已知点P是曲线y=x^3+3x^2+4x-10上任意一点,过点作曲线的切线,求：（1)切线倾角的取值范围（2）斜率最小的切线方程_百度作业帮
已知点P是曲线y=x^3+3x^2+4x-10上任意一点,过点作曲线的切线,求：（1)切线倾角的取值范围（2）斜率最小的切线方程
1、y'=3x²＋6x＋4=3(x＋1)²＋1≥1,则倾斜角w∈[45°,90°) 2、斜率最小值是k=1,此时x=－1,则切点坐标是Q(－1,－12),切线方程是x－y－11=0
(1)y'=3x²+6x+4=3(x+1)²+1，从而 切线的斜率k=y'≥1，切线的倾角的取值范围为[π/4，π/2)(2)斜率最小为1，此时x=-1，即切点是(-1，-12)切线方程为 y+12=x+1，即当前位置：
＞＞＞已知函数f（x）=lnx+ax（a＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）如果P（x0，y..
已知函数f（x）=lnx+ax（a＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）如果P（x0，y0）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤12恒成立，求实数a的最小值；（3）讨论关于x的方程f（x）=x3+2(bx+a)2x-12的实根情况．
题型：解答题难度：中档来源：东城区二模
（Ⅰ）函数f（x）=lnx+ax（a＞0）的定义域为（0，+∞），则f′(x)=1x-ax2=x-ax2．因为a＞0，由f′（x）＞0得x∈（a，+∞），由f′（x）＜0得x∈（0，a），所以f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．（Ⅱ）由题意，以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k满足k=f′(x0)=x0-ax02≤12（x0＞0），所以a≥-12x02+x0对x0＞0恒成立．又当x0＞0时，-12x02+x0=-12(x0-1)2+12≤12，所以a的最小值为12．（Ⅲ）由f（x）=x3+2(bx+a)2x-12，即lnx+ax=x3+2(bx+a)2x-12．化简得b=lnx-12x2+12（x∈（0，+∞））．令h(x)=lnx-12x2-b+12，则h′(x)=1x-x=(1+x)(1-x)x．当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，所以h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．所以h（x）在x=1处取得极大值即最大值，最大值为h(1)=ln1-12×12-b+12=-b．所以&&当-b＞0，即b＜0时，y=h（x）&的图象与x轴恰有两个交点，方程f（x）=x3+2(bx+a)2x-12有两个实根，当b=0时，y=h（x）&的图象与x轴恰有一个交点，方程f（x）=x3+2(bx+a)2x-12有一个实根，当b＞0时，y=h（x）&的图象与x轴无交点，方程f（x）=x3+2(bx+a)2x-12无实根．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=lnx+ax（a＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）如果P（x0，y..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
发现相似题
与“已知函数f（x）=lnx+ax（a＞0）．（1）求f（x）的单调区间；（2）如果P（x0，y..”考查相似的试题有：
495554258055245603788142430869820399求切线方程已知函数f(x)=x^3+ax^2,过曲线y=f(x)上一点P（-1,b）则平行与直线3x+y=0的切线方程为什么?_百度作业帮
求切线方程已知函数f(x)=x^3+ax^2,过曲线y=f(x)上一点P（-1,b）则平行与直线3x+y=0的切线方程为什么?
把x=-1代入f（x）求出b=3,设y=px+q.因为y与3x+y=0平行,所以p=-3.最后再把P（-1,b）代入y可求得q=0.当前位置：
＞＞＞已知曲线y＝x3＋1，求过点P(1,2)的曲线的切线方程．-高二数学-魔方格
已知曲线y＝x3＋1，求过点P(1,2)的曲线的切线方程．
题型：解答题难度：偏易来源：不详
3x－y－1＝0或3x－4y＋5＝0.设切点为A(x0，y0)，则y0＝＋1.＝Δx2＋3x0Δx＋3.∴f′(x0)＝3，切线的斜率为k＝3.点(1,2)在切线上，∴2－(＋1)＝3&(1－x0)．∴x0＝1或x0＝－.当x0＝1时，切线方程为3x－y－1＝0，当x0＝－时，切线方程为3x－4y＋5＝0.所以，所求切线方程为3x－y－1＝0或3x－4y＋5＝0.
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据魔方格专家权威分析，试题“已知曲线y＝x3＋1，求过点P(1,2)的曲线的切线方程．-高二数学-魔方格”主要考查你对&&导数的概念及其几何意义&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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导数的概念及其几何意义
平均变化率:
一般地，对于函数y =f(x)，x1,x2是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式表示，我们把这个式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率，习惯上用表示，即平均变化率&&上式中的值可正可负，但不为0．f(x)为常数函数时，&
瞬时速度:如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到这段时间内，当时平均速度的极限，即若物体的运动方程为s=f(t),那么物体在任意时刻t的瞬时速度v(t)就是平均速度v(t，d)为当d趋于0时的极限．
函数y=f（x）在x=x0处的导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作或，即。
如果函数y =f(x)在开区间(a，6)内的每一点都可导，则称在(a，b)内的值x为自变量，以x处的导数称为f(x为函数值的函数为fx）在(a，b)内的导函数，简称为f（x）在(a，b)内的导数，记作f′(x)或y′．即f′(x）=
切线及导数的几何意义：
（1）切线：PPn为曲线f（x）的割线，当点Pn（xn，f（xn））（n∈N）沿曲线f（x）趋近于点P（x0，f（x0））时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定的位置的直线PT称为点P处的切线。 （2）导数的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k=。瞬时速度特别提醒：
①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
&函数y=f（x）在x=x0处的导数特别提醒：
①当时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f(x)在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负，也可以为0．③在点x=x0处的导数的定义可变形为:&&&&
导函数的特点：
①导数的定义可变形为： ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数，③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数与原来的函数f(x)有相同的定义域（a，b）,且导函数在x0处的函数值即为函数f(x)在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：
①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)（x- x0）．②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0，f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导，则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线，即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，④显然f′（x0）&0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）&o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x0) =0，切线与x轴平行；f′(x0)不存在，切线与y轴平行．
发现相似题
与“已知曲线y＝x3＋1，求过点P(1,2)的曲线的切线方程．-高二数学-魔方格”考查相似的试题有：
844833264848756840793729836395261286已知y=(1/3)(x^3)+(4/3).求⑴曲线过点P(2,4)的切线方程⑵曲线在点P(2,4)的切线方程_百度作业帮
已知y=(1/3)(x^3)+(4/3).求⑴曲线过点P(2,4)的切线方程⑵曲线在点P(2,4)的切线方程已知y=(1/3)(x^3)+(4/3)。求：⑴曲线过点P(2,4)的切线方程⑵曲线在点P(2,4)的切线方程
因为（2,4）不在曲线上,所以应该只有第一问而没有第二问吧.首先曲线方程求导得：y=x^2,设所求切线与曲线切于点（X0,Y0）,且带入该方程得y=(1/3)(X0^3)+(4/3),根据导数的意义可知f（X0）=K=X0^2,可以列得方程K=X0^2=(1/3)(X0^3)+(4/3)-4/X0-2 然后就可以算出改点,然后再用点斜式写出切线方程.
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