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北师大版八年级数学上册第三章3.1确定位置 培优习题（含答案）
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2015年分式 培优试题
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【红领巾】帹厤
1.去分母（如果有分母）； x+1/3>5x+62.去括号（如果有括号）； x+1>15x+18 3.移项（注意变号）； x-15x>18-14.合并同类项（和方程一样）； -14x>175.系数化为一（注意“”的符号改变）； x
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　　《奥数典型题举一反三:数学(8年级)》各章节编排与初中教学内容同步，编排科学、体例新颖。全书均设有（1）、知识?规律?方法。归纳知识要点，总结一般规律，提炼基本方法。（2）范例?解析?拓展。精选典型范例，深入分析讲解，纵向思维拓展。（3）检测?反馈?提高。选编一定量的与本章内容密切相关、难度适中、有较好区分度的习题，检测知识掌握情况，提高解题能力。（4）思路?点拨?详解。为师、生讲解练习之用，附详细解题过程，点拨思路、指导方法，每份试题实际上就是名师的辅导。书后所附的模拟试题是在认真研究了近几年全国各学科奥赛试题的指导思想、命题特点、题型配置的基础上精心设计的，供学生在复习训练结束时自我检测。
　　《奥数典型题举一反三:数学(8年级)》不同于一般的竞赛试题汇编和单纯的方法讲解，而是将所学内容按知识点结构归纳整理，由浅入深、循序渐进。读者通过对一个个知识点的学习，由点及面即可系统掌握所学内容。
第一章 实数
第一单元 无理数
第二单元 非负数的应用
第二章 二元一次方程组
第一单元 二元一次方程组
第二单元 二元一次方程组的应用
第三单元 不定方程
第三章 三角形
第一单元 三角形中的边角关系
第二单元 三角形的全等及其应用
第三单元 等腰三角形和直角三角形
第四单元 勾股定理与应用
第四章 四边形
第一单元 平行四边形
第二单元 特殊的平行四边形
第三单元 梯形
第五章 一次函数
第一单元 平面直角坐标系
第二单元 一次函数
第三单元 一次函数的应用
第六章 因式分解
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第二单元 因式分解（二）
第七章分式
第一单元 分式的化简
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八年级应用题分类解析培优训练(含答案)
八年级应用题分类【1.分式方程类】分式方程应用性问题联系实际比较广泛，灵活运用分式的基本性质，有助于应用问题中出现的分式化简、计算、求值等题目，运用分式的计算有助于解决日常生活实际问题．一、营销类应用性问题例1某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料0.5kg少3元，比乙种原料0.5kg多1元，问混合后的单价0.5kg是多少元？分析：市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：单价、总价、平均价等，要了解它们的意义，建立它们之间的关系式.解：设混合后的单价为0.5kg x元，则甲种原料的单价为0.5kg (x+3)元，混合后的总价值为()元，混合后的重量为依题意，得：2000??+????+3，乙种原料的重量为???1， + 4800???1= ??解得x?17经检验，x?17是原方程的根，所以x?17。即混合后的单价为0.5kg 17元．评析：营销类应用性问题，涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念，要结合实际问题对它们表述的意义有所了解，同时，要掌握好基本公式，巧妙建立关系式．随着市场经济体制的建立，这类问题具有较强的时代气息，因而成为中考常考不衰的热点问题．二、工程类应用性问题例2 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做210天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的3，厂家需付甲、丙两队共5500元．⑵ 甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．-1-分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为x天，y天，z天，可列出分式方程组．解：⑴设甲队单独做需x天完成，乙队单独做需y天完成，丙队单独做需z天完成，依题意可得：?11?6(x?y)?1，??11?10(?)?1，?yz?112?5(?)?．3?xz①②③1111111①×6＋②×10＋③×5，得x＋y＋z=5．④ 111④－①×6，得z=30，即z = 30， 111④－②×10，得x=10，即x = 10， 111④－③×5，得y=15，即y = 15．经检验，x = 10，y = 15，z = 30是原方程组的解．⑵设甲队做一天厂家需付a元，乙队做一天厂家需付b元，丙队做一天厂家需付c元，根据题意，得?6(a?b)?8700，?a?800，???10(b?c)?9500，?b?650，?5(c?a)?5500．?c?300．???由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．此工程由甲队单独完成需花钱10a?8000元；此工程由乙队单独完成需花钱15b?9750元． 所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．111评析：在求解时，把x，y，z分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解．-2-三、行程中的应用性问题例3 甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等．解：设普通快车车的平均速度为xkm／h，则直达快车的平均速度为1.5xkm／h，依题意，得828?6x828x=1.5x，解得x?46，经检验，x?46是方程的根，且符合题意．∴x?46，1.5x?69，即普通快车车的平均速度为46km／h，直达快车的平均速度为69km／h．分析：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，要要检验是否符合题意，即满足实际意义．四、轮船顺逆水应用问题例4
轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度分析：此题的等量关系很明显：顺水航行30千米的时间= 逆水中航行20千米的时间，即30千米20千米顺水航行速度=逆水航行速度．设船在静水中的速度为x千米／时，又知水流速度，于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示，问题可解决．解：设船在静水中速度为x千米／时，则顺水航行速度为(x?2)千米／时，逆水航行速度为(x?2)千米／时，依题意，得3020x?2=x?2，解得x?10．-3-经检验，x?10是所列方程的根．即船在静水中的速度是10千米／时．五、浓度应用性问题例5 要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为20%．分析：浓度问题的基本关系是：设加入盐x千克．根据基本关系即可列方程． 溶质溶液=浓度．此问题中变化前后三个基本量的关系如下表：40?15%?x2040?x解：设应加入盐x千克，依题意，得=100．5． 100(40×15%＋x) = 20(40＋x)，解得x?2．5是所列方程的根，即加入盐2.5千克． 经检验，x?2．六、货物运输应用性问题例6
一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙、丙三辆车每次运货物量不变，且甲、乙两车单独运这批货物分别运2a次、a次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了180t；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了270t．问：⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍；⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？(按每运1t付运费20元计算)分析：解题思路应先求出乙车与甲车每次运货量的比，再设出甲车每次运货量是丙车每次运货量的n倍，列出分式方程．解：⑴设这批货物共有Tt，甲车每次运xt，乙车每次运yt．∵2a?x?T，a∶y?T　　　∴x∶y?1∶2，即乙车每次运货量是甲车的2倍．⑵甲车每次运货量是丙车每次运货量的n倍，乙车每次运货量是丙车每次运货量的2n倍．-4-． 则180＋n= 270＋2n，解得所以这批货物总量为180＋180×2 = 540 (t)．∵甲车运180t，丙车运540－180 =360 (t)，∴丙车每次运货量也是甲车的2倍．1∴甲车车主应得运费：540×5×20 = 2160(元)，2乙、丙两车主各得运费：540×5×20 = 4320(元)．即应付甲车主运费2160元，付乙、丙两车车主运费各4320元．【2.一次函数类】确定解析式的几种方法：1. 根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题；（直表法） 2. 已经明确函数类型，利用待定系数法构建函数表达式；（待定系数法）3. 利用问题中各个量之间的关系，变形推导所求两个变量之间的函数关系式；（等是变形法）二、重点题型1. 根据各类信息猜测函数类型为一次函数，并验证猜想； 2.运用函数，构建函数模型解决（最值、决策）问题一、比较型例7东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元。该商场为促销制定了甲、乙两种优惠办法。甲：买1支毛笔就赠送1本书法练习本；乙：按购买金额打9折付款。某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔10支，这种书法练习本x(x&=10)本。（1）分别写出按甲、乙两种优惠办法实际付款金额y甲（元）、y乙（元）与x之间的函数关系式。（2）比较购买不同数量的书法练习本时，按哪种优惠办法付款最省钱。（3）如果商场允许既可以选择一种优惠办法购买，也可以用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和这种书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案。分析：只需根据题意，按要求将文字语言翻译成符号语言，再列出一次函数关系式即可。解：（1）y甲=10×25+5（x-10）=5x+200（x&=10）y乙=10×25×0.9+5×0.9×x=4.5x+225（x&=10）（2）由（1）有：y甲-y乙=0.5x-25若y甲-y乙=0 解得x=50若y甲-y乙&0 解得x&50-5-若y甲-y乙&0 解得x&50当购买50本书法练习本时，按两种优惠办法购买实际付款一样多，即可任选一种优惠办法付款；当购买本数不小于10且小于50时，选择甲种优惠办法付款省钱；当购买本数大于50时，选择乙种优惠办法付款省钱。（3）设按甲种优惠办法购买a(0&=a&=10)支毛笔，则获赠a本书法练习本。则需要按乙 种优惠办法购买10-a支毛笔和(60-a)支书法练习本。总费用为y=25a+25×0.9×（10-a）+5×0.9×（60-a）=495-2a。故当a最大（为10）时，y最小。所以先按甲种优惠办法购买10支毛笔得到10本书法练习本，再按乙种优惠办法购买50本书法练习本，这样的购买方案最省钱。说明：本题属于“计算、比较、择优”型，它运用了一次函数、方程、不等式等知识，解决了最优方案的设计问题。二.方案设计型/利润问题
(用列表法)列表法就是将题目中的各个量列成一个表格，从而理顺它们之间的数量关系，以便于从中找到函数关系的解题方法。例8某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知：生产一件A种产品需用甲种原料9kg、乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4kg、乙种原料10kg，可获利润1200元。（1）若安排A、B两种产品的生产，共有哪几种方案？请你设计出来。（2）设生产A、B两种产品获得的总利润是y元，其中一种产品的生产件数是x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中的哪种生产方案可以获得最大总利润。最大的总利润是多少？分析：本题中共出现了9个数据，其中涉及甲、乙两种原料的质量，生产A、B两种产品的总件数及两种产品所获得的利润等。为了清楚地整理题目所涉及的各种信息，我们可采用列表法。解：（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品是（50-x）件。可列出下表关系式：9??+4 50??? ≤360
3??+10 50??? ≤290
②解不等式组，得30&=X&=32因为x是整数，所以x只可取30、31、32，相应的(50-x)的值是20、19、18。所以，生产的方案有三种：生产A种产品30件，B种产品20件；生产A种产品31件，B种产品19件；生产A种产品32件，B种产品18件。 根据题意及上表可得：-6-（2）设生产A种产品的件数是x，则生产B种产品的件数是50-x。由题意得：y=700x+1200(50-x)=-500x+60000（其中x只能取30、31、32）∵-500&0∴所以y随x的增大而减小。当x=30时，y的值最大因此，按（1）中第一种生产方案安排生产，获得的总利润最大最大的总利润是：-500×30+（元）说明：本题是先利用不等式的知识，得到几种生产方案，再利用一次函数性质得出最佳生产方案。三、分段函数型例9我国是世界上严重缺水的国家之一。为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的办法收费。即一月用水10吨以内（包括10吨）用户，每吨收水费a元，一月用水超过10吨的用户，超过部分每吨按b元（b＞a）收费。设一户居民月用水x吨，水费y与x之间的函数关系如图所示。（1）求a的值，若某户上月用水8吨，应收水费多少元？（2）求b值，并写出当x大 于10时，y与x的函数关系式（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收费46元，求他们上月分 别用水多少吨？)解：（1）当x≤10时，有y=ax.将x=10,y=15代入,得a=1.5
用8吨水应收水费8×1.5=12(元)(2)当x＞10时,y=b(x-10)+15将x=20,y=35代入,得35=10b+15
b=2故当x＞10时,y=2x-5(3)因1.5×10+1.5×10+2×4＜46,所以甲乙两家上月用水均超过10吨.设甲乙两家上月用水分别为x吨,y吨,则??=???4
??=16 解得
??=12 2???5+2???5=46故居民甲上月用水16吨,居民乙上月用水12吨.-7-课后1.（9分）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？2.（8分）某商场出售一批进价为２元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系：（1）猜测并确定y与x之间的函数关系式；（2）设经营此贺卡的销售利润为Ｗ元，求出Ｗ与x之间的函数关系式.若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，请你求出当日销售单价x定为多少时，才能获得最大日销售利润？3、（10分）在抗震救灾活动中,某厂接到一份订单,要求生产7200顶帐篷支援四川灾区,后来由于情况紧急,接收到上级指示,要求生产总量比原计划增加20%,且必须提前4天完成生产任务,该厂迅速加派人员组织生产,实际每天比原计划每天多生产720顶,请问该厂实际每天生产多少顶帐篷?-8-4（10分）八年级某班对一次数学测试成绩进行统计分析，将所有成绩由低到高分成五组，并绘制如图所示的频数分布直方图，请结合直方图提供信息，回答下列问题。（1）该班共有多少名同学参加这次测试？（2）在该频数分布直方图中画出频数折线图；（3）这次测验成绩中的中位数落在哪个分数段内？（4）若这次测验中，成绩在80分以上（不含80分）为，那么该班这次数学测验的优秀率是多少？5．（18分）某商店积压了100件某种商品，为使这批货物尽快脱手，该商店采取了如下销售方案，将价格提高到原来的2.5倍，再作3次降价处理：第一次降价30%，标出“亏本价”；第二次降价30%，标出“破产价”；第三次降价30%，标出“跳楼价”。3次降价处理销售结果如下表：（1）“跳楼价”占原价的百分比是多少？。2）该商品按新销售方案销售，相比原价全部售完，哪种方案更赢利？6、（本题8分）某车间现有20名工人，生产甲乙两种工艺品，每名工人每天可生产6个甲种工艺品或8个乙种工艺品，一个甲种工艺品可获利10元，一个乙种工艺品可获利5元。厂方规定乙种工艺品的数量不得少于甲种工艺品的三分之一。（1）若安排x 人生产甲种工艺品，其余工人生产乙种工艺品，车间每天的利润为y元，请写出y与x之间的函数关系式，并求自变量的取值范围。（2）如何安排可使车间每天的利润最高，最高利润是多少？-9-
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