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数学物理方法 留数定理及其应用
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数学物理方法习题
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适用课程:&数学物理方法()【访问量：11934】
《数学物理方法》教学大纲
课程名称：数学物理方法
英文名称：
课程编号：121210 学分：4 总学时：72 讲课时数：72（包括习题课）
教学对象:&本科。
面向专业：信息科学与工程学院各专业。
一、&本课程的地位、作用和任务
《数学物理方法》是信息科学与工程学院各专业本科必修的基础课。高等，（如量子力学、电动力学等）（如傅里叶光学、微波原理等）
二、&基本要求
通过该课程的学习，理解复变函数的基本概念、基本性质及其应用，掌握数学物理方程的导出过程和求解方法。能够做到把物理问题抽象为数学问题，运用所学的数学方法求解，然后理解解的物理意义。
三、&内容提要
本门课程的教学内容主要包括复变函数论、数学物理方程两部分。其中的复变函数论部分，除介绍基本原理外，着重谈到解析函数的基本性质及其应用、共轭调和函数、留数定理、付里叶变换、拉普拉斯变换等方面的应用。数学物理方程部分是本课程的中心内容，它研究各种各样的物理过程，并以数学物理中的偏微分方程定解问题的建立和求解为核心内容。
四、&课程作业的要求和目的
除要求阅读教材相应的章节外，通常还布置一以巩固所学的知识。
五、&教材和主要参考书
1教材：梁昆淼，《数学物理方法》（第三版），高等教育出版社，1998年
2.&参考书：
①斯颂乐，徐世良等《数学物理方法习题解答》，天津科学技术出版社，1982年
②姚端正、梁家宝，《数学物理方法》，武汉大学出版社，1997年
③姚端正，《数学物理方法学习指导》，科学出版社，2001年
④胡嗣柱、倪光炯，《数学物理方法》，高等教育出版社，2002年
⑤胡嗣柱、徐建军，《数学物理方法解题指导》，高等教育出版社，1997年
六、&学生成绩评定方法
、（含作业）37（任课教师调整确定）
七、&教学内容、要求和参考课时（*—按课时选讲）
第一篇复数函数论（24）
复数函数论是指自变数为复数的函数。它是实变函数在自变数方面的延伸，并形成了一个独立的理论分支。复变函数在物理学中有极其广泛的应用。首先，由于复变数的引入，赋予了一些物理量以新的意义。例如，物理学中普遍使用复阻抗，复势，复频率，复介电常数，复磁导率，复哈密顿量等等。这些复数量都具有新的物理内涵。其次，许多复变函数论的方法，如科希积分，回路积分，罗朗级数筹，给物理学许多领域中大量的实际问题提供了有效的处理手段。因此，复变函数论成为数学物理方法的一个重要组成部分。
第一章&复变函数（6）
教学内容：
1-1．复数与复数运算：复数的三种表达式，复数运算规则（四则运算，幂和根式运算，极限运算），无穷远点。
1-2．复变函数：复变函数的概念，开、闭区域，常见的初等复变函数的定义式、性质（与实变的区别），复变函数的连续性。
1-3．导数：概念及公式，C-R条件（直角坐标、极坐标），可导存在的充要条件。
1-4．解析函数：解析函数的概念，正交曲线族，调和函数，已知实部求虚部。
1-5．平面标量场：恒定场，标量场，复势。
1-6．多值函数：根式函数，对数函数w=ln z，支点，黎曼面。
基本要求：
．熟悉复数的基本概念和基本运算；
．了解复变函数的定义，连续性；
．了解多值函数的概念；
．掌握复变函数的求导方法及科希—里曼方程；
．了解解析函数的概念，熟悉一些简单的解析函数的表示式。
本章重点：
复变函数的运算，科希—里曼条件，解析函数。
第二章复变函数的积分（）
教学内容：
§．复数函数的积分：路积分及其性质。
§．柯西定理：柯西定理的内容和应用，单通区域，复通区域，境界线的正方向。
§．不定积分：原函数，公式。
§．柯西公式：柯西公式，高阶导数的积分表达式。
基本要求：
．正确理解复变数函数路积分的概念；
．理解柯西定理和柯西公式，能熟练运用科希公式。
本章重点：
柯西定理和柯西公式。
第三章幂级数展开（4）
教学内容：
§．复数项级数：复数项无穷级数，收敛性，柯西收敛判据，绝对收敛，一致收敛，一致收敛级数的性质。
§．幂级数：幂级数的概念，比值判别法，根值判别法，收敛圆，收敛半径，幂级数的性质。
§．泰勒级数展开：泰勒定理，展开的唯一性，泰勒级数展开方法。
§．解析延拓：解析延拓的基本思想。
§．洛朗级数展开：双边幂级数，收敛环，洛朗级数展开方法。
§．孤立奇点的分类：孤立奇点及其分类，留数，极点，极点的阶，单极点，本性极点，无穷远点为奇点的情况*。（支点不作要求）。
基本要求：
．理解复数项级数概念；
．了解幂级数的敛散性的判别法，掌握收敛半径的计算方法；
．会对一些简单的解析函数进行泰勒级数展开；
．了解解析延拓的含义；
．会对一些简单的函数在孤立奇点邻域内进行洛朗级数展开；
．熟悉孤立奇点的三种类型，了解极点的阶；
本章重点：
幂级数，比值判别法，泰勒级数，罗朗级数、收敛圆，收敛环，函数按幂级教展开方法。
第四章留数定理（4）
教学内容：
§．留数定理：留数，留数定理，无穷远点的留数*，留数和的定理*，计算留数的一般方法，判断极点的阶，极点留数的计算方法，例。
§．应用留数定理计算实变函数的定积分：类型一，类型二，类型三，实轴上有单极点的情况*。
基本要求：
．掌握留数定理和留数的计算方法；
．会应用留数定理计算实变函数的定积分。
本章重点：
留数定理及其计算方法。
第五章傅立叶变换（3）
教学内容：
§51．傅里叶级数：周期函数的傅里叶展开，奇函数和偶函数的傅里叶展开，定义在有限区间（0，l）上的函数f(x)&的傅里叶展开，复数形式的傅里叶级数*。
§．傅里叶积分与傅里叶变换：非周期函数的傅里叶积分，傅里叶积分的导出，傅立叶变换式，奇函数的傅里叶正弦积分，偶函数的傅立叶余弦积分，复数形式的傅里叶积分*，傅里叶变换的基本性质*。
§．狄拉克δ函数，广义函数的提出，狄拉克函数的定义和性质，δ函数是一种广义函数*，δ函数的傅里叶变换。
基本要求：
．掌握周期函数的傅里叶展开，了解定义在有限区间（0，l）上的函数f(x)&的傅里叶展开；
．了解非周期函数的傅里叶积分表达式和傅立叶变换的概念；
．了解傅立叶变换的基本性质；
．掌握δ函数的定义，了解δ函数基本性质和常用表达式。
本章重点：
周期函数的傅里叶展开，非周期函数的傅里叶积分的概念，傅里叶变换的定义。狄拉克函数的定义。
第六章&拉普拉斯变换（3）
教学内容：
§62．拉普拉斯变换：拉普拉斯变换的定义，常见初等函数的拉普拉斯变换，拉普拉斯变换的基本性质。
§63．拉普拉斯变换的反演：有理分式反演法，查表法，用卷积定理反演，黎曼—梅林反演公式*。
§64．应用例*：常微分方程的初值问题。
基本要求：
．掌握拉普拉斯变换的定义，熟悉拉普拉斯变换的基本性质（特别是导数、位移、延迟定理）；
．掌握有理分式反演法，会根据常见初等函数的拉普拉斯变换结合拉普拉斯变换的基本性质进行反演。
本章重点：
拉普拉斯变换的基本性质，常见初等函数的拉普拉斯变换，有理分式反演法。
第二篇数学物理方程（6＋8）
数学物理方程是本课程的重点，本篇主要是讨论与三类典型的二阶线性偏微分方程对应的定解问题以及由此而连带引出的本征值问题和特殊函数理论。这三类方程在物理学的许多领域中具有其广泛的应用，例如在理论力学中的哈密顿方程，电动力学中的麦克斯韦方程，量子力学中的薛定谔方程等等都与这三类方程有密切的关系。
第七章数学物理定解问题（10+2）
教学内容：
定解问题：定解条件，边界条件，初始条件，泛定方程，定解问题。
§．数学物理方程的导出：均匀弦的微小横振动，均匀杆的纵振动，扩散方程，热传导方程，稳定浓度分布，稳定温度分布，静电场*，其他物理模型的方程的导出不作要求。
§．定解条件：初始条件，边界条件（非线性边界条件不作要求）。
§．数学物理方程的分类：二阶线性偏微分方程的一般形式*，线性齐次和非齐次方程*，叠加原理。两个自变数的方程分类*（多个自变数的方程分类不作要求），双曲型，抛物型，椭圆型方程，方程的标准形式。常系数线性方程*。
§．行波法：达朗贝尔公式，行波，求解公式。端点的反射（齐次），非齐次边界条件的情况*。定解问题，适定性。
基本要求：
．掌握典型数理方程的推导过程，并能写出（导出）定解条件；
．理解适定性、叠加原理的概念；
．了解行波法的意义，熟练运用达朗伯公式；
．能对两个自变数的线性偏微分方程进行分类*。
本章重点：
定解问题、定解条件提法，三类典型数理方程的推导过程，二阶线性方程的分类，常系数线性方程的化简，达朗贝尔公式。
第八章分离变数（傅里叶级数）法（10+2）
教学内容：
§．齐次方程的分离变数法：分离变数法，驻波，本征值，本征函数，本征值问题，分离变数法的方法步骤。波、热——齐次第一、二、混合边值；拉普拉斯方程——矩形域、圆域。
§．非齐次振动方程和输运方程：傅立叶级数法，冲量定理法。
§．非齐次边界条件的处理：一般处理方法，特殊处理方法*。
§．泊松方程：特解法。
基本要求：
．掌握分离变数法，理解本征值问题与本征函数的联系，会灵活处理较简单的非齐次边界条件的情况；
．熟悉并掌握齐次泛定方程的定解问题的求解方法；
．能对简单非齐次泛定方程的定解问题求解。
本章重点：
分离变数法的步骤，本征值问题，非齐次边界条件的处理
第九章二阶常微分方程的级数解本征值问题（8+2）
教学内容：
§．特殊函数常微分方程：拉普拉斯方程，球坐标，球函数方程，连带勒让德方程，勒让德方程，柱坐标，贝塞耳方程。波动方程，输运方程，亥姆霍兹方程。
§．常点邻域上的级数解法：l阶勒让德多项式的由来。
§．正则奇点邻域上的级数解法：微分方程的级数解法，判定方程，贝塞尔方程*（v阶、阶贝塞尔函数）。
§．施图姆-刘维尔本征值问题：本征值，本征函数，施图姆-刘维尔本征值问题的共同性质，正交性，模，广义傅立叶级数，广义傅立叶系数。
基本要求：
．掌握对方程进行分离变数的一般方法，了解一些常见方程进行分离变数后特殊的情形；
．掌握微分方程在常点邻域的级数解法；
．了解微分方程在正则奇点邻域的级数解法；
．了解施图姆-刘维尔本征值问题的共同性质。
本章重点：
微分方程的级数解法，本征函数族，广义傅立叶级数展开。
第十章球函数（82）
教学内容：
§．轴对称球函数：勒让德多项式，罗德里格斯公式（施列夫利积分不作要求），勒让德多项式的模和正交关系，广义傅立叶级数，拉普拉斯方程的轴对称定解问题，母函数与递推公式。
§．连带勒让德函数：连带勒让德函数，本征值问题，罗德里格斯公式，正交性，模，广义傅里叶级数（施列夫利积分，拉普拉斯积分不作要求）。
§．一般的球函数：球函数，球函数的正交性，球函数的模，球面上的函数的广义傅里叶级数，拉普拉斯方程的非轴对称定解问题。
基本要求：
．掌握勒让得多项式及其微分形式，模与正交关系，广义傅立叶级数展开，拉普拉斯方程的轴对称定解问题；
．了解一般球函数和连带勒让德函数的概念；能对简单的拉普拉斯方程的非轴对称定解问题求解。
本章重点：
勒让德多项式及其微分形式，连带勒让德函数及其微分形式，正交性，模，广义傅里叶级数，球坐标系下拉普拉斯方程的定解问题。
&&&&&&&&&&&&&&非齐次方程的冲量定理法求解_图文_百度文库
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非齐次方程的冲量定理法求解
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