破解解析几何中的最值问题_百度文库
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破解解析几何中的最值问题
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&&破​解​解​析​几​何​中​的​最​值​问​题
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【专题】平面几何——解角度问题收藏
在一图形中，已知某些角的度数，求另外一些角的度数，称为“解角度”问题。这些题多少都有些难度，而且技巧性很强。“解这些题，无一例外地都是构造等边三角形，利用等腰三角形、三角形的全等，来解决问题。”这个专题主要由 老师和我来收集、整理题目，若各位吧友有新的题目、不同的解法等十分欢迎讨论。格式为：一楼一题，题目+图片+思路或解法
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题1：如图，如图所示，等腰三角形ABC，AB=AC，O是三角形ABC内一点，已知角CAB=96度，角ABO=12度，角OAB=18度，求角AOC的度数。解法：以AO为一边向右作等边△AOD，可得∠CAD＝96°-18°-60°＝18°＝∠BAO.连CD。因为∠CAD＝∠BAO，AC＝AB、AD＝A0，所以△CAD≌△BAO。所以,∠ADC=∠AOB=180°-12°-18°=150°.　因为∠0DC=360°-60°-150°=150°,而且OD=AD,CD=CD。所以 , △COD≌△CAD,得CA＝CO， 所以∠COD＝∠CAD=18°。最后得∠AOC=78°。 （以上解法由 提供）
题2：如图，△ABC，AB=AC，∠ BAC=120°，D、E分别在BC、AC上，且∠ BAD=80°，∠ABE=20°。求∠ADE的度数。解法：如图，以AB为边向左作等边△ABF，作∠BFA平分线，交BE于G，交AB于H。先容易得△FBG≌△FAG，得GB=GA，进而∠AGE=2∠GBA=40°。可算出∠GAF=80°=∠DAB，而AB=AF，∠AFG=∠ABD=30°，∴ △AFG≌△ABD，推出AG=AD，又可得∠AEB=40°=∠AGE，∴AG=AE，∴AD=AE，就可以得出∠ADE=（180-∠DAE）/2=70°。
题3：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=20°，D在AB上，且AD=BC，求∠BDC的度数。解法：如图，以AC为边向右作等边△ACE，连DE。∵AD=BC，∠DAE=20°+60°=80°=∠CBA，AB=EA∴△ADE≌△CBA，∴∠AED=∠BAC=20°。又EA=ED=EC，∴E是△ADC的外心，又∵弦AD，∴∠ACD=1/2∠AED=10°，∴∠BDC=∠BAC+∠ACD=30°。
作DE=CD，通过角度计算，可知△ADE是等边三角形，△BDE和△AEB都是等腰三角形。可以算出∠ABD=30°.
题5：如图，如图，△ABC，∠BAC=20°，AB=AC，D、E分别在AB、AC上，∠BCD=60°，∠CBE=50°，求∠CDE的度数。解法：如图，作ECF=60°，交AB于F。得∠BCF=80°-60°=20°，而∠CBF=80°，∴∠CFB=80°，就有CF=CB。也易得CB=CE（∠CBE=∠CEB=50°），∴CF=CE，∴等边△CEF。这样就有FC=FE，∠CFE=60°。也得∠CDF=40°，∠FCD=60°-20°=40°=∠CDF，∴FC=FD，∴FC=FE=FD，即F是△CDE的外心，∴∠CDE=1/2∠CFE=30°。
10楼的题其实和7楼的题很像。不仅如此，以上的题都是很巧妙地通过【作等边三角形求解】。其中一个很关键的地方：【找到现有的或隐含的60°或30°角】。比如第一题，条件看起来根本没有30°、60°出现，但是12°+18°=30°，就想办法把两角沟通起来。还有第三、四题，都是顶角为20°、底角为80°的等腰三角形，辅助线的核心就是利用等式【80°-20°=60°】
我爱60度角。
题6：已知△ABE，AB=BC=CD，∠B=78°，∠BCD=162°，求∠E的度数。解法：如图，以CD为边向上作等边△CDF，连接AF。得AB=BC=CD=FD=FC，∠FCD=60°也推出∠BCF=102°，∴∠B+∠BCF=72°+102°=180°，∴AB‖CF又AB=BC=CF，∴菱形ABCF，∴FA=FC=FD，∠AFC=∠B=78°，这样F就是△ACD的外心，∴∠ADC=1/2∠AFC=39°，∴∠E=39°-（180°-162°）=21°。
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开阔思路！
此题就是刚发表的《 “解角度问题”又一题》
。请注意与本帖2楼题1比较。
总结真的很好啊
我再来补充一个题
是初中的题目三角形ABC中
∠BAC=40° AB=AC AB上有一点P
已知AP:BC=根号3:3，求∠PCB的度数
这题或改编自2012年全国初中数学联赛的第8题填空题，原本的条件是60度，问的是比值。辅助线和我们以上总结的是有所不同的。值得研究。如图，作高AH，并将三角形AHC沿AC翻转，设H落在H'处，过P作PQ垂直AH'于Q。可得角PAQ=60度，所以AP：PQ=2：sqrt(3)/2，显然CH'=CH=1/2BC，进而由条件“AP:BC=根号3:3”可得AP：CH'=2：sqrt(3)/2， 所以CH'=PQ，进而矩形CH'PQ，所以角BPC=角PAQ=60度。
这就引导我一个思考：由于解角度问题可以用正弦/余弦定理进行一般化求解（就是非特殊角），所以，我们这类题的技巧性解法，是不是构造等边三角形只是表面，而实质是利用【特殊角的特殊三角函数值】？毕竟三角函数是沟通角-边的一个很好的工具，我们的解法只是很“巧”碰上60度了。
按照60度的答案，貌似有问题。手机回复看不到图。
如果角PCB=60那么角PCA=10由于CPQH撇是矩形，那么PC平行于AQ角QAC=角PCA=10
与翻折的20度矛盾
的确用到了特殊角的三角函数。这道题的答案是50度。如果是证明题，我能证明出来。但是是求解题，我还没有想到怎么过度……确实这于构造等边三角形没什么关系，但是是求角度的，我就发上来了。
我还是得60°。　22楼“如果角PCB=60，那么角PCA=10”不成立啊。
解：在AB上取一点Q使得∠ACQ=20° 过A做BC垂线交BC于D，过A做CQ 的垂线交CQ延长线于E易知∠EAC=90°-∠ACE=70°
∠EAQ=∠EAC-∠QAC=70°-40°=30°
所以在Rt△AEQ中有 2AE=根号3AQ
Rt△ADC和Rt△CEA很容易证明全等（AAS）
所以 BC=根号3AQ
BC=根号3AP
所以Q与P重合
∠PCB=∠QCB=70°-20°=50°
我知道了！搞了半天，我求的是∠BPC，而你要问的是∠PCB！答案是一致的！
刚才少打了一个‘
我也发现这个了，正要说呢！
我也没有早点发现
哈哈！不过我们研发了不同的方法，也不错！再发一题
你的解法，我看懂了，挺好的。不过好像有点小毛病。其中AP:PQ=2:sqrt(3)/2 应该是AP:PQ=2:sqrt(3)。同样，后面的“AP:BC=根号3:3”可得“AP:CH'=2:sqrt(3)/2 ”也应该是AP:PQ=2:sqrt(3)。
这一题和题1很类似，但是解法有不同哦
嗯，确实，后来搅得有点糊涂了。这种单位1的我经常弄错，唉
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为兴趣而生，贴吧更懂你。或《三大几何难题》真的无解吗?有人已经将此题解了,应该有什么地方验证?
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古典难题的挑战——几何三大难题及其解决位于欧洲南部的希腊,是著名的欧洲古国,几何学的故乡.这里的古人提出的三大几何难题,在科学史上留下了浓浓的一笔.这延续了两千多年才得到解决的世界性难题,也许是提出三大难题的古希腊人所不曾预料到的. 一.三大难题的提出 实际中存在着各种各样的几何形状,曲和直是最基本的图形特征.相应地,人类最早会画的基本几何图形就是直线和圆.画直线就得使用一个边缘平直的工具,画圆就得使用一端固定而另一端能旋转的工具,这就产生了直尺和圆规. 古希腊人说的直尺,指的是没有刻度的直尺.他们在大量的画图经历中感觉到,似乎只用直尺、圆规这两种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形,因而,古希腊人就规定,作图时只能有限次地使用直尺和圆规这两种工具来进行,并称之为尺规作图法. 漫长的作图实践,按尺规作图的要求,人们作出了大量符合给定条件的图形,即便一些较为复杂的作图问题,独具匠心地经过有限步骤也能作出来.到了大约公元前6世纪到4世纪之间,古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题. 1.三等分角问题：将任一个给定的角三等分. 2.立方倍积问题：求作一个正方体的棱长,使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍. 3.化圆为方问题：求作一个正方形,使它的面积和已知圆的面积相等. 这就是著名的古代几何作图三大难题,它们在《几何原本》问世之前就提出了,随着几何知识的传播,后来便广泛留传于世.二.貌以简单其实难 从表面看来,这三个问题都很简单,它们的作图似乎该是可能的,因此,2000多年来从事几何三大难题的研究颇不乏人.也提出过各种各样的解决办法,例如阿基米德、帕普斯等人都发现过三等分角的好方法,解决立方倍积问题的勃洛特方法等等.可是,所有这些方法,不是不符合尺规作图法,便是近似解答,都不能算作问题的解决.其间,数学家还把问题作种种转化,发现了许多与三大难题密切相关的一些问题,比如求等于圆周的线段、等分圆周、作圆内接正多边形等等.可是谁也想不出解决问题的办法.三大作图难题就这样绞尽了不少人的脑汁,无数人做了无数次的尝试,均无一人成功.后来有人悟及正面的结果既然无望,便转而从反面去怀疑这三个问题是不是根本就不能由尺规作出? 数学家开始考虑哪些图形是尺规作图法能作出来的,哪些不能?标准是什么?界限在哪里?可这依然是十分困难的问题.三.高斯的发现 历史的车轮转到了17世纪.法国数学家笛卡尔创立解析几何,为判断尺规作图可能性提供了从代数上进行研究的手段,解决三大难题有了新的转机. 最先突破的是德国数学家高斯.他于日出生于不伦瑞克一个贫苦的家庭.他的祖父是农民,父亲是打短工的,母亲是泥瓦匠的女儿,都没受过学校教育.由于家境贫寒,冬天傍晚,为节约燃料和灯油,父亲总是吃过晚饭就要孩子睡觉.高斯爬上小阁楼偷偷点亮自制的芜菁小油灯,在微弱的灯光下读书.他幼年的聪慧博得一位公爵的喜爱,15岁时被公爵送进卡罗琳学院,1795年又来到哥庭根大学学习.由于高斯的勤奋,入学后第二年,他就按尺规作图法作出了正17边形.紧接着高斯又证明了一个尺规作图的重大定理：如果一个奇素数P是费尔马数,那么正P边形就可以用尺规作图法作出,否则不能作出. 由此可以断定,正3边、5边、17边形都能作出,而正7边、11边、13边形等都不能作出. 高斯一生不仅在数学方面做出了许多杰出的成绩,而且在物理学、天文学等方面也有重要贡献.他被人们赞誉为“数学王子”.高斯死后,按照他的遗愿,人们在他的墓碑上刻上一个正17边形,以纪念他少年时代杰出的数学发现. 四.最后的胜利 解析几何诞生之后,人们知道直线和圆,分别是一次方程和二次方程的轨迹.而求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点问题,从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问题,最后的解是可以从方程的系数（已知量）经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得.因此,一个几何量能否用直尺圆规作出的问题,等价于它能否由已知量经过加、减、乘、除、开方运算求得.这样一来,在解析几何和高斯等人已有经验的基础上,人们对尺规作图可能性问题,有了更深入的认识,从而得出结论：尺规作图法所能作出的线段或者点,只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方（指正数开平方,并且取正值）所能作出的线段或者点. 标准有了,下来该是大胆探索、细心论证.谁能避过重重险滩将思维贯通起来,谁就是最后胜利者.1837年,23岁的万芝尔以他的睿智和毅力实现了自己的梦想,证明了立方倍积与三等分任意角不可能用尺规作图法解决,宣布了2000多年来,人类征服几何三大难题取得了重大胜利. 他的证明方法是这样的： 假设已知立方体的棱长为a,所求立方体的棱长为x,按立方倍积的要求应有x3=2a3的关系.所以立方倍积实际是求作满足方程x3－2a3＝0的线 段X,但些方程无有理根,若令a=1,则要作长度为2的立方根的线段,但2的立方根超出了有理数加、减、乘、除、开方的运算范围,超出了尺规作图准则中所说的数量范围,所以它是不可能解的问题. 用类似地想法,他证明了三等分角也是不可能解的问题.实际上万芝尔还证明了一个被称为高斯——万芝尔定理：如果边数N可以写成如下形式N＝2t·P1·P2……Pn,其中P1、P2、…Pn都是各不相同的形如22k＋1的素数,则可用尺规等分圆周N份,且只有当N可以表成这种形式时,才可用尺规等分圆周N份.根据这一定理,任意角的三等分就不可能了. 1882年,德国数学家林德曼借助于eiπ=-1证明了π的超越性,从而解决了化圆为方的问题.假设圆的半径为r,正方形的边长为x,按化圆为方数代数方程的根,更不能用加减乘除开平方所表示,因而不可能用尺规法作图. 从此,古典几何的三大难题都有了答案. 2000多年来,一代接一代地攻克三大难题,有人不禁要问这值得吗?假如实际中真遇到要三等分角、立方倍积、化圆为方,只要行之有效,何苦一定用尺规作图法解决?其实,数学研究并非一定要实用,数学家对每一个未知之谜都要弄个清楚,道个明白,这种执著追求的拗劲正是科学的精神.更为重要的是,对三大难题的研究,反过来促进了数学的发展,出现了新的数学思想和方法,例如阿基米德、帕普斯发现的三等分角的方法,勃洛特用两块三角板解决立方倍积问题(这个我在上初中时曾经证明过,的确成立),等分圆周、作正多边形,高斯关于尺规作图标准的重大发现等等.每一次突破不仅是人类智慧的胜利,使数学园地争奇竞艳,而且有利于科学技术的发展. 特别值得提到的是,在三大几何难题获得解决的同时,法国数学家伽罗瓦从一般角度对不可能性问题进行研究,在1830年,19岁的伽罗瓦提出了解决这一类问题的系统理论和方法,从而创立了群论.群论是近世抽象代数的基础,它是许多实际问题的数学模型,应用极其广泛,而三大几何作图难题只不过是这种理论的推论、例题或习题.所以,一般认为三大难题的解决归功于伽罗瓦理论,可伽罗瓦理论是在他死后14年才发表的,直到1870年,伽罗瓦理论才得到第一次全面清楚的介绍.
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