《代数学》,Algebra,音标,读音,翻译,英文例句,英语词典
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1)&&Algebra
[英]['aeld??br?]&&[美]['aeld??br?]
《代数学》
The preliminary discussion about the source of Omar Khayyam s Algebra;
奥马·海亚姆《代数学》来源初探
The Preliminary Discussion about the Source of Al-Khwārizmī s Algebra;
花拉子米《代数学》探源
2)&&modern mathematics
Electromagnetic measuring technology,from its appearance to today s rapid development,is nearly related with the advancement and application of mathematics,especially modern mathematics.
特别是现代数学对于现代电磁测量技术的作用更不容忽视。
The modern mathematics has interpenetrated with the other fields, and it has become more and more highly abstract as well.
现代数学与其他领域互相渗透,同时也越来越高度抽象化;社会实践与社会管理是人类最基本的社会活动,运用现代数学思维来解决社会问题,即数学思想的社会化,是数学教学的必要训练。
According to the problems that the modern science and technology put before mechanics, we have briefly reviewed the domain of the modern mathematics and methods related to the modern mechanics.
根据当代科学技术向力学提出的问题,简要综述了现代力学所涉及的现代数学领域和方法。
3)&&modern mathematics
Through discussing the development of modern mathematics and the application of it ,this essay puts an emphasis on the importance of mathematical thought,and then strengthens the significant role in guiding people s everyday life.
本文通过对近代数学的发展和生活中数学运用的讨论,强调建立数学思维的重要,增强用数学思维指导人们日常生活的重大意义。
As a famous puzzle in the history of mathematics, “Why modern mathematics was founded in the West instead of China” is a sub item of Dr.
著名数学史难题 :“近代数学为什么没有在中国产生而在西方建立”,是“李约瑟难题”的子问题 ,近 30年来 ,海内外学者在解释这一数学史难题时 ,提出了各种观点 ,但细究起来不难发现 ,很多观点均存在着不完备性 ;这个问题确实需要再研讨 ,即使没有共识 ,也会给人们许多启迪。
In mathematical history the famous problem why modern mathematics didn t emerge in China but in the West is a subset of J.
著名数学史难题 :“近代数学为什么没有在中国产生而在西方建立”,是“李约瑟难题”的子问题 ,近三十年来 ,海内外学者在解释这一数学史难题时 ,提出了各种观点 ,但细究起来不难发现 ,很多观点均存在着不完备性 ;数学创新的严重缺失是“李约瑟难题”数学问题的部分谜
4)&&algebra
[英]['aeld??br?]&&[美]['aeld??br?]
About counterexamples in algebra;
代数学中的若干反例简析
Study on the literature of Vander Waerden: Modern algebra ;
对范德瓦尔登《近世代数学》著作的研究
There exists mutual transformation relationship among algebraic conceptions.
代数学中有许多概念之间既相互联系、又相互转化,这种演进关系不仅仅有理论研究方面的需要,也有实际应用方面的刺激。
5)&&Akgebra teaching
6)&&ancient mathematics
The paper organizes the Chinese ancient mathematics from cultural perspective.
文章从文化层面上对中国传统数学进行梳理,通过中西方传统文化的比较,对中国古代数学的发展和衰退做出归因分析并提出相应的建议。
Ancient mathematics of China had contributed greatly to world civilization.
介绍了我国古代数学对于世界文化的伟大贡献,用充分的例证说明,早在古代,我国数学思想就已经为农业生产的实践需要而服务。
The variable thoutht of Chinese ancient mathematics is expounded in terms of coordinate thought,the thought of the equation and function,the limit idea and calculus thought which had underlain the Chinese ancient mathematics.
在我国古代数学中,蕴涵着丰富的变量思想,包括坐标思想、函数与方程思想、极限思想与微积分思想,并且具有自己的特色。
补充资料：代数学
代数学algebra&&&数学中的基础分支。历史悠久。它在研究对象、方法和中心问题上经历了重大的变化。初等代数学（或称古典代数学）是更古老的算术的推广和发展，抽象代数学（曾称近世代数学）则是在初等代数学的基础上产生、发展而于20世纪形成的。&&&&发展简史&在欧洲，Algebra一词最初来源于9世纪阿拉伯数学家和天文学家花拉子米的重要著作的名称。清初输入中国时，译为阿尔热巴拉（梅瑴成，1761），后改译为代数学（李善兰，1835）。&&&中国古代在初等代数学方面，有光辉的成就。初等代数学中的正负数加减运算和求联立一次方程组与正系数的二次方程的数值解是中国古代数学家的发明创造，且早就见之于《九章算术》（成书不迟于公元1世纪）和魏晋刘徽的《九章算术》注（263）。求正系数的三次方程的数值解&，&在唐初王孝通《缉古算经》（626&）中已经出现。中国古代代数学在11～13世纪宋、元间达到了发展的高峰。&&&古代巴比伦、埃及、希腊、印度、阿拉伯等文明古国也对初等代数学的发展，作出了重要贡献。例如希腊丢番图的一次与二次不定方程的解法（&250年左右）；印度婆罗摩笈多（7世纪）和婆什迦罗第二（12世纪）的二次方程一般解，后者认识到负根的存在；阿拉伯的花拉子米的二次方程一般解法（允许无理数的存在）、奥马·海亚姆（12世纪）的三次方程的圆锥曲线求解法等。&&&近代中国数学家首先在抽象代数学方面工作的是曾炯之。他曾受教于E.诺特。代数学的发展实始自华罗庚。从1938年秋起，他领导了一个抽象代数学讨论班，从有限群论开始，他和讨论班的其他参加者得到了一些有限群论的结果。自40年代初至50年代间，华罗庚在体论、矩阵几何、典型群三方面进行了系统而深入的研究，作出了重要的贡献。他运用(华)恒等式的技巧，证明了著名的（华）定理：体的半自同构必为自同构或反自同构（1949），从而证明了特征不为&2的体上的一维射影空间的基本定理。他对矩阵几何的研究，从初期的域推广到体而更加完整。在体上的矩阵几何，是体上的代数几何学的开端。他运用独特的矩阵方法，在体或整数环上的典型群的自同构和构造的研究方面，特别是对较困难的低维情况，取得了优于其他已知方法的结果。由于他和在他影响下其他数学工作者在这方面取得的一系列结果，在国际上被称为中国学者的矩阵方法。还应指出，华罗庚在多元复变函数论方面的重要贡献，与群表示论有密切的联系。周炜良在代数几何方面有重要贡献。&&&&学科简介&&&&初等代数学&&，研究数字和文字的代数运算(加法、减法、乘法、除法、乘方、开方)的理论和方法；更确切点说，研究实数或复数和以它们为系数的多项式的代数运算的理论和方法。它的研究方法是高度计算性的。它的中心问题是实或复系数的多项式方程（或称代数方程）和方程组的解（包括解的公式和数值解）的求法及其分布的研究，因此它也可简称方程论。它的演变历史久远，中国和其他文明古国都有贡献，而在欧洲则于16世纪（文艺复兴后期）、17世纪系统地建立起这门学科，并继续发展到19世纪的前半叶。随着电子计算机的广泛而深入的使用，有些内容的新发展已归入计算数学的范围，形成了“数值代数”。&&&抽象代数学是在初等代数学的基础上，通过数系的概念的进一步推广或者可以实施代数运算的对象的范围的进一步扩大，逐渐发展而形成的；它自18、19世纪之交萌芽，不断成长而于20世纪20年代建立起来。抽象代数学研究的对象是非特定的任意元素集合和定义在这些元素之间的、满足若干条件或公理的代数运算，也就是说，它以各种代数结构（或称系统）的性质的研究为中心问题。抽象代数学的研究方法主要是公理化的。自20世纪40年代中期起，由各种代数结构的公理出发研究它们的性质，发展了所谓抽象代数学。抽象代数学就是以研究数字、文字和更一般元素的代数运算的规律和由这些运算适合的公理而定义的各种代数结构（群、环、域、模、代数、格等）的性质为其中心问题的。由于代数运算贯穿在任何数学理论和应用问题里，也由于代数结构及其元素的一般性，抽象代数学的研究在数学中是具有基本性的。它的方法和结果渗透到那一些与它相接近的各个不同的数学领域中，成为一些有新面貌和新内容的数学领域，例如代数数论、代数几何、拓扑代数、李群和李代数以至代数拓扑学、泛函分析等。这样，抽象代数学就对于全部现代数学的发展有着显著的相互影响，并且对于一些其他的科学领域，如理论物理、结晶学等，也有重要的影响。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。花拉子米 -
花拉子米 -
　　中世纪家。出生波斯北部城市花拉子模(现属苏联),曾长期生活于巴格达,在阿拔斯王朝哈里发马蒙的朝廷中任职。对天文历法、地理地图等方面均有所贡献。他的著作,通过后来的拉丁文译本,对欧洲近代科学的诞生产生过积极影响。他有两部数学著作传世。第一部只有拉丁文译本，书名为《花拉子米算术》(Liber Algorismi)，书中介绍了印度传入的十进记数法和以此为基础的算术知识。现代数学中算法(algorithm)一词即来源于这部著作的书名，即花拉子米的人名。第二部著作的书名为《阿尔热巴拉和阿尔穆卡巴拉》(al-jabr w'almuqabala意为还原与对消,亦即方程两端的移项和同类项合并)。此书共分三部分,第一部分是关于一、二次方程的解法，他首次给出二次方程的一般解法。这一部分在12世纪被单独译为拉丁文，而且有不同的两个译本，在欧洲一直流行到16世纪。此书的书名后来衍变成为algebra,即代数学一词。书的第二部分是实用测量术,第三部分是遗产计算问题。在天文历法方面,他编成的天文表曾在阿拉伯国家长期流行，译成拉丁文之后曾被用作编制的依据。在地理方面，他也有著作传世。他还曾制作过阿拉伯世界的地图。&
花拉子米 -
花拉子米 -
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保存二维码可印刷到宣传品第三节 代数学
　　公元820年，花拉子米写了一本《代数学》．它的阿拉伯文书名是《ilm
al-jabr wa’lmuqabalah》．比较流行的一种说法认为现在西文中代数学一词algebra由此书名中的al－jabr脱胎而来．al－jabr原意是“还原”，根据上下文的意思，是指把负项移到方程另一端变成正项，方程才能平衡．muqabalah意即“化简”或“对消”，是指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．书名直译应为《还原与对消的科学》．al－jabr译成拉丁文是algebra，而muqabalah被省略了，algebra则逐渐成为代数学这门科学的名称．这一名称的起源完全符合代数学本身的特点．代数的基础就是脱离具体数字以一般的形式来考虑算术运算，它的课题首先是提出解方程的变形规则．花拉子米正是以某种变形规则的名称来为自己的书命名，从而体现了代数学的真髓．
　　《代数学》用十分简单的例题讲述了解方程的一般原理．它的条理清楚、通俗易懂．正象花拉子米在序言中所说：“在这本小小的著作里，我所选取的材料是数学中最容易和最有用途的．是人们在处理下列事物中经常需要的：在继承遗产、分配财产、审理案件、商品交易，以及丈量土地、挖掘沟渠等各种场合中，……”《代数学》由三部分组成：第一部分讲述现代意义下的初等代数，第二部分论及各种实用算术问题，最后一部分(也是最大的一部分)列举了大量的关于继承遗产的各种问题．
　　在第一部分里，花拉子米系统地论述了六种类型的一次和二次方程的解法．这些方程由下列三种量构成：根、平方、数．根相当于现在的未知数x，平方就是x2，数是常数项．《代数学》完全用文字叙述，没有出现任何字母和缩写符号．为了表达方便起见，我们同时用现代的符号来表示这六种方程：
　　1．平方等于根	ax2=bx
　　2．平方等于数	ax2＝c
　　3．根等于数	ax=c
　　4．平方和根等于数	ax2＋bx=c
　　5．平方和数等于根	ax2＋c＝bx
　　6．根和数等于平方	bx＋c＝ax2
　　《代数学》的前六章，依次讨论了上述六种类型方程的解法．例如，第四章有这样一个问题：“一个平方数及其根的十倍等于三十九”．此问题即方程
　　x2＋10x＝39．
　　花拉子米把求解过程叙述为：“取根数目之半，在这里就是五，然后将它自乘得二十五，同三十九相加得六十四，开平方得八，再减去根数的一半，即五，余三．这就是根．”用现代的符号表示这一过程，即
　　对于一般方程x2＋px＝q，上述结果相当于给出求根公式
　　在第五章，花拉子米求出了方程x2+21＝10x的两个正根，相当于
的结果小于自由项时，开平方是不可能的，此时方程无根．这相当于指出我们现在称之为判别式的必须非负．
　　以上六种类型包括了具有正根的一次、二次方程的所有可能情形．作者的讲解是如此地详尽和系统，使读者很容易掌握其解法．在这种意义上，花拉子米后来被冠以“代数学之父”的称号．
　　从第七章开始，花拉子米转向方程的根的几何证明．
　　例如，对于方程x2＋10x＝39，花拉子米给出了两种不同的几何证明．
　　第一种证法是在边长为x的正方形的四个边上向外作边长为x和
形，然后把图形补充为边长为(x＋5)的大正方形(图6．3)．在两种方法中，花拉子米都利用已知方程x2＋10x＝39求出大正方形的面积为64，然后开方，再求出x来．
　　花拉子米的几何证明明显地受希腊几何学的影响，许多证明都可以在欧几里得《几何原本》的第Ⅱ篇中找到原型．
　　花拉子米之后，埃及学者艾布卡米尔(Abū
Kāmil，约850―约930)首先继承了他的代数学并使之发扬光大．关于艾布卡米尔的生平，现在知道得很少．据有关传记材料记载，艾布卡米尔是伊斯兰文化全盛时期(9世纪中至11世纪)著名的数学家．他在算术、代数和实用几何方面都有很大贡献．
　　艾布卡米尔的一些数学手稿和译文已经保存下来，其中最重要的一部论著是大约写于公元900年的《代数书》(Kitab
fi al-jabr wa’l－muqabala)．《代数书》问世后，在很长时间内被广泛利用，在传入西方各国之后产生很大影响，因此在数学史界被认为是艾布卡米尔硕果仅存的著作．
　　《代数书》主要讨论二次方程．艾布卡米尔继承了花拉子米关于二次方程的理论，并使之得到进一步的发展．书中有大量题目出自花拉子米的《代数学》．此外，艾布卡米尔还用相当大的篇幅研究那些不同类型的方程并给出多种解法．花拉子米的《代数学》中列举了40个问题，而艾布卡米尔的《代数书》中共有69个问题．
　　艾布卡米尔是第一个随意使用未知数的高次幂的伊斯兰数学家．在他的著作中，出现了直至x8的各次方幂(x7除外)．他称x3为“立方”，称x4为“平方平方”，称x5为“平方平方，根”，x6――“立方立方”，x8――“平方平方平方平方”．事实上，艾布卡米尔对这些方幂所采用的名称是按指数相加的原则施行的．
　　在《代数书》中，艾布卡米尔用大量篇幅阐述了代数运算法则．包括单项式、二项式及其它各种形式的代数运算．他还提出了求两个二次根式的和与差的一般运算法则：
　　有趣的是，这些公式又多次出现在后世数学家的著作中．例如，在11世纪阿拉伯数学家凯拉吉，印度12世纪数学家婆什迦罗(Bhaskara
Ⅱ，1114―1185)，以及意大利著名数学家斐波那契(L．Fibonacci’约1170―约1240以后)的书中都出现了完全一样的公式．
　　艾布卡米尔不仅专门讨论了二次根式的运算法则，而且把这些结果运用到二次方程的理论中去．他所列举的方程，不仅根可以是无理数，而且方程的系数也可以是二次根式．他这样毫无顾忌地使用无理数，在花拉子米之后是绝无仅有的．正因为出现了无理数系数，而使解题过程十分复杂，艾布卡米尔也不得不放弃几何证明．《代数书》中，出现了许多十分高超的解题技巧和复杂的运算过程．
　　艾布卡米尔的代数著作在两个方面比花拉子米的《代数学》有明显的进步．一方面，理论水平有所提高．如前所述，艾布卡米尔不仅对各类方程的解法都指出其任意性，而且还十分注意用代数恒等式来化简方程，他还特别指出了代数恒等式的普遍意义．另一方面，艾布卡米尔的代数学更具有一般性．他引进了大量的繁琐的代数运算(也用文字叙述)，在具无理数系数的方程中，已放弃了几何解法，这无疑是一大进步．
　　艾布卡米尔的《代数书》问世后产生了重要的影响．传入欧洲后对宣传花拉子米的代数学起到很大作用．它的部分内容还被斐波那契收入其《实用几何》(Practica
geometriae’1220)中，这是一部专门讨论代数在几何中的应用的著作．
　　继花拉子米、艾布卡米尔之后，另一个对代数学有重要贡献的是11世纪巴格达的学者凯拉吉(al－Karajī卒于1019―1029年间)．
　　凯拉吉以两部数学著作闻名于世．一本是《算术全书》(hisāb
al－jummal)，其中有关代数学的章节可以认为是他写于1010年的内容极其丰富的代数著作的序篇．这部代数书的书名是．《发赫里》(ал-Фахри，al-Fakhr)．根据凯拉吉的自述，他在写这本书的过程中，忍受着苛政与暴力的干预，久久未能完成．后来遇到一位有远见的执政者――发赫里(Fakhr
al-Mulk)，他是学术的庇护者．在他的支持下凯拉吉才写完了这本书．为了纪念这位恩主，就以他的名字来命名这本书．
　　《发赫里》包括卷头语和两大部分．在卷头语中，凯拉吉阐明了借助于已知量求未知量是代数学这门学科的宗旨．并指出，具有一般性的代数运算法则是求未知量的有力工具．这就进一步明确了解方程是代数学的基本课题．
　　11世纪，阿拉伯学者已经熟悉了丢番图的《算术》书．凯拉吉在《发赫里》中大量地引用《算术》书的内容，他不仅把先辈们关于二次方程的理论网罗殆尽，而且无论在理论还是应用方面都出现了一系列新内容．他引进的代数运算比艾布卡米尔的更丰富、更系统，他所选用的习题比花拉子米甚至丢番图的更多样化．
　　例如，凯拉吉给出了下面关于三次根式运算的关系式：
　　特别引人注意的是，凯拉吉系统地研究了含有三项式的由未知数的任意次幂及其平方所组成的方程，如
　　ax2n+bxn=c，
　　ax2n+c=bxn，
　　bxn+c=ax2n，
　　ax2n+m=bxn+m+cxn．
　　其中a，b，c都是正数．这类方程原则上都能化为二次方程，卡拉吉分别以4次、6次和7次方程为例说明求xn的方法．当然，零解他没有考虑在内．为了求出上述各方程的根，凯拉吉还给出了开任意n次方根的方法．
　　此外，凯拉吉还应用数学归纳法证明了下列求和公式
　　在凯拉吉的著作中，可以发现大量的来源于印度和希腊的材料，也有相当多的内容体现了伊斯兰各民族古老的文化传统．总之，《发赫里》一书由三种文化汇合而成，我们还很难估计出各种文化所占的比例．
　　作为方程学说的代数学，它的发展在波斯数学家奥马海亚姆的著作中达到了新的高度．他在自己的代数著作中，明确地把代数学定义为解方程的科学：“代数学是一门有技巧的科学，它的研究对象是纯粹的数(正有理数)和可度量的量(指几何上的各种量：线、面、体等)．虽然这些数和量是未知的，但可以通过已知的‘东西’来确定它们．精通这门科学在于掌握确定算术的和几何的未知量的方法．”奥马海亚姆的这种定义，直到十九世纪末都保持着它的意义．
　　在阿拉伯的代数学文献中，还有大量的不定方程问题．例如，艾布卡米尔就写过专门论述线性不定方程整数解的著作――《算术技术珍品》
　　有三种情形：唯一，无解，多组解．对每一种情形他都给出了具体的例子．
　　值得注意的是，艾布卡米尔所举的6个例子都以中国古代算书《张丘建算经》中“百鸡问题”的形式出现．印度9世纪的数学家也曾研究过“百鸡问题”，因此，人们猜测，“百鸡问题”是从中国经印度传入阿拉伯国家的．
　　《算术技术珍品》中第1个问题相当于下列方程组
　　艾布卡米尔求出了这个方程组的唯一解是x＝19，y=80，z=1．
　　第5题相当于方程组
　　正整数x要在y＝160时才得到，不符合第一个方程，因此问题无解．
　　第6题是艾布卡米尔关于不定方程的一个最杰出的代表作，相当于下列方程组
　　消去v得
　　艾布卡米尔构造了两列整数解．他首先取
　　y＝1，3，5，…；z＝3，6，9，…；u＝2，6，10，…
　　由问题的实际背景分析得知以上各未知量应满足
　　y≤59，z≤54，
　　由此可得出1443组解．然后，又取
　　y＝2，4，6，…；z=3，6，9，…；u＝4，8，12，…
　　并根据题意有
　　y≤58，z≤51，
　　从而又得出1233组解，此方程组总共有2676组解．
　　在凯拉吉的《发赫里》中，也出现了一些关于不定方程的问题，其大部分取材于丢番图的《算术》书．这些具有东方数学传统特点的题材是很引人入胜的．例如，有一个题目相当于下列方程组
　　它最初出现在丢番图的《算术》中，后来传到欧洲，在斐波那契的著作中再现．后者对某些系数作了一些变动．
　　《发赫里》中，还出现了形如y2＝ax2＋bx＋c的不定方程，凯拉吉对这种方程进行了一般的讨论．除了一次，二次的方程外，凯拉吉还讨论了高次不定方程．例如，对方程组
　　他设y=mx，z＝nx，则由原方程可得
　　m2-n2=a-b，
　　则问题转化为求两数m，n，使其平方之差等于已知数a－b．而这个问题他又专门进行了研究．
　　此外，凯拉吉还研究了方程x3+y3＝z2，x2－y2＝z3，x2?y3＝z2，x3＋10x2＝z2的整数解和x2-y3＝z2，x3＋y2=z3的分数解等等．
　　阿拉伯代数学也有很大的局限性．首先，阿拉伯人没有引进负数(艾布瓦法的著作中出现了唯一的例外)．为了避免负数，他们对方程进行了细致的分类．解方程过程中，放弃了负根和零根．其次，阿拉伯人没有使用字母或缩写符号，他们的代数著作完全用文字叙述．这两方面都比印度人倒退了一步．来自中文百科专业版
　　代数学（：Daishuxue；：Algebra），中研究各种代数结构(有代数运算的集合)的(运算)性质的分支。初等代数一般在中学时讲授，介绍代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么，以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。
　　代数的研究对象不仅是数字，而是各种抽象化的结构。例如整数集作为一个带有加法、乘法和序关系的集合就是一个代数结构。在其中我们只关心各种关系及其性质，而对于“数本身是什么”这样的问题并不关心。常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。
　　代数学是在求解具体问题中诞生的。这些问题，诸如对任意多项式求根、对任意线性方程组求解等具有以下共同特征：①这些问题不是单一问题，而是一类性质相同的问题。②对于同类问题中的任一个问题，都能用通用的解法来求解。③求解时要求出全部可能的解。这些特征决定了求解代数问题时仅能借助于数或代数式的运算性质，如等量加(乘)等量仍相等、移项法则等，因此运算性质在求解代数问题时至关重要。初等代数教科书都体现出代数学是研究代数结构的运算性质，并用以解决各种问题。例如在代数课程中，首先要学整数的加减法，依次是乘除法，再后是分数的加减乘除、指数式及根式的运算以及各种代数式的运算，并靠这些运算解决一些实际问题。高等代数，要研究一般多项式求根和一般线性方程组求解的理论。除了数字运算外，运算对象也在不断扩充，加入了几何向量、多项式、n元向量、矩阵及一般线性空间中的向量和线性变换等。高等代数就是介绍这些对象的运算性质并用以解决各种问题的。
　　在发展历史上，代数学的研究对象、中心问题和研究方法是经历了重大变化的。“代数学”是西文“algebra”之译名，而“algebra”一词是9世纪阿拉伯人花拉子米的重要著作《al-jabr w’almuqabala》的书名演变而来。中国、古代巴比伦、埃及、希腊、印度、阿拉伯等文明古国对初等代数都有重要贡献，如掌握自然数和有理数的运算，把一些问题归结为一次、二次方程的求解等。
　　文字的表示法和各种代数符号的引入，可代替烦琐的语言描述。这项工作主要归功于16世纪与17世纪的法国数学家F.韦达和R.笛卡儿。此后，代数学成为各种数字(用文字来代表)以至多项式计算的理论基础。16世纪还发现了三次、四次多项式方程的解的一般公式。L.欧拉于1770年所著的《代数学引论》体现了当时代数学的状况，大致相当于今天的“初等代数”。
　　到18世纪以至19世纪初，由于实际问题的需要(如C.F.高斯为解决谷神星的轨道而计算一个八次多项式的根)，高次多项式方程的解法(研究根的计算与分布)逐渐成为当时代数学的中心问题。找到三次、四次多项式方程求解的一般公式后，人们试图对更高次多项式方程寻找类似的解法，但均徒劳无功。由此，人们的兴趣转向为：找出一个“无公式”的证明，来断定任意复系数多项式至少有一个复根。18世纪末，高斯粗略地给出了证明(1920年才有严格的证明)，其结果被称为代数基本定理。
　　由于以下三方面的发展，代数学的中心问题由高次多项式的求根问题转向研究各种代数结构，代数学的发展进入抽象代数学的阶段。
　　①在求出三次、四次多项式方程根的一般公式后，一个自然的问题是对于任意n次多项式方程
　　要找出由系数经加减乘除及开方所构成的公式来表示它的根(代数学上称为“用根式求解”)。这成为代数学上约3个世纪的首要问题。年间，N.H.阿贝尔证明了高于四次的多项式方程一般不能用根式求解。1832年E.伽罗瓦对这个问题给出更确切的解答(见伽罗瓦理论)。他引入了置换群、子群、正规子群、数域的扩域及群的同构等概念。1870年C.若尔当写出了置换群的专著，他还首先引入了无限群的概念。后来M.S.李、F.克莱因和H.庞加莱在微分方程、几何学(见埃朗根纲领)和自守函数的研究中，都借助于无限变换群。1854年，A.凯莱提出了有限抽象群的概念，直到19世纪80年代才创立了一般的(有限及无限)抽象群。从有限置换群的产生到抽象群定义的形成，这一发展过程是最终引向建立抽象代数学的第一个根源。
　　②在数论方面，18、19世纪之交，高斯研究过整系数二次型ax2+2bxy+cy2在一定的合成运算下成为一个交换群。从高斯研究整系数或有理系数的复数a+bi开始，德国数学家在代数数论的研究中引入了域、理想、模等概念，它们在数论发展中起着重要作用。
　　③线性代数和一些特殊的代数结构方面的研究，对建立抽象代数学起到了推动作用。19世纪中叶对复数的研究，启发了各种抽象的代数结构的引入，如G.布尔的逻辑代数或布尔代数的建立，W.R.哈密顿的四元数代数的提出，H.G.格拉斯曼的外代数以及A.凯莱的矩阵代数和八元数代数的建立。
　　上述发展中的共同特点是：很多具体的代数结构开始时均各自孤立地发展，并应用到数学、力学、物理各方面。进而数学家认识到(大致在19世纪后期)，对许多有联系的代数结构，抽出其共同特点进行综合研究，可提高效率。如置换群、高斯研究过的二次型的群、数域、多项式环或矩阵代数中的加法群以及变换群等，就可在下述形式下进行探讨。它们都是由一些元素或对象组成的集合，对该集合中任两个元素可由运算法则决定出集合中第三个元素。该运算法则满足结合律，且有单位元，有逆运算。这就是抽象群的概念。用这种观点去处理其他代数结构就产生出其他抽象的代数结构。这种观点虽然在D.希尔伯特等的数学公理化以前就已经形成，但数学公理化还是大大促进了人们对代数抽象方法的认同。在对前面三个发展方面的综合研究中，20世纪初德国的希尔伯特、E.施泰尼茨、E.阿廷、E.诺特及他们的同事、学生们的贡献巨大。代数学及代数运算的一般理论的近代观点得到确立，而B.L.范·德·瓦尔登的《近世代数学》(1930)综合了当时抽象代数学各方面的成果，对于抽象代数的传播与发展起了巨大推动作用。
　　因此，抽象代数学是以研究数字、文字和一般元素的代数运算的规律，以及由这些运算服从的公理而定义的各种代数结构的性质为中心的代数学，其研究的两个特点是：①常常把与某问题有关的对象(元素)组织成(定义成)一个可运算的代数结构，然后研究它的性质再用以解决具体问题。②在同构下考察运算性质，即真正注重的不是承载代数运算的集合，而是代数运算本身(的性质)。实际上，抽象代数中仅研究少数类型的代数结构，它们是在代数学发展中自然出现的最基本的几种。
　　群是最重要且最基本的代数结构。它有一个代数运算。群的推广有半群、拟群和么拟群。见。
　　环和域是具有两个代数运算的重要的代数结构。两个运算通常称为加法和乘法。整数环、多项式环和矩阵代数是环的重要例子。有理数域、实数域、复数域、有理分式域、有限域是域的重要例子。见环论、域论。
　　格是具有两个代数运算的另一个重要的代数结构。格的典型例子是一个给定集合中的子集合的系统，以子集合的交和并作为其运算。另一个例子是正整数的集合，运算是取最小公倍数和取最大公约数。
　　域上线性空间也是代数结构。它有加法运算，而域中每个给定的数与空间中所有向量的数量乘法作成一个一元运算，因而有很多一元运算。
　　模是把线性空间的基域换成环得到的更广泛的概念。线性空间、模及其中的线性变换以及与它们有关的问题构成了代数学中线性代数部分。
　　环A若又是某交换环K上的模，则称A为K上代数(结合代数)。过去把这种代数称为超复数系。
　　抽象代数的方法和结果应用到与它相关的数学领域中，便形成了新的数学领域，如代数数论、代数几何学、拓扑代数、李群和李代数，以及代数拓扑学、泛函分析等。因此，抽象代数对全部现代数学的发展有显著的相互影响，并对其他科学领域诸如理论物理、结晶学等也有重要影响。
　　20世纪中后期，模论得到进一步发展。代数学的一些新领域相继建立起来，如泛代数、同调代数学、范畴理论等。它们都是代数学中起统一作用的概念，重点不是研究单个代数结构中的运算性质，而是各自从某方面同时研究许多代数结构甚至许多其他数学结构。代数学(包括泛代数和范畴理论这样的新领域)的一些成果和方法直接应用到电子技术、信息技术和电子计算机技术中，产生了诸如代数编码学、代数密码学、语言代数学和代数语义学、代数自动机理论、系统学的代数理论等新的应用代数学领域。代数学又是离散数学的重要组成部分，并对组合数学的发展起着重要作用，产生了代数组合学分支学科。新应用也促进代数学中的一些代数结构，如半群、布尔代数、有限域等的发展。
　　中国古代，在初等代数方面有光辉的成就(见中国数学史)。《九章算术》和刘徽的《九章算术注》是中国古代数学的代表作。前者成书不迟于公元1世纪，书中的解方程组的方法及正负数加减法，当时在世界上遥遥领先。后者成书于3世纪，它引进了十进小数的方法，解决了求无理根的问题。到宋、元时期，中国古代数学发展达到顶峰，代表性成果有秦九韶的高次方程的数值解，它根据应用问题的条件立方程，并引进天元(未知数)的概念，称为天元术和四元术；与之相应出现的多项式的表达、运算法则及消元方法接近于近世代数；此外，还有增乘开方法和二项式展开系数表等。
　　中国古代代数学方面的工作与实际应用问题密切联系，着重数值计算。而西方则着重研究方程及根的性质，风格不同。中国古代虽已用天、地、人、物表示未知数，但没有发展成为文字的代数学。明代以后数学发展逐渐衰落。
　　中国近代首先在抽象代数方面工作的是曾烔之。但代数学真正在中国发展始自华罗庚。1938年，他领导的抽象代数讨论班在有限群方面取得成果。20世纪40～50年代，他在体论、典型群、矩阵几何方面进行系统而深入地研究，并有重要贡献。他的学生和追随者也得出许多有意义的结果。他们的方法在国际上被称为中国学者的矩阵方法。另外，华罗庚在多元复变函数方面的重要贡献与群表示论有密切关系。中国数学家周炜良在代数几何方面有重要贡献(见代数几何学)。中国代数学家还在群及表示论、半群、李群和李代数、环论和代数理论、代数数论及代数组合论方面取得很多有意义的重要结果。　
初等代数：学习以位置标志符(place holders)标记常数和变量的符号，与掌控包含这些符号的表示式及方程式的法则，来记录实数的运算性质。(通常也会涉及到中等代数和大学代数的部分范围。)
抽象代数：讨论代数结构的性质，例如群、环、域等。这些代数结构是在集合上定义运算而来，而集合上的运算则适合某些公理。
线性代数：专门讨论矢量空间，包括矩阵的理论。
泛代数, 讨论所有代数结构的共有性质。
计算代数：讨论在电脑上进行数学的符号运算的算法。
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