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二元函数极限的求法与技巧探讨
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一类二元函数极限存在性的判别方法
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关于二元函数的极限不存在
要证明F（x,y）= xy/(x+y）当P(x,y)趋向于（0,0）时极限不存在。应该按什么路径趋向于（0,0）时才能证明？？
提问时间： 21:46:16提问者：
y=x,y=x^2-x
回答时间： 21:57:06
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京公安备110-1081940二元函数极限的求法和极限不存在的判断_文档库
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二元函数极限的求法和极限不存在的判断
高校理科研究
二元函数极限的求法和极限不存在的判断
山东政法学院
［摘要］极限方法是研究函数最主要的方法之一，函数极限是高等数学中的重点、难点内容。文章通过具体例子给出了求二元函数极限的几种方法和二重极限不存在的判断方法。［关键词］二元函数极限二重极限引言
二元函数极限定义[1]设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某空心邻域有定义，如果对于任意给定的正数ε>0，总存在正数δ使得当0<PP0=恒有f(P)-A<ε，称常数A为函数z=f(x,y)当姨00<δ时，
P(x,y)趋于P0(x0,y0)时的极限。
limf(x,y)=A或limf(P)=A记为：
x→x0x→y0
为区别二元函数极限与一元函数极限，称二元函数极限为二重极限。
教材中并没有给出二元函数极限的求法，下面结合教学过程给出二重极限的求法和判断二重极限不存在的方法。
一、求二元函数极限的方法1、若能够事先看出极限值，则可以用ε-δ方法证明，直接写出二元函数的极限值
例1、求极限limx+yx→x0
例4、计算二元函数的极限lim(x2+y2)sinx+y
(x,y)→(0,0)分析：极限中的二元函数含有x2+y2，考虑二元函数的极坐标变换
x+y(sinθ+cosθ)
x=ρcos(θ)，y=ρsin(θ)，使得0≤(x2+y2)sin22=ρ2sin≤ρ2
由于函数的左端不含未知数而右端只含有一个未知数ρ，对经过放
缩后的函数利用迫敛性有0≤lim(x2+y2)sin≤limρ2=0
ρ→0ρ→0
在运用极坐标变换时注意，当利用极坐标变换时经过初等变换后
若化简后的函数满足f(x,y)-a≤g(ρ)→0用迫敛性得函数的极限为a，
的函数为g(ρ,θ)，但对于某个固定的θ0，g(ρ,θ0)→0，仍不能判断函数的极限是a。
5、利用对数变形求二元函数的极限一般地，对于二元幂指函数，通常采用对数恒等变形的方法求二元函数的极限。
例5、求二元函数的极限lim(x2+y2)
(x,y)→(0,0)
分析：通过观察极限中的二元函数知分子是分母的高阶无穷小，
故极限应为0。定义证明：坌ε>0，因为-0≤+4444x+y，则x+y-0≤≤x2+y2，故要使-0<ε只要取δ=x4y4
+≤x2+y2≤ε+ε<ε，故极限为0。2、利用初等函数的连续性和极限的四则运算性质求二元函数的极限
利用函数的连续性求函数的极限时，注意保证函数在P0(x0,y0)处有定义，这样就可以把求函数在P0(x0,y0)点处的极限转化为求函数在P0(x0,y0)处的函数值f(P0)。
例2、求二元函数的极限limx-xy+3x→0分析：通过综合运用对数恒等变形、不等式放缩、换元等方法求极限
(x,y)→(0,0)
lim(x+y)=lime
(x,y)→(0,0)
x2y2x2y2ln(x2+y2)
(x,y)→(0,0)
x2y2x2+y2ln(x2+y2)
y≤(x+y)≤x2+y2→0，由于0≤x令x2+y2=t则(x,y)→(0,0)
lim(x2+y2)ln(x2+y2)=limtlnt=0,故lim(x2+y2)=e0=1。
(x,y)→(0,0)
6、将二元函数转化为重要极限的形式，利用重要极限求二重极限1例6、计算lim1+
lim分析：首先经过恒等变形凑成重要极限的形式：
1+1≤xx=exx
分析：有理函数x-xy+3在P0(0,1)点连续，根据连续函数的性质
（极限等于在这一点处的函数值）知极限为函数在P0(0,1)处的函数值-3。
3、使用迫敛性（两边夹）法则求二元函数的极限
迫敛性是求一元函数极限的有力方法，对于二元函数极限也有类似的性质：设函数f(x,y)在P0(x0,y0)的邻域U(p0)有定义且同时满足：
limg(P)=limh(P)=A（1）g(x,y)≤f(x,y)≤h(x,y)（2）
1+1≤xx≤x
利用一元函数重要极限得lim
7、先分子、分母有理化再化简求极限xy
分析：对二元函数分母有理化并求极限得例7、计算二元函数的极限lim
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
则函数limf(P)=A。使用迫敛性求二元函数的极限，关键是经过适当
放缩，构造出同时满足上述两个条件的g(x,y)和h(x,y)。
y+y4)例3、求二元函数的极限limsin(x
xy=limxy(+1)=lim姨+1=2
(x,y)→(0,0)姨-1(x,y)→(0,0)
二、判断二元函数的极限不存在
二元函数的海涅归结原理：limf(x,y)=a圳坌点列{Pn(x,y)}若Pn→lim
(x,y)→(x0,y0)
分析：对于上述二元函数当(x,y)→(0,0)时，分子、分母极限都是零，
0故上述极限是型。注意到对于充分小的变量x有sinx≤x，故sin(x2y+y4)≤x2y+y4，
sin(x2y+y4)x2y+y4
原函数满足不等式0≤≤。
上面不等式的左端为0，根据二元函数的迫敛性：如果不等式的右
则函数的极限为0。端的极限也是0，
x2y+y4x2yy4
≤+≤y+y2故当(x,y)→(0,0)时极限
令g(x,y)=0，h(x,y)=y+y2，由迫敛性知，二元函数的极限为0。4、利用极坐标变换求二元函数的极限
考虑用极坐标变换：x=ρcos(θ)，y=ρsin(θ)当二元函数中含有x2+y2项时，
通过综合运用恒等变换、不等式放缩等方法将二元函数f(x,y)转化为只含有参ρ的函数g(ρ)，进而求二元函数的极限。
P0，且Pn≠P0，则极限limf(Pn)=a
由二元函数的海涅归结原理知，如果二元函数f(x,y)在P0(x0,y0)点处
的极限为a，是指当函数定义域内的点P(x,y)以任意路径趋于定点P0(x0,y0)时，二元函数f(x,y)的极限都是a。因此，若存在定义域内的两条不同
函数f(x,y)有不同的极的路径，当P(x,y)沿不同的路径趋于点P0(x0,y0)时，
限或某一条路径下的极限不存在，则f(x,y)在点P0(x0,y0)的极限不存在。常用这种在定义域内取不同的路径的方法证明函数在某一点处的极限不存在。
1、在函数定义域内取两条不同的路径，若函数沿着某条路径极限不存在，则二元函数的极限不存在
证明二元函数f(x,y)=2xx当(x,y)→(0,0)时极限不存在。例1、
证明：通过上述分析取路径y=-x2时，当x趋于零时变量y的值也趋于零，把y=-x2代入有lim2xx=limx极（下转第４５７页）
(x,y)→(0,0)x→0
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二元函数极限的求法和极限不存在的判断
作者：唐新华
作者单位：山东政法学院
英文刊名： SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
年，卷(期)：2009，""(18)
被引用次数：0次
参考文献(2条)
1.吴赣昌高等数学 2006
2.马顺业数学分析研究 1996
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