两相交平面法向量均垂直于这两个平面，如果一直线的方向向量同时垂直于这两个法向量，则该直线的方向向量同时平行于这两个相交平面。则，该直线与这两个平面的交线平行。
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& 学年高二数学新人教A版选修2-1课后习题：3.2.1《用向量方法解决平行问题》
学年高二数学新人教A版选修2-1课后习题：3.2.1《用向量方法解决平行问题》
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资料概述与简介
第一课时　用向量方法解决平行问题
课时演练·促提升
1.若直线l上有两点A(1,-3,5),B(-1,-1,4),那么直线l的一个方向向量是(　　)
A.(1,1,0) B.(4,-4,2)
C.(-3,-3,0) D.(4,4,2)
解析:由已知=(-2,2,-1),所有与共线的向量均为l的法向量,选项中与共线的只有(4,-4,2),故选B.
2.若=λ+μ,则直线AB与平面CDE的位置关系是(　　)
A.相交 B.平行
C.在平面内 D.平行或在平面内
解析:=λ+μ,∴共面,则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.
3.若平面α内有不共线的两向量a=(3,1,-2),b=(2,-2,0),则下列向量中是平面α法向量的是(　　)
A.(2,2,-2) B.(-1,-1,2)
C. D.(3,3,-6)
解析:设平面α的法向量为n=(x,y,z),
依题意有令x=1,则y=1,z=2,
于是n=(1,1, 2),而与n共线,故为平面α的法向量.
4.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为u,则可能使lα的是(　　)
A.a=(1,0,0),u=(-2,0,0)
B.a=(1,3,5),u=(1,0,1)
C.a=(0,2,1),u=(-1,0,1)
D.a=(1,-1,3),u=(0,3,1)
解析:l∥α,∴a⊥u,即a·u=0.故选D.
5.已知平面α平面β,n=(1,-1,1)是平面α的一个法向量,则下列向量是平面β的法向量的是(　　)
A.(1,1,1) B.(-1,1,-1)
C.(-1,-1,-1) D.(1,1,-1)
解析:因为αβ,所以两个平面的法向量应共线,只有B选项符合.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,各棱对应的向量可作为面A1B1C1D1的法向量的个数为　　　　　.
解析:可以作面A1B1C1D1的法向量的有共8个.
7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一个法向量n.
解:如图,建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).
设平面ACD1的法向量n=(x,y,z).
= (-1,1,0),=(-1,0,1),
又n为平面ACD1的一个法向量,
令x=1,得y=z=1.
平面ACD1的一个法向量n=(1,1,1).
8.已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE,求证:MN平面CDE.
证明:取AB,AD,AF所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),
则E(0,3b,3c),M(2a,b,0),N(0,b,c).
故=(-2a,0,c).
又平面CDE的一个法向量是=(0,3b,0),
故=(-2a,0,c)·(0,3b,0)=0,
又MN?平面CDE,故MN平面CDE.
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是正方体六个表面的中心,证明:平面EFG平面HMN.
证明:如图,建立空间直角坐标系.
不妨设正方体的棱长为2,则E(1,1,0),F(1,0,1),G(2,1,1),H(1,1,2),M(1,2,1),N(0,1,1),
所以=(0,-1,1),=(1,0,1),=(0,1,-1),=(-1,0,-1).
设m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2)分别是平面EFG和平面HMN的一个法向量.
令x1=1,得m=(1,-1,-1).
令x2=1,得n=(1,-1,-1).
于是有m=n,所以mn.
故平面EFG平面HMN.
1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则
②A1M∥B1Q;
③A1M∥平面DCC1D1;
A1M∥平面D1PQB1.
以上正确的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
,从而A1MD1P.
∴①③④正确.
2.已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个单位法向量为(　　)
解析:设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则有
取x=1,则y=-2,z=2.
所以n=(1,-2,2).因为|n|=3,
所以平面ABC的一个单位法向量可以是.
3.已知A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),D(1,1,x),若AD?平面ABC,则实数x的值是　　　　.
解析:易求得平面ABC的法向量u=(0,0,1),而=(1,1,x),故当AD?平面ABC时,·u=0.
故1×0+1×0+x=0,即x=0.
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是AB的中点,点F是AA1上靠近点A的三等分点,在线段DD1上是否存在一点G,使CGEF?若存在,求出点G的位置,若不存在,说明理由.
解:存在.如图,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,
则E,F,C(0,1,0),
假设在DD1上存在一点G,使CGEF,
则,由于点G在z轴上,
设G(0,0,z),则=(0,-1,z).
即(0,-1,z)=λ.
z=∈[0,1],∴点G在线段DD1上,其坐标为.
故在线段DD1上存在一点G,使CGEF,点G是DD1上靠近点D1的三等分点.
5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2,BB1=3,D是A1C1的中点.证明:A1B平面B1DC.
证明:如图,以B为坐标原点,分别以BA,BC,BB1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B1(0,0,3),C(0,, 0),D,A1(,0,3).
=(-,0,-3),,
方法一:因为,
所以是共面向量,且不共线.又因为A1B?平面B1DC,所以A1B平面B1DC.
方法二:设平面B1DC的法向量为n=(x,y,z),则
因为·n=0,且A1B?平面B1DC,
所以A1B平面B1DC.
6.在如图所示的多面体中,EF平面AEB,AEEB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2, G是BC的中点,求证:AB平面DEG.
证明:EF⊥平面AEB,AE?平面AEB,BE?平面AEB,
EF⊥AE,EF⊥BE.
∴EB,EF,EA两两垂直.
以点E为坐标原点,EB,EF,EA分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知得,A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,0),
=(0,2,2),=(2,2,0),=(2,0,-2).
设平面DEG的法向量为n=(x,y,z),
令y=1,得z=-1,x=-1,则n=(-1,1,-1),
·n=-2+0+2=0,即n.
∵AB?平面DEG,
AB∥平面DEG.
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若向量a、b为两个非零向量，且|a|=|b|=|a+b|，则向量a与a+b的夹角为______．
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据魔方格专家权威分析，试题“若向量a、b为两个非零向量，且|a|=|b|=|a+b|，则向量a与a+b的夹角..”主要考查你对&&向量的加、减法运算及几何意义，用坐标表示向量的数量积&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
向量的加、减法运算及几何意义用坐标表示向量的数量积
向量加法的定义：
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作，再做向量，则向量叫做与的和，即。 作向量的加法有“三角形法则”和“平行四边形法则”，其中“平行四边形法则”只适用于不共线的向量。
向量加法的三角形法则：
已知非零向量a,b，在平面内任意取一点A，作a，，
这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则，如图
向量加法的平行四边形法则：
以同一点O起点的两个已知向量a，b为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则，如图．
向量减法的定义：
向量与向量的相反向量的和，叫做向量与向量的差，记作：。 作向量减法有“三角形法则”：设，那么，由减向量和终点指向被减向量和终点。 注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
向量减法的作图法：
&因此，a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．
坐标运算：
已知，则。向量加减法的运算律：
（1）交换律：； （2）结合律： 求向量的和的三角形法则的理解：
使用三角形法则特别要注意“首尾相接”，具体做法是把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示（其中后面向量的起点与其前一个向量的终点重合，即用同一个字母表示），则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。对于n个向量，仍有 这可以称为向量加法的多边形法则。
作两个向量的和向量，可分四步：
①取点，注意取点的任意性；②作相等向量，分别作与两个已知向量相等的向量，使它们的起点重合；③作平行四边形，以两个向量为邻边作平行四边形；④作和向量，与两个向量有共同起点的对角线作为和向量，共同的起点作为和向量的起点，对角线的另一个端点作为和向量的终点．当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则是一致的；当两个向量共线时，三角形法则同样适用，而平行四边形法则就不适用了．
向量的加法需要说明的几点：
①当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a,b的方向都不相同，且②当两个非零向量a与b共线时，a．向量a与b同向（如下图），即向量a+b与a(或b）方向相同，且&b．向量a与b反向（如上图）且|a|&|b|时，即a+b与b方向相同（与a方向相反），且
向量减法的理解：
①定义向量减法是借助了相反向量和向量加法，其实，向量减法的实质是向量加法的逆运算．两个向量的差仍是向量；②作差向量时，作法一较为复杂，作法二较为简捷，应根据问题的需要灵活运用；③以为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线表示的向量为这一结论在以后的应用是非常广泛的，应该加强理解并记住；④对于任意一点O，简记为“中减起”，在解题中经常用到，必须记住．两个向量的数量积的坐标运算:
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向量的数量积的坐标表示的证明：
发现相似题
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