但对于二元函数的结论:若由z=f(u,v),u=φ(x,y),v=ω(x,)满足一定条件则有 ,则可推出 满足相应的条件就有 。 显然,这些问题使学员对问题的认识进入更深的层次。 　　在很多情况下,通过思考题的启发方向,提示线索,可以引导学员从已有的知识出发,经过简单的分析推理,概括提炼,获得新的命题,从而增进了知识的质和量,例如以下几个思考题: 　　5:设x→0,f(x)是x的n阶无穷小,g(x)是x的n阶无穷小(0<n<m)c≠0为常数,则cf(x),f(x)±g(x),f(x)×g(x)各是x的几阶无穷小? 　　6:设数列 且 是否有 ?若 不存在,是否 也不存在。 　　大家知道在罗尔定理的几何意义中至少有一点的切线平行与坐标轴( 轴),由于在几何上加以旋转得到至少有一点的切线平行于弦即为拉格郎日定理,在拉格郎日定理的几何意义中若取曲线为参数方程 　　 由 可得 即为柯西定理,而柯西定理又为罗必塔法则和泰勒公式的成立奠定了理论基础。 　　 ⑴恰当选择的思考题都是针对某个知识上的难点或值得进一步开拓或深化的问题有目的提出来的。其目的在于检验学员理解或对之进行必要的修正和补充;或在于使学员的知识得到进一步的扩展或深化。因此,对于提高知识质量。效果比较直接,明显,容易立竿见影。 　　 ⑵解答思考题,必须是对于知识已经有了一定理解基础上的独立思考,没有固定的模式可套用。任何模仿和生搬硬套都无济于事。因此解答思考题的过程,必然是一个摸索前进。积极思维的过程,从而有利于培养灵活运用数学知识,独立工作,分析和解决问题的能力。 　　 ⑶解答思考题使学员体会到仅仅机械记忆公式和法则以及概念的定义,定理的结论;或者掌握教材上的几个例题是远远不够的。需要的是对教材全面的透澈的理解。这就能启发他们去积极思考专研教材,养成认真读书的习惯。 　　可以相信,在数学的教学中。充分的系统的采用思考题,作为讲解知识和其他基本习题类型的辅导手段,一定会对提高学生的知识质量和能力产生明显的效果。
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&&在&#8203;数&#8203;学&#8203;解&#8203;题&#8203;教&#8203;学&#8203;中&#8203;,&#8203;为&#8203;了&#8203;让&#8203;学&#8203;生&#8203;正&#8203;确&#8203;地&#8203;运&#8203;用&#8203;迁&#8203;移&#8203;规&#8203;律&#8203;,&#8203;例&#8203;题&#8203;讲&#8203;解&#8203;要&#8203;善&#8203;于&#8203;变&#8203;化&#8203;,&#8203;解&#8203;题&#8203;策&#8203;略&#8203;要&#8203;善&#8203;于&#8203;转&#8203;化&#8203;,&#8203;思&#8203;维&#8203;评&#8203;价&#8203;要&#8203;善&#8203;于&#8203;深&#8203;化&#8203;。&#8203;只&#8203;有&#8203;这&#8203;样&#8203;,&#8203;学&#8203;生&#8203;才&#8203;会&#8203;在&#8203;纷&#8203;繁&#8203;的&#8203;情&#8203;况&#8203;面&#8203;前&#8203;,&#8203;化&#8203;坎&#8203;坷&#8203;为&#8203;坦&#8203;途&#8203;,&#8203;化&#8203;复&#8203;杂&#8203;为&#8203;简&#8203;单&#8203;,&#8203;化&#8203;消&#8203;极&#8203;为&#8203;积&#8203;极&#8203;。
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浅谈思考题解题策略
浅谈思考题解题策略作为课堂教学内容延伸和补充的思考题，在义务教育教材中占有相当的比例。由于它形式多样，具有一定 的综合性，因而学生在解答时感到棘手。怎样才能正确解答思考题呢？笔者认为应通过对学生进行解题策略的 训练，强化学生策略意识，提高他们灵活解题的能力。下面谈谈解答思考题常用的九种解题策略。一、以退求进的策略将复杂的问题先退到简单特殊的问题，通过分析研究，找出一般规律，然后用得出的一般规律去指导问题 的解答。例1.用3、4、5、6、7、8六个数字组成两个三位数，使这两个数的积最大，应怎样排列？（第七册62页）□□□× □□□──────这道题若盲目拼凑，不但费时费力，也不易得出正确答案。在解题时可引导学生先退回来研究与例题相类 似，但计算较容易的特殊情形。如：“用1、2、3、4四个数字组成两个两位数，使两个数的乘积最大，应怎样 排列？”要使两个因数的乘积最大，显然较大的数应填在十位上，这样得到41×32和42×31两种可能性。通过 计算可知：41×32＝＝的乘积较大，符合条件。经过比较发现：41－32〈42－31， 引导学生概括出解题规律：（1 ）较大的数应填在最高位；（2）较小的数与较大的数搭配写；（3）所组成的 两个数的差应最小。根据这一规律，再回过头来解答原题就较为容易：把6 个数字分为三组，8和7为较大数， 应填在两个因数的百位上；6和5为中间数组，填在两个因数的十位上；4和3为较小数，应填在两个因数的个位 上。采用小数与大数搭配的方法，使所组成的两个数的差最小，从而得到“853 ×764”的乘积最大。因此符合 题目条件的两个数应如右图排列。（附图 {图}）二、逐步排除的策略根据题意，把所有不符合条件的结论逐一排除，剩下的即是所要求的答案。例2. 1号、2号、3号、4号运动员取得了运动会800 米赛跑的前四名。小记者采访他们各自的名次。1号说 ：“3号在我的前面冲向终点。”另一个得第3名的运动员说：“1号不是第4名。 ”小裁判说：“他们的号码与 他们的名次都不相同。”你知道他们的名次吗？（第六册66页）根据1号运动员所说：“3号在我前面冲向终点。”说明1 号不是第1名。又因为另一个得第3名的说：“1号 不是第4名。”说明1 号不是第3名，也不是第4名，则1号只能是第2名。由于3号在1号前面冲向终点，可知3号 是第1名。再根据他们的号码与他们的名次都不一样，可知4 号是第3名，2号是第4名。所以他们的名次排列是 ：3号获得第1名，1号获第2名，4号是第3名，2号得第4名。三、寻求对应的策略有些题目中的数量关系存在着对应关系，只要找到这一对应关系，就可以寻求出解题途径。例3.用一个杯子向一个空瓶倒水。如果倒进3杯水，连瓶共重440克。如果倒进5杯水，连瓶共重600克。想 一想，一杯水和一个空瓶各重多少？（第六册117页）从题意可知，一杯水和空瓶的重量是固定的。当倒进3杯水时， 连瓶共重440克；当倒进5杯水时，连瓶共 重600克。重量之所以会增加，是因为多倒进了两杯水。因此，两次倒进水后的重量差（600－440）与两次倒进 水的杯数差（5－3）是相对应的。寻找出这一对应关系，则不难求出一杯水的重量是：（600－440）÷（5－3 ）＝80（克）。空瓶的重量是：440－80×3＝200（克），或600－80×5＝200（克）。四、等分探求的策略一些几何图形直接看去似乎难以计算出结果，但如画出适当的辅助线，将图形平均分成若干份，就很容易 得出正确答案。例4.仔细观察图（1），说出图中阴影部分占大正方形的几分之几？（第五册127页第（1）小题）（附图 {图}）根据图形特点，在图中阴影正方形中画出两条对角线，将图形平均分成八等分，如图（2）所示。 从图中 我们可以清楚看出阴影部分占大4 1正方形的─或─。8 2五、列表求解的策略借助图表形象性强的特点分析数据，发现和归纳出计算规律，从而能使问题获解。例5.经过两个点可画一直线，经过三个点最多可以画3条，经过4个点呢？5个点呢？6个点呢？……你发现 了什么规律？ 点数 2 3 4 5 6 ...... 条数经过7个点，最多可以画几条直线？（第五册126页）教学时，可引导学生充分讨论，展开想象，动手试画，分析点数与所画直线条数之间的关系，并将有关数 据对应列表，从中发现规律，找出所求答案。 点数 最多可画直线条数 规 律2 1 2×(2－1)÷23 3 3×(3－1)÷24 6 4×(4－1)÷25 10 5×(5－1)÷26 15 6×(6－1)÷2... ... ...从上表可发现以下规律：点数与点数减1 的乘积的一半就是所给点最多能画出直线的条数。利用这一规律 可求出经过7 个点最多可画直线7×（7－1）÷2＝21（条）。六、逆向分析的策略
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小学数学第八册部分思考题解题思路浅析
期末考试，小东的语文成绩和自然成绩加起来是197分；语文成绩和数学成绩加起来是199分；数学成绩 和自然成绩加起来是196分。想一想：小东的哪一科成绩最高？你能算出小东各科考试的成绩吗？(P13)&&&& 解题思路分析：根据题目所给的三个已知条件不难看出是语文分数最高。如何求出三科的成绩各是多少分 呢？可用“整体思路”进行思考。因为这道题是属于已知“甲乙两数之和、乙丙两数之和、丙又与甲数之和” 而求甲、乙、丙三个数各是多少的“回环”问题。解题时先将三个两两之和加起来得到三科的“两两总成绩” （每科的成绩都计算了两次），接着除以2得到三科的（一次）总成绩，然后用这个总成绩减去语文自然总分得&数学分、减去语文数学总分得自然分、减去自然数学总分得语文分。分步列式解答如下：(1)三科总分：(197+ 199+196)÷2=…=296（分），(2)三科成绩分别是：语文296-196=100（分）、自然296-199=97（分）、数学29 6-197=99（分）。&&&& 2.一辆汽车3小时行105千米。&&&& 根据上面给的条件，编成一道完整的一步应用题，再改成两步计算的应用题，再改成三步计算的应用题。 (P22)&
&&& 解题思路分析：如改编成一步计算的应用题，只要在已知条件的后面加上“平均每小时行多少千米”就可 以了；改编成两步计算的应用题时，只要在已知条件的基础上加上“照这样计算，这辆汽车行（）小时的路程 是多少千米”就可以了；改编成三步计算的应用题时，可以将上面的一步题和两步题合并起来，如“一辆汽车 3小时行105千米（原给已知，下面加上转步条件和问题）。照这样计算，这辆汽车再行（ ）小时，一共可以 行多少千米？”&&&& 3.玉梅的期末考试成绩单给弄污了。你能帮她算出数学成绩来吗？&&&& 附图{图}&&&& 解题思路分析：本题也可按整体思路来思考。先想三科的总分是多少，再去求数学成绩。解如下：85×3- 80-85或85×3-(80+85)=…=92（分）。&&&& 4.用0、0、0、0、1、2、3、4、5、6这十个数学写出一个十位数，所有的0都要读出来。(P41)&&&& 解题思路分析：这道题主要考察学生有关数位、写数、读数以及0的占位作用等方面的综合能力。可引导学 生这样想：根据每级数末尾的0再多也不读，只有每级数的有效数字之间的0和次级首位上的0才读出来（如果连 续有几个0也只读一个）的规律，只要把四个0分别放在个级和万级和首位及这两级中间位置就能达到把四个0都 读出来的要求。如写成或等等。&&& 5.把50分成两个双数的和，有多少种分法？（交换加数位置的看作同一种分法）(P53)&&&& 解题思路分析：这是一道智力型的组合题，可以这样思考：除去50和25，剩下48个数，其中双数占一半是 24个，这样每头尾两个双数合成50，如2和48，4和46，……直至24和26，这样的对子共有12对，每对算一种分 法，共有12种。用算式表示就是：(50-2)÷2÷2或者(50÷2-1)÷2=…=12（种）。&&&& 6.选三个一位数，例如1、2、3，组成所有可能的三位数（不许重复）。求出这些三位数的和以后，再除以 上面三个一位数的和，商是多少？再选三个一位数，照上面的方法做做看，商有什么变化吗？为什么？(P53)&&&& 解题思路分析：这道题除了考察学生的组合组数能力之外，还着重考察学生的综合分析和抽象概括能力。 解题时可这样思考：先按题目给出的三个一位数组出所有可能的三位数进行计算。如(123+132+231+213+312+3 21)÷(1+2+3)=…=222，再让学生任意选三个其它的一位数进行同样方法的计算，使学生发现商同样是222，没 有变化，从而引起他们进一步探究的兴趣。进而引导他们仔细观察计算过程，不难发现这样的规律：任选的三 个一位数在组成所有可能的六个三位数的和做被除数时，每个数字都分别在百位上出现两次、在十位上出现两 次，在个位上出现两次，而三个一位数的和做除数时每个数字只出现一次，所以他们的商是222。&&&& 作为教师，应注意把特殊的现象归纳到一般的情况。这就是，如果设任选的三个一位数分别为a、b、c，则 由它们组成所有可能的三位数分别是abc、acb、bac、bca、cab、cba（注：这里是从字母占位角度写的、没有 相乘关系，因此有abc→100a+10b+c等等），那么它们在进行&
&&& 〔200×(a+b+c)&&&& 如题目要求的计算中就会出现如下情况：……＝──────────&&&& ①六个三位数百位数的和&&&& 20×(a+b+c) 2×(a+b+c)〕 (a+b+c) + ─────────── + ─────────── ÷ ────────&&&& ②六个三位数十位数的和 ③六个三位数个位数的和 ④三个一位数的和&&&& 根据乘（除）法的分配律得：①÷④＋②÷④＋③÷④＝200+20+2=222，所以，照上面的方法进行计算， 无论是选哪三个一位数，商都不会有变化，都是222。&&&& 7.在下面的数字中间填上加号或减号，使计算的结果得100。 1 2 3 4 5 6 7 8 9=100，例如123+4-5+67- 89=100。(P60)&&& 解题思路分析：这道题的主要知识点是认识和利用物体与物体之间的间隔数，区别有用条件和无用条件。 57辆军车排成一列的间隔数是(57-1)个，每个间隔长是2米，(57-1)个间隔共长〔2×(57-1)〕米，加上57辆军 车的长度(5×57)米，那么，从第一辆车头到最末一辆车尾一共长为2×(57-1)+57×5=…=397（米）。（注：因 为不是求“从第一辆车头上桥到最末一辆车尾离开桥”，所以题目中的“桥长200米”是多余的无用已知条件。 ）&
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