小学四年级奥数专题讲座25:智取火柴(附答案)-杨老师在线
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小学四年级奥数专题讲座25:智取火柴(附答案)
作者:佚名 来自:小奥在线
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&第25讲 智取火柴
　　在数学游戏中有一类取火柴游戏，它有很多种玩法，由于游戏的规则不同，取胜的方法也就不同。但不论哪种玩法，要想取胜，一定离不开用数学思想去推算。
例1桌子上放着60根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？
分析与解：本题采用逆推法分析。获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1，2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根……由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜。现在桌上有60根火柴，甲先取，不可能留给乙4的倍数根，而甲每次取完后，乙再取都可以留给甲4的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜。
　　在例1中为什么一定要留给对方4的倍数根，而不是5的倍数根或其它倍数根呢？关键在于规定每次只能取1～3根，1＋3＝4，在两人紧接着的两次取火柴中，后取的总能保证两人取的总数是4。利用这一特点，就能分析出谁采用最佳方法必胜，最佳方法是什么。由此出发，对于例1的各种变化，都能分析出谁能获胜及获胜的方法。
例2在例1中将“每次取走1～3根”改为“每次取走1～6根”，其余不变，情形会怎样？
分析与解：由例1的分析知，只要始终留给对方（1+6=）7的倍数根火柴，就一定获胜。因为60÷7＝8……4，所以只要甲第一次取走4根，剩下56根火柴是7的倍数，以后总留给乙7的倍数根火柴，甲必胜。
　　由例2看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者获胜的规定下，谁能做到总给对方留下（1+n）的倍数根火柴，谁将获胜。
例3将例1中“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”，其余不变，情形又将如何？
分析与解：最后留给对方1根火柴者必胜。按照例1中的逆推的方法分析，只要每次留给对方4的倍数加1根火柴必胜。甲先取，只要第一次取3根，剩下57根（57除以4余1），以后每次都将除以4余1的根数留给乙，甲必胜。
　　由例3看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者为负的规定下，谁能做到总给对方留下（1＋n）的倍数加1根火柴，谁将获胜。
　　有许多游戏虽然不是取火柴的形式，但游戏取胜的方法及分析思路与取火柴游戏完全相同。
例4两人从1开始按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能报1～5个数，谁先报到50谁胜。你选择先报数还是后报数？怎样才能获胜？
分析与解：对照例1、例2可以看出，本例是取火柴游戏的变形。因为50÷（1＋5）＝8……2，所以要想获胜，应选择先报，第一次报2个数，剩下48个数是（1＋5＝）6的倍数，以后总把6的倍数个数留给对方，必胜。
例51111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？
分析与解：本例是例3的变形，但应注意，一开始棋子已占一格，棋子的右面只有10（个）空格。由例3知，只要甲始终留给乙（1+7=）8的倍数加1格，就可获胜。
　　（111-1）÷（1＋7）＝138……6，
　　所以甲第一步必须移5格，还剩下1105格，1105是8的倍数加1。以后无论乙移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是8，甲就必胜。因为甲移完后，给乙留下的空格数永远是8的倍数加1。
例6今有两堆火柴，一堆35根，另一堆24根。两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取。规定取得最后一根者为赢。问：先取者有何策略能获胜？
分析与解：本题虽然也是取火柴问题，但由于火柴的堆数多于一堆，故本题的获胜策略与前面的例题完全不同。
　　先取者在35根一堆火柴中取11根火柴，使得取后剩下两堆的火柴数相同。以后无论对手在某一堆取几根火柴，你只须在另一堆也取同样多根火柴。只要对手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是说，最后一根火柴总会被你拿到。这样先取者总可获胜。
　　请同学们想一想，如果在上面玩法中，两堆火柴数目一开始就相同，例如两堆都是35根火柴，那么先取者还能获胜吗？
例7有3堆火柴，分别有1根、2根与3根火柴。甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴，取的根数不限，规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜。如果采用最佳方法，那么谁将获胜？
分析与解：根据例6的解法，谁在某次取过火柴之后，恰好留下两堆数目相等的火柴，谁就能取胜。
　　甲先取，共有六种取法：从第1堆里取1根，从第2堆里取1根或2根；第3堆里取1根、2根或3根。无论哪种取法，乙采取正确的取法，都可以留下两堆数目相等的火柴（同学们不妨自己试试），所以乙采用最佳方法一定获胜。
　　1.桌上有30根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取1～3根，且取最后一根者为赢。问：先取者如何拿才能保证获胜？
　　2.有1999个球，甲、乙两人轮流取球，每人每次至少取一个，最多取5个，取到最后一个球的人为输。如果甲先取，那么谁将获胜？
　　3.甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报1～4个数，谁报到第888个数谁胜。谁将获胜？怎样获胜？
　　4.有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但不能不取，谁取到最后一枚棋子谁获胜。如果甲后取，那么他一定能获胜吗？
　　5.黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，…，51。甲、乙两人轮流划掉连续的3个数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。问：甲有必胜的策略吗？
　　6.有三行棋子，分别有1，2，4枚棋子，两人轮流取，每人每次只能在同一行中至少取走1枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜。问：要想获胜是先取还是后取？
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桌上放一堆火柴，共30根。由甲、乙两人轮流拿，每人每次拿1至3根，拿到最后1根的人胜利
&学校官方代表
来自华北水利水电大学
十四、十八。因此甲必须第一次拿到第二根火柴，第十根、二十六根就能荸茨扁段壮灯蝶仑保证获胜、二十二，所以甲必须拿到第六根因为每人每次拿1至3根
罗正宗&&学生
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高泉顼&&教师小升初系统1-六下数学-6.6.7对策问题_百度文库
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你可能喜欢现有21根火柴,两人轮流取,每人每次可取走1- 4根,不可多取,也不能不取,谁取最后一根谁输，_百度知道
现有21根火柴,两人轮流取,每人每次可取走1- 4根,不可多取,也不能不取,谁取最后一根谁输，
要求人先拿，计算机总是胜利。 一些漏洞算法我了解了，（就是每轮都是5根），现在求高手教我，递推能否计算出来，就是想变个形，而不是利用每轮都取5根火柴这个漏洞，希望能得到解答！
提问者采纳
1、按照题目的游戏规则，先拿第一根的人（先手）必输无疑。把顺次取的每一根火柴都编上序号（1—21），因为21=（4+1）×4+1，而每次拿的火柴数是1—4根，这样，计算机作为后手就能控制游戏进程：计算机根据刚才先手拿走的数目，凑成5，拿到第5根火柴且只拿到第5根为止，就逼迫先手去拿第6根。6=5+1。以此类推，后手总是最后拿第5k根（k是自然数），先手总是被逼先拿第5k+1根，以致第21根落在自己手中而失败。2、欲想获胜，只能修改游戏规则。例如①、人先拿，每次1—4根，谁取最后一根谁输，但火柴总根数改作22根或27根。这时先手一旦拿到第5k+1根立刻暂停，让机器去拿那第5k+2根。或者②、人先拿，每次1—5根，谁取最后一根谁输，火柴总根数21不变。这时，人的制胜方案是把2、8、14、20号火柴抢到手而把第3、9、15、21号火柴让给对方。等等。
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