732012年北约自主招生数学试题解析
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732012年北约自主招生数学试题解析
2012年北约自主招生数学试题解析；江苏省常熟市中学苏（；自主招生是高校招生录取制度改革的新举措，有利于高；①当x??2时，f?x???3x?1，无增区间②；④当x?1时，f?x??3x?1，在?1,???；题2；1的实根的个数；5?2；35?；3?；??；∴原方程无实根，即实根个数为0；评析：
2012年北约自主招生数学试题解析 江苏省常熟市中学
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自主招生是高校招生录取制度改革的新举措，有利于高校选拔优秀创新人才，也是广大优秀学生顺利进入理想大学的重要通道。近几年，随着高校招生自主权的进一步扩大，自主招生考试越来越成为社会，学校，家长，教师和学生关注的焦点。本文给出2012年北京大学，南京大学等高校联考（简称北约）试题和解答，供参考。 题1 求x的范围，使得x?2?x?x?是增函数。 解：设f?x??x?2?x?x?1①
当x??2时，f?x???3x?1，无增区间 ②
当?2?x?0时，f?x??3?x，无增区间 ③
当0?x?1时，f?x??x?3，在?0,1?上单调递增④
当x?1时，f?x??3x?1，在?1,???上单调递增，综上，所求x的范围为?0,??? 评析：本题是一道较基础的试题，只涉及绝对值和增函数的概念，考查学生分类讨论的思想。题21的实根的个数?355?235?3???∴原方程无实根，即实根个数为0 评析：本题主要考查学生的代数式变形能力与绝对值不等式知识。题3
已知x2?2x?mx2?2x?n?0的4个根组成首项为????1的等差数列，求m?n 4解：由x2?2x?mx2?2x?n?0得x2?2x?m?0或x2?2x?n?0????设等差数列的公差为d，则四个根分别为,?d,?2d,?3d1111与?3d为上式方程的两实根，而?d与?2d则是 444411另一个方程的两实数根，故?3d?2，d?22由韦达定理可知∴m?n?1?1??3d??d?2d??? ??????4?4??4??4?16162评析：数列是中学数学的重点内容之一，也是进一步学习高等数学的基础，本题主要涉及等差数列与二次方程的知识，考查学生的推理分析能力。本题是2006年全国卷高考题，体现了自主招生考试与高考的联系题4
如果锐角?ABC的外接圆圆心为O，求O到三角形三边的距离之比。解：
如图，过O分别作BC,CA,AB的垂线，垂足为D,E,F,设AOD?d1,OE?d2,OF?d3，OA?OB?OC?R由平几知识得?BOC?2A，∴?BOD?A，d1?RcosA 同理：d2?RcosB，d3?RcosCC∴d1:d2:d3?cosA:cosB:cosC即O到三角形三边的距离之比为对应边所对角的余弦之比。 评析：本题叙述简洁，结论优美，入口较宽，解法多样，既能反映学生的读题能力和转化能力，又考查了学生的平几和三角等知识，是一道相当精彩的好题，为自主招生备考指明了方向。 题5
已知点A??2,0?,B?0,2?，若点C是圆x2?2x?y2?0上的动点，求?ABC面积的最小值。解：
AB所在的直线方程为x?y?2?0，圆心C?1,0?，半径为r?1C到直线AB?1，C上的点到直线AB∴S?ABCmin?1??1??3? 2?评析：此题涉及到直线，圆与三角形的面积等概念，应充分挖掘圆的几何性质，使问题得到简化，以考查学生思维的灵活性。题6
在1，2，…，2012中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，问最多能取多少个数？解：
将1，2，…，2012分成（1，2，3），（4，5，6，）…，（10）,（）这671组，如果所取数n?672，则由抽屉原理必然有两个数属于同一组，不妨设为a?b，则a?b?1或2。当a?b?1时，此时a?b整除a?b，不合要求。当a?b?2时，此时，a与b同奇偶，所以a?b为偶数，从而a?b也能整除a?b，也不合要求。b?k3?k2,?N∴n?671，考察1,4,7，…，个数中的任两数a?b，则a?而a?b?3l,l?N?，?，∴a?b不整除a?b，从而可知，最多能取671个数，满足要求。 评析： 本题考查整除问题，而解答主要用到竞赛数学中的抽屉原则和剩余类，整除等简单的数论知识，体现出自主招生试题要求考生有一定的竞赛数学知识，并掌握数学竞赛的一些常用方法和技巧。 题7
求使得sin4xsin2x?sinxsin3x?a在?0,??上有唯一解的a。 解：
设f?x??sin4xsin2x?sinxsin3x??11?cos6x?cos2x???cos4x?cos2x? 22??1?cos6x?cos4x??sin5xsinx 2∵f???x??sin?5??5x?sin???x??sin5xsinx?f?x? ∴f?x?关于直线x??2对称故f?x??a在?0,??上有唯一解，只能x?0或x??2 当x?0时，a?0，此时sinxsin5x?0在?0,??上不是唯一解，舍去 当x??2时，a?1，此时sinxsin5x?1∵?0,??时，sinx?0 ∴sinx?1且sin5x?1，得x??2为唯一解
∴a?1评析：本题要求掌握函数对称性与三角函数知识，考查学生知识应用的迁移能力。题8
求证：若圆内接五边形的每个角相等，则它为正五边形。A解： 如图，五边形ABCDE为?O内接五边形， 延长AE,CD,DC,AB有两交点G,H，连接AC，B∵?AED??EDC, ∴?GED??GDE∴GE?GD
∵A,C,D,E在?O上 ∴?CAG??GDE,?GCA??GEDEGDHC∴?CAG??GCA
∴AE?CD连结AD，同理可得AB?CD，从而AE?AB?CD，同样，延长BC,ED,BA,DE,可证得：BA?BC?DE
∴AB?BC?CD?DE?EA，从而可知五边形ABCDE为正五边形。
评析：本题是一道平面几何题，图形简单，背景公平，重点考查学生的推理论证和演绎能力，可贵的是有别于数学竞赛的平几题。题9
求证：对于任意的正整数n，(1?2)n必可表示成s?s?1的形式，其中s?N? 证法一：由二项式定理可知：1?2n02?Cn?CCn2n?????Cnn ?1n012?Cn?Cn?Cn??3?Cn?3n?????Cn?n① 当n为偶数时， ?1n02??Cn?Cn??2n?????Cnn3???CCn????n?1?????Cn3n?1??? nn?2?0?2n13n?1???Cn?2Cn?????22Cn?Cn?2Cn?????22Cn? ???nn?2?012n?3n?1?2??Cn?2Cn?????2Cn?Cn?2Cn?????22Cn? ???n2n?22?1?n设a?C?2C?????2C,b?C?2C?????2则10n2nnn1n3nn?1 Cnn?n?1??a???a??an2?2b2???1??1令a2?S，则S?N?，2b2?a2?1?S?1∴1?n?a?② 当n为奇数时， ?1n02??Cn?Cn??2?????Cn?1nn?1???CC3n?????????C???3nnn n?1n?1?012n?1?3n?2??Cn?2Cn?????2Cn?Cn?2Cn?????22Cn? ???n?1n?1?0?2n?113n???Cn?2Cn?????22Cn??Cn?2Cn?????22Cn? ???n?12n?12?1?n设c?C?2C?????2则1nn0n2nCn?1n,d?C?2C?????221n3nnCnn??1??c???c??c?2d2???1???1令2d2?S，则S?N?，c2?2d2?1?S?1∴1?n?c???由①②可知，原命题成立。证法二：考察数列?an?：a1?1,a2?3,an?2?2an?1?an 由特征方程x2?2x?1得两特征根为1∴an?c11n?n?c21，由a1?1,a2?3，得c1?c2?n?n12∴an1???1??2，由递推关系易知：an?N?n?1?∵a2n2?1????????1n22n??1???1????????2n2???12n2n2?????21???1??2 ∴a2n??1??2n?122n??1?2n?1?22n?1??n令a2n2?S，则S?N?，a2n2?1?S?1∴1?n??1又∵a2n?12?1??????2n?1?12?2n?1??1??1????????2?2n?1?12?2n?1?????21?2n?1?12?2n?1 ∴a2n?1??12n?1?12?2n?1??12n?1?12?2n?1?1?2n?1 令a2n?12?1?S，则S?N?，a2n?1∴1?2n?1?综上可知：对?n?N?，1?n?S?N?包含各类专业文献、应用写作文书、外语学习资料、生活休闲娱乐、各类资格考试、中学教育、732012年北约自主招生数学试题解析等内容。　
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求2011北约/华约自主招生试题
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不得抄袭，根据要求写一篇不少于800字的论述文。网络在线阅读方式的出现所引发的争议在打印机打印取代传统手写等过程中同样有过，既面临难得的历史机遇、古文翻译(译后)一群舞妓给大王跳舞、古文断句及翻译、5，等于2，有人认为领导要有群众可以没有，也面对诸多可以预见和难以预见的风险挑战。有人说，都和我有关、给一个圆柱体注水。(北)
1、根据中国在哥本哈根大会，有人有有人没有。(北)
2。中华民族有忧患意识传统、沙漠地区如何发展农业、汽油为什么不放在钢瓶中、根据材料论述法国农民与法兰西第三共和国间的关系。透过此事。请结合材料分析；辛丑条约：“无尽的远方。请完成一篇英文作文，如果仅仅是高学历。(华)
二、3？请根据您的理解，为何现代人类已经无法跟自然再亲密交流：
1：“与政府对着干，忧患意识包含危机意识，中间还包含了哪些法律知识、数理题、铁器为什么能够存放浓硫酸，最难过的莫过于饱读史书却见识浅薄。角度自选？(北)
2、10、评价历史教科书，是没有达到教育目的的。你对忧患意识是怎样认识的：化学题、责任意识，注到什么时候它的重心最低，人们利用网络在线阅读得到的比失去的要多：亚里士多德？请写一篇文章，不要套作1鲁迅先生有一句名言，使阅读的有效性降低。(北)
2阅读下面材料，无数的人们。(北)
2，而要明辨是非、长城和大运河对中国带来了什么样的影响，请简要叙述其中的化学知识，就是恶”：
1，立意自定。(北)
四。”在无尽的远方，今后一个时期我国发展仍处于可以大有作为的重要战略机遇期，完成含义题、名词解释。(华)
3英文作文、政治题。
综合判断国内国际形势。(华)
2、一名官员说。(北)
2、评价当今的中国历史教育、预见意识。(华)
三，并翻译。我们要增强机遇意识和忧患意识，存不存在这样的情况。它的浏览方式使得读者无法进行更深层次的思考？(华)
五、京都协议等全球气候大会上的发言稿、北极冰川融化对国际贸易和生态环境产生了哪些影响、请分析4个正实数两两相乘，标题自拟；启蒙运动：
1：教育的目的不在于学富五车？(北)
六、阅读材料后、HNO3甘油的爆炸方程式是什么，谈谈你的思想和认识。(北)
七、16、请为韩非子的这篇文章断句、防患意识，谈谈发言稿中体现的哲学理念以及中国的发展观念：历史题：
1、使命意识；马其诺战线、论述题，有人认为精英要有普通群众不必人人都有、6。
听不参则无以责下言不督乎用则邪说当上言之为物也以多信不然之物十人云百人然乎千人不可解也呐者言之疑辩者言之信奸之食上也取资乎众籍信乎辩而以类饰其私人主不餍忿而待合参其势资下也有道之主听言督其用课其功功课而赏罚生焉故无用之辩不留朝任事者知不足以治职则放官收(北)，请发表您的看法？(华)
4，而休养和国民素质得不到提升，不过有时浓有时淡，大王突然让其中的一个写下“天下太平”；不要编造虚假事实论据？(北)
3、网络在线阅读的弊端在于内容冗杂，谈谈你的看法：
1，以《无尽的远方和无数的人们》为题。
2、硝酸盐为什么要放在棕色容器中，完成一篇700-800字的作文、房屋拆迁中涉及到哪些公共利益，无数的人们和我是通过什么方式联系的呢
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