以知fx是一个定义在R上的函数求证gx=fx+f-x是既奇又偶函数数hx=fx-f(-x)

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2012-02-02 16:22 标签： 既奇又偶函数
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fx为定义在R上的偶函数,能否证明出f（1+x）=f（1-x）?
小超◆892km
不能,反例f（x）=x^2为定义在R上的偶函数,但f（1+x）=（1+x）^2,而f（1-x）=（1-x）^2,易见不恒相等.
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定义在R上的函数fx 满足f（x+1）=-f（x） 若fx是偶函数,当x属于（0,1） f（x）=x+1 则当fx属于（1,2）的解析式.那么f（x+1）=f（1-x）时，判断fx奇偶性。还有f(x)=f(x-2)这一步没看懂。为什么是-2不是+2？
根据条件可知：f(x+2)=-f(x+1)=-(-f(x))=f(x),所以f(x)以2为周期.因为f(x)是偶函数,由在(0,1)上f(x)=x+1,可知在(-1,0)上f(x)=f(-x)=-x+1,从而在(1,2)上f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.再回答：x属于(1,2)时,x-2属于(-1,0)就可以利用f(x)在(-1,0)上的解析式了.f(x)以2为周期,f(x-2)同样等于f(x).f(x+1)=f(1-x)说明f(x)关于直线x=1对称,不能说明奇偶性的.
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根据条件可知：f(x+2)=-f(x+1)=-(-f(x))=f(x)，所以f(x)以2为周期。因为f(x)是偶函数，由在(0,1)上f(x)=x+1,可知在(-1,0)上f(x)=f(-x)=-x+1,从而在(1,2)上f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x
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设函数f（x）与g（x）的定义域是x∈R且x≠±1，f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）=．求：f（x）和g（x）的解析式．
∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，∴f（-x）=f（x），且g（-x）=-g（x）由&&&&&&&&&&& &①得，即&& ②联立①②解得：2-1，2-1．
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题目给出了相同定义域上的两个函数，且给出了两函数解析式的和，可借助于f（x）和g（x）的奇偶性，取x=-x，得到关于f（x）和g（x）的另一方程，联立方程组求解即可，
本题考点：
函数奇偶性的性质．
考点点评：
本题考查了函数的奇偶性，考查了方程思想，解答此题的关键是借助于函数的奇偶性得到关于f（x）和g（x）的另外一个方程，是求函数解析式的一种方法．
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