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高二数学圆锥曲线
[导读]圆锥曲线 【知识网络】 3．1 椭圆 【考点透视】 一、考纲指要 1．熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程． 2．考查椭圆的离心率，直线的方程，平面向量的坐标表示，方程思想等数学思想方法和综合解题能力. 二、命题落点 圆锥曲线是解析几何的重点，也是...
【知识网络】
【考点透视】
　　一、考纲指要
　　1．熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程．
　　2．考查椭圆的离心率，直线的方程，平面向量的坐标表示，方程思想等数学思想方法和综合解题能力.
　　二、命题落点
　　圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题，主要考查直线方程,平面向量及椭圆的几何性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题以及推理能力.
【典例精析】
　　例1：（2005?全国1）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线．
　　（1）求椭圆的离心率；
　　（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值．
　　解析:（1）设椭圆方程为,则直线AB的方程代入,化简得．
　　　令,则．
得　　,又，．即,所以 ，，
故离心率．
　　（2）由（１）知,所以椭圆可化为
设,由已知得，
在椭圆上,，即
①由（1）知，
又代入①，得．
故为定值,定值为1 ．
例2：（2005?上海）如图，点、分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，．
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值．
　　解析:（1）由已知可得点A（－6，0），F（4，0）
设点P的坐标是，由已知得由于　　（2）直线AP的方程是
设点M的坐标是（m，0），则M到直线AP的距离是，
于是椭圆上的点到点M的距离d，有由于　　例3：（2005?福建）已知方向向量为的直线l过点（）和椭圆的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.
　　（1）求椭圆C的方程；
　　（2）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，满足cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；若不存在，请说明理由.
解析:（1）直线，
过原点垂直的直线方程为，
∵椭圆中心（0，0）关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，
∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）.
故椭圆C的方程为
　　（2）设M（），N（）.
当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得
点O到直线MN的距离．即即整理得当直线m垂直x轴时，也满足.
故直线m的方程为或或经检验上述直线均满足.所以所求直线方程为或或【常见误区】
　　解析几何问题，基本上都与方程思想相结合，因而要注意直线方程与曲线方程联立起来，结合根与系数的关系，或直接解出根，是高考常用的方法，要注意有关方法的练习、归纳，要注意运算的优化，要注意利用数形结合，挖掘隐含性质,这也是考生思维的一个障碍点.
【基础演练】
1．(2005?广东) 若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则m= （
A． B． C． D．
2．(2005?福建) 设的最小值是
A． B． C．－3 D．
3．(2005?全国3) 设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
B． C． 　 D．
4．(2005?江苏) 点在椭圆的左准线上，过点P且方向为的光线经直线反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为（
5．（2005?重庆）已知是圆为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为
6．如图所示, 底面直径为的圆柱被与底面成的平面所截，
其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长
，离心率为
7．(2005?辽宁) 已知椭圆的左、右焦点分别是
　、，是椭圆外的动点，满足，
　点Ｐ是线段与该椭圆的交点，点Ｔ在线段上，并且
（1）设为点Ｐ的横坐标，证明 ；
　（2）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；
（3）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△的面积．若存在，求∠的正切值；若不存在，请说明理由．
8．(2005?湖南) ．已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ.
（1）证明：λ＝1－e2；
（2）若，△PF1F2的周长为6，写出椭圆C的方程；
（3）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.
9．(2005?湖北) 设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
（1）确定的取值范围，并求直线AB的方程；
　（2）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.
3．2 双曲线
【考点透视】
　　一、考纲指要
　　熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．
　　二、命题落点
　　1．考查了圆锥曲线中双曲线的渐近线方程与准线方程，以及标准方程中a,b,c之间的关系,两渐近线间的夹角的求法，如例1.
　　2．双曲线的第一、第二定义在解题中的灵活运用,如例2;
　　3．考查等边三角形的性质，焦点三角形公式及离心率公式，灵活运用焦点三角形公式避免了繁琐的运算，突出观察研究能力的考查，如例3.
【典例精析】
　　例1： (2005?湖南) 已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为（O为原点），则两条渐近线的夹角（
A．30o　 B．45o　 C．60o　 D．90o
　　解析:双曲线的右焦点F(c,0)，右准线方程为x=,一条渐近线方程为y=x，可得点A的坐标（，），△OAF的面积S△OAF=OF│YA│=c=ab,又题意已知S△OAF=a2,所以a=b,两条渐近线间的夹角为900 .
　　　例2：(2005?全国3)已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为
　　解析: 设M到x轴的距离为h，∵，
　　又∵，
　　由双曲线定义得，
　　再由，∴.
　　答案： C
　　例3：（2005?福建）已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是(
A． B． C． D．
　　解析:令，边MF1交双曲线于点N，连结N易知
　　答案： D
　　例4.（2005?山东）设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率.
　　解析:如图所示，且，,在中，
．　　　①
　　②　　　③
将②③代入①式化简得：答案:【常见误区】
　　1．对双曲线离心率、双曲线渐近线等基本知识考察时, 应想法利用已知曲线构造等式,从而解出的比值,即双曲线的离心率.这一点考生常不能注意到,致使离心率求解出错,如例3、例4.
　　2．解题过程中,特别是客观题中,应注意双曲线第一第二定义的应用,此问题考生常会忽视,如例1、例2.
【基础演练】
1．（2006?广东）已知双曲线，则双曲线右支上的点到右焦点的距离与点到右准线的距离之比等于
C．2 D． 4
2． (2005?天津) 设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为
A． B． C． D．
3．平面内有两个定点和一动点，设命题甲，是定值，命题乙：点的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的
A．充分但不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为，则应满足的关系是 （
5．(2005?浙江) 过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．
6．(2005?江西) 以下几个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为
（写出所有真命题的序号）
7．已知双曲线的左右焦点分别为，左准线为，能否在双曲线的左支上求一点，使是到的距离与的等比中项？若能，求出的坐标，若不能，说明理由．
8．过双曲线的右焦点作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线，垂足为， 与双曲线的左、右支的交点分别为．
（1）求证：在双曲线的右准线上；
（2）求双曲线离心率的取值范围．
9．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由．
（1）渐近线方程为，
（2）点到双曲线上动点的距离最小值为．
3．3 抛物线
【考点透视】
　　一、考纲指要
　　掌握抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质．
　　二、命题落点
　　1．考察抛物线过焦点的性质,如例1;
　　2．抛物线上张直角问题的探究, 考察抛物线上互相垂直的弦的应用，如例2;
　　3．定值及定点问题是解几问题研究的重点内容,此类问题在各类考试中是一个热点，如例3.
【典例精析】
　　例1：(2005?全国3) 设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线，
　　（1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
　　（2）当直线的斜率为2时，求在y轴上截距的取值范围.
　　解析:（1）∵抛物线，即，∴，
（i）直线的斜率不存在时，显然有=0;
（ii）直线的斜率存在时，设为k， 截距为b, 即直线：y=kx+B．
由已知得：
即的斜率存在时，不可能经过焦点
所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F
　（2）设在y轴上截距为b，
即直线：y=2x+b，AB：．由得，
∴，且，∴，∴．
所以在y轴上截距的取值范围为
　　例2：（2005?广东）在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点Ａ、Ｂ满足（如图所示）
　　（1）求得重心（即三角形三条中线的交点）
的轨迹方程；
　　（2）的面积是否存在最小值？若存在，请求出
最小值；若不存在，请说明理由．
　　解析:　（1）∵直线的斜率显然存在，
∴设直线的方程为，
，依题意得，①∴，②　
∵，∴，即 ，④
由③④得，，∴
∴设直线的方程为
∴①可化为
设的重心G为，则
，即，这就是的重心的轨迹方程．
　　（2）由弦长公式得
把②⑤代入上式，得
设点到直线的距离为，则，∴ ，∴ 当，有最小值，
∴的面积存在最小值，最小值是 ．
　　例3：(2005?江西) M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB．
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程.
　　解析：（1）设M（y,y0），直线ME的斜率为k(k&0)，
则直线MF的斜率为－k，方程为
∴由，消，解得，∴(定值)．
所以直线EF的斜率为定值．
　　（2）直线ME的方程为由得同理可得
设重心G（x, y），则有
消去参数得
【常见误区】
　　1．运算正确率太低, 这是考生在解解析几何问题中常出现的问题, 即会而不对.
　　2．抛物线中的焦点坐标与准线方程求解过程中常误求出二倍关系;
　　3．定点与定值问题总体思路不能定位,引入参变量过多,没有求简意识,使问题复杂化.
【基础演练】
1．(2005?湖北) 双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为
A． B． C． D．
2． (2005?辽宁) 已知双曲线的中心在原点，离心率为．若它的一条准线与抛物线
的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是 （
A． B． C． D．21
3．（2005?全国1）已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为
A． B． C． D．
4．(2005?江苏) 抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（
　　A． B．
5．（2005?上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线
6． (2005?重庆) 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是
（填写所有正确选项的序号）.
①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形
④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形
7．抛物线以轴为准线，且过点，证明：不论点在坐标平面内的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹的离心率是定值．
8. 已知抛物线，过动点且斜率为的直线与该抛物线交于不同两点，，
（1）求取值范围；
（2）若线段垂直平分线交轴于点，求面积的最大值
9．(2003?北京春,理22)已知动圆过定点P(1,0),且与定直线相切,点C在l上.
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点P,且斜率为－的直线与曲线M相交于A,B两点.
(i)问：△ABC能否为正三角形？若能,求点C的坐标；若不能,说明理由；
(ii)当△ABC为钝角三角形时,求这种点C的纵坐标的取值范围.
3．4直线与圆锥曲线的位置关系
【考点透视】
　　一、考纲指要
　　1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；
　　2．会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题;
　　3．能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得的弦长的有关问题，会运用圆锥曲线的第二定义求焦点弦长；
　　4．体会"设而不求"、"方程思想"和"待定系数"等方法.
　　二、命题落点
　　1．考查直线与椭圆相切、直线方程、直线到直线的距离等知识，如例1;
　　2．考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系.处理直线与曲线的位置关系的一般方法是方程思想:由直线方程与曲线方程联立方程组,通过判别式△确定解的个数(交点个数),而直线与圆可以用圆心到直线距离与半径的大小关系进行判定,如例2;
　　3．考查椭圆的几何性质、椭圆方程，两条直线的夹角、点的坐标等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，如例3.
【典例精析】
　　例1：(2005?山东) 设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（　　）
解析:如右图,根据题意易得
与关系O对称
设过圆上一点且平行与的直线方程为
若与椭圆相切则可求得：
即,到的最小距离为　　①
到的最大距离为　　　　②
，（为P到AB的距离），，．
由①②式可知满足条件的点有两个.
　　答案: B
　　例2：(2004?北京春)若直线mx+ ny-3=0与圆x2+y2=3没有公共点,则m,n满足的关系式为_______;以(m,n)为点P的坐标,过点P的一条直线与椭圆的公共点有____个.
　解析: ∵直线mx+ny-3=0与圆x2+y2=3没有公共点,∴&,解得0&m2+n2&3.
∴,即点P(m,n)在椭圆内部,故过P的直线必与椭圆有两个交点.
　　答案: 0&m2+n2&3,2.
　　例3.（2005?山东）已知动圆过定点，且与直线相切，其中.
　　（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
　　（2）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且=时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
解析：（1）如图，设为动圆圆心，记为，过点作直线的垂线，垂足为，
　　由题意知：即动点到定点
与定直线的距离相等
　　由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，
其中为焦点，为准线
　　∴轨迹方程为；
　　（2）如图，设，由题意得
又直线OA、OB的倾斜角、满足+=，故0&，&．
∴直线的斜率存在，否则OA、OB直线的倾斜角之和为，从而设其方程为．显然．将与联立消去，得．
由韦达定理知．
由，得==．
将(*)式代入上式整理化简可得：，
此时，直线的方程可表示为即，
∴直线恒过定点．
【常见误区】
　　1．注意数形结合思想的应用,比如直线过定点时,要考虑定点与曲线的位置关系;
　　2．考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.向量的知识考生常不能灵活应用。
【基础演练】
1．(2004?全国I,理7文7) 椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则=
A． B． C．　 D．4
2．(2004?全国I,理8文8)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是
A．[-,] B．[-2,2] C．[-1,1] D．[-4,4]
3．(2003?湖南师大附中)已知双曲线且与双曲线有且仅有一个公共点的直线的条数为有
4．(2004?南通密卷)双曲线 =1(a＞0,b＞0)的两焦点为F1 、F2,| F1F2|=2c,P为双曲线
上一点,PF1⊥PF2,则P到实轴的距离等于
5．(2004?年天津)如果过两点A(a,0)和B(0,a)的直线段与抛物线y=x2-2x-3没有交点,那么实数a的取值范围是
6．(2004?重庆) 对任意实数k,直线：与椭圆：恒有公共点,则b取值范围是
7．(2004?全国１)设双曲线C：(a&0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A、B．
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围;
（2）设直线l与y轴的交点为P,且求a的值.
8．（2005?重庆）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）. 求k的取值范围.
9． (2004?全国３)设椭圆的两个焦点是F1(-c,0)与F2(c,0)(c&0),且椭圆上存在点P,使得直线PF1与直线PF2垂直.
（1）求实数m的取值范围；
（2）设L是相应于焦点F2的准线,直线PF2与L相交于点Q.若,求直线PF2的方程.
3．5 轨迹方程的求法
【考点透视】
　　一、考纲指要
　　1．掌握求轨迹方程的两种基本方法--直接法和定义法；
　　2．掌握直接法求轨迹方程的基本步骤;
3．掌握求轨迹方程的另几种方法--相关点法（代入法）、参数法（交轨法）；
4．学会用适当的参数去表示动点的轨迹，掌握常见的消参法．
　　二、命题落点
　　1．运用向量坐标运算考察轨迹方程的求解，如例1;
　　2．考查椭圆与抛物线的基础知识,即标准方程与图形的基本关系,同时,考查代数式的恒等变形及简单的逻辑推理能力,如例2;
　　3．考查圆锥曲线的概念、方程与性质,以及向量、定比分点坐标公式的应用,考查考生的推理能力和运算能力.如例3求直线l的斜率,要充分利用条件""实施几何特征向数量 关系的转化：首先向量特征可转化为定比分点坐标问题,但要注意内、外分点两种情形的讨论；其次设直线斜率为k,用k、m表示出Q点的坐标；最后由Q点在椭圆上,列方程即可求解.
【典例精析】
　　例1：(2004?辽宁,6)已知点A(-2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足,则点P的轨迹是（
A．圆　 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
　　解析 ∵=(x+2,y),=(x-3,y),∴?=(x+2)(x-3)+y2=x2,化简,得y2=x+6.
　　答案：D
　　例2：(2003?北京春)在同一坐标系中,方程与　的曲线大致是（
　　解析:将方程与转化为标准方程：,．因为,因此,所以有：椭圆的焦点在y轴,抛物线的开口向左,得D选项．
　　答案: D
　　例3：(2004?江苏)已知椭圆的中心在原点,离心率为,一个焦点是F(-m,0)(m是大于0的常数).
　　（1）求椭圆的方程；
　　（2）设Q是椭圆上的一点,且过点F、Q的直线与y轴交于点M.若,求直线的斜率.
　解析：(1)设所求椭圆方程为(a&b&0).由已知条件,得c=m, ,所以a=2m, b=m,
故所求椭圆方程是.
（2）设Q(x0,y0),直线l:y=k(x+m),则点M(0,km).　当时,由于F(-m,0),M(0,km),由定比分点坐标公式,得
　x0=, y0=. 又点Q在椭圆上,∴,解得 k=±2.
当时,x0=, y0=.
　于是 ,解得 k=0.故直线l的斜率是0或±2.
【常见误区】
　　1．曲线的定义是定义法求轨迹方程的关键, 但考生在解题中常忽略定义法求轨迹,致使简易的轨迹方程求法变得复杂;
　　2．轨迹与轨迹方程是不同的概念, 求轨迹时需要将轨迹的方程及具体形状焦点等位置关系说清楚,轨迹方程则需要注明一些带有限制条件的点,或方程求解过程中忽略的一些轨迹,这一点要切记.
【基础演练】
1．(2002?京皖春)到两个坐标轴距离相等的点的轨迹方程是
A．x-y=0 B．x+y=0 C．|x|-y=0 D．|x|-|y|=0
2．(2004?全国４)已知椭圆的中心在原点,离心率e=,且它的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点重合,则此椭圆方程为
3．(2004?浙江)曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是
　A．y2=8?4x
　 B．y2=4x?8
C．y2=16?4x
D．y2=4x?16
4．(2002?京皖春,3)已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
5．(2003?成都调研)在直角坐标系中,到两个坐标轴的距离之和为定值1的点的轨迹是
6．(2003?南通三模)设双曲线 (a,b＞0)两焦点为F1、、F2,点Q为双曲线上除顶点外的任一点,过焦点F1作∠F1QF2的平分线的垂线,垂足为P,则P点轨迹是
7．(2004?北京春)已知点A(2,8), B(x1,y1),C(x2,y2)在
抛物线y2=2px上,△ABC的重心与此抛物线的焦点F重
（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标;
（2）求线段BC中点M的坐标;
（3）求BC所在直线的方程.
8．(2004?辽宁) 设椭圆方程为,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足,点N的坐标为,当l绕点M旋转时,求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值.
9．(2004?重庆) 设是一常数,过点的直线与抛物线交于相异两点A、B,以线段AB为直径作圆H(H为圆心).试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求圆H的面积最小时直线AB的方程.
3．6 圆锥曲线的应用
【考点透视】
　　一、考纲指要
　　1．会按条件建立目标函数研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用"数形结合"、"几何法"求某些量的最值．
　　2．进一步巩固用圆锥曲线的定义和性质解决有关应用问题的方法．
　　二、命题落点
　　1．考查地理位置等特殊背景下圆锥曲线方程的应用,修建公路费用问题转化为距离最值问题数学模型求解，如例1;
　　2．考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，如例2;
　　3．考查双曲线的概念与方程，考查考生分析问题和解决实际问题的能力，如例3.
【典例精析】
　　例1：(2004?福建)如图,B地在A地的正东方向4km处,C地在B地的北偏东300方向2km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是（
A．(2-2)a万元
　 C． (2+1)a万元
D．(2+3)a万元
　　解析:设总费用为y万元,则y=a?MB+2a?MC
∵河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.,
∴曲线PG是双曲线的一支,B为焦点,且a=1,c=2.
过M作双曲线的焦点B对应的准线l的垂线,垂足为D(如图).由双曲线的第二定义,得=e,即MB=2MD．
∴y= a?2MD+ 2a?MC=2a?(MD+MC)≥2a?CE.(其中CE是点C到准线l的垂线段).
∵CE=GB+BH=(c-)+BC?cos600=(2-)+2×=.
∴y≥5a(万元).
　　答案:B．
　　例2：(2004?北京,理17)如图,过抛物线y2=2px(p&0)上一定点P(x0,y0)(y0&0),作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1),B(x2，y2).
　　（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;
　　（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,
求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数.
　　解析:(１)当y=时,x=.
又抛物线y2=2px的准线方程为x=-,由抛物线定义得,
所求距离为.
（2）设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB．
由y12=2px1,y02=2px0,相减得:,
故.同理可得,
由PA、PB倾斜角互补知
设直线AB的斜率为kAB, 由,,相减得, 所以.将代入得,
所以kAB是非零常数.
　　例3：(2004?广东)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)
　　解析：如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(－1020,0),B(1020,0),C(0,1020).
　　设P(x,y)为巨响发生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,
　　故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=－x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|－|PA|=340×4=1360.
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,
依题意得a=680,c=1020,∴b2=c2-a2==5×3402,
故双曲线方程为.用y=－x代入上式,得x=±680,
∵|PB|&|PA|,∴x=-680,y=680,　即P(-680,680),　故PO=680.
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680 m处.
【常见误区】
　　1．圆锥曲线实际应用问题多带有一定的实际生活背景, 考生在数学建模及解模上均不同程度地存在着一定的困难, 回到定义去, 将实际问题与之相互联系,灵活转化是解决此类难题的关键;
　　2．圆锥曲线的定点、定量、定值等问题是隐藏在曲线方程中的固定不变的性质, 考生往往只能浮于表面分析问题,而不能总结出其实质性的结论,致使问题研究徘徊不前,此类问题解决需注意可以从特殊到一般去逐步归纳,并设法推导论证.
【基础演练】
1．(2005?重庆) 若动点（）在曲线上变化，则的最大值为（
2．(2002?全国)设,则二次曲线的离心率的取值范围为（
3．(2004?精华教育三模)一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分,它
　的方程是x2＝2y,y∈[0,10] 在杯内放入一个清洁球,要求清洁球能
　擦净酒杯的最底部(如图),则清洁球的最大半径为（
B．1 C． D．2
4． (2004?泰州三模)在椭圆上有一点P,F1、F2是椭圆的左右焦点,△F1PF2为直角三角形,则这样的点P有
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
5．(2004?湖南) 设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i=1,2,3,...),使|FP1|,|FP2|, |FP3|,...组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为
6．(2004?上海) 教材中"坐标平面上的直线"与"圆锥曲线"两章内容体现出解析几何的本质是
7．(2004?浙江)已知双曲线的中心在原点,
右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线的右支上,
点M(m,0)到直线AP的距离为1,
（1）若直线AP的斜率为k,且|k|?[],
求实数m的取值范围；
（2）当m=+1时,△APQ的内心恰好是点M,
求此双曲线的方程.
8． (2004?上海) 如图, 直线y=x与抛物
线y=x2-4交于A、B两点, 线段AB的垂直平
分线与直线y=-5交于Q点.
（1）求点Q的坐标；
（2）当P为抛物线上位于线段AB下方
(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.
9．(2004?北京春) 日9时,"神舟"五号载人飞船发射升空,于9时9分50秒准确进入预定轨道,开始巡天飞行.该轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆.选取坐标系如图所示,椭圆中心在原点.近地点A距地面200km,远地点B距地面350km.已知地球半径R＝6371km.
（1）求飞船飞行的椭圆轨道的方程;
（2）飞船绕地球飞行了十四圈后,于16日5时59分返回舱与推进舱分离,结束巡天飞行,飞船共巡天飞行了约,问飞船巡
天飞行的平均速度是多少km/s？(结果精确
到1km/s)(注:km/s即千米/秒)　　　　　　　　　　本章测试题
一、选择题（每小题5分，共60分．）
1．如果三点在同一条直线上，那么的值是 （　　）
A．－6 B．－7 C．－8 D．－9
2．有5辆6吨的汽车和4辆4吨的汽车，要运送最多货物，完成这项运输任务的线性目标
3．曲线与曲线一定有
A．相等的长轴
B．相等的焦距 C．相等的离心率 D．相同的准线
4．将直线绕着它与轴的交点逆时针旋转的角后，在轴上的截距是
A． B． C． D．
5．在同一坐标系中，方程的曲线大致是 （ 　 ）
6．双曲线的渐近线为,且过点,则此双曲线的共轭双曲线的方程为
B． C． D．
7．已知直线相切，则三条边长分别为的三角形
A．是锐角三角形
B．是直角三角形 C．是钝角三角形 D．不存在
8．一动圆圆心在抛物线上,且动圆恒与直线相切,则动圆必过定点（　
9．翰林汇已知,直线：，直线：
，与的位置关系是
A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直
10．椭圆的两个焦点三等分它的两条准线间的距离，那么它的离心率是
11．已知抛物线的焦点弦的两端点为,,则式子
　的值一定等于
12．已知双曲线中心在原点且一个焦点为直线与其相交于M、N两点，
MN中点的横坐标为则此双曲线的方程是
B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共16分．）
13．抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线
　　上，则此抛物线方程为__________________.
14．如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，
点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则
15．若直线沿轴负方向平移3个单位，再沿轴正方向平移一个单位后，又回到原来的位置，那么直线的斜率为.
16．给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距
离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：
双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内.
___________________________________________________________________________.
三、解答题（本题共74分．）
17．（本小题满分12分）已知椭圆的焦点为和，直线是椭圆的一条准线.
　（1）求椭圆的方程；
　（2）又设在此椭圆上，且，求的值.
18．（本小题满分12分）已知圆，
（1）若为圆上任一点，，求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值.
19．（本小题满分12分）已知点、，为坐标原点.
（1）若点在线段上，且，求的面积；
（2）若原点关于直线的对称点为，延长到，且.已知直线：经过点，求直线的倾斜角.
20．（本小题满分12分）如图，为抛物线的焦点，为抛物线内一定点，为抛物线上一动点，且的最小值为8.
（1）求该抛物线方程；
（2）如果过的直线交抛物线于、两点，
　　　　且，求直线倾斜角的取值范围.
21．（本题满分1２分）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱
宽是多少？
（2）若最大拱高不小于6米，则应如何设
计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的
土方工程量最小？
（半个椭圆的面积公式为，柱体体积为：底面积乘以高.）
22．（本题满分14分）在以为原点的直角坐标系中，点为的直角顶点.已知，且点的纵坐标大于零.
（1）求向量的坐标；
（2）求圆关于直线对称的圆的方程；
（3）是否存在实数，使抛物线上总有关于直线对称的两个点？若不存
在，说明理由：若存在，求的取值范围.
7. （1）设点P的坐标为
　　由P在椭圆上，得　　　　
　　由，所以
（2）设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.
当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中，，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是
（3）C上存在点M（）使S=的充要条件是
由④得 上式代入③得
于是，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.
当时，记，由知
　　，所以
8. （1）因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别
. 所以点M的坐标是（）.
由即（2）当时，，所以
由△MF1F2的周长为6，得所以
椭圆方程为
（3） 因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角，要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 设点F1到l的距离为d，由得
所以即当△PF1F2为等腰三角形.
9. （1）依题意，可设直线AB的方程为，整理得
设①的两个不同的根，
②　是线段AB的中点，得解得k=-1，代入②得，&12，即的取值范围是（12，+）.于是，直线AB的方程为
（2）代入椭圆方程，整理得
③的两根，
于是由弦长公式可得
将直线AB的方程
假设在&12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故当时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上.
7. ∵双曲线中，，∴，设满足条件，则，得，
，与三角形两边之和大于第三边矛盾．不存在满足条件的点．
双曲线在第一、第三象限的渐近线方程为：
设方程为．∵在上，∴，
联立①②得，即在双曲线的右准线上．
（2）由，得，
与双曲线的左、右支的交点分别为， ，
，，∴，∴．
9. 由双曲线渐近线方程设双曲线方程为，∴，设，∵，当时，有，当时，有，
①当时，，，，
②当时，，，无解，
③当时，，，，
所求双曲线方程为．
有且仅有两条
7. 设抛物线的焦点的坐标为，根据抛物线的定义可知，点到点
的距离等于点到轴的距离，则①
又设抛物线顶点的坐标为，∵为线段的中点，则,
代入①得，
即抛物线的顶点的轨迹方程为：，
∵，∴抛物线顶点的轨迹是椭圆，其中长半轴长为，短半轴长为，
则半焦距，所以它的离心率为定值.
8. （1）由题知的方程为，设，
∴，得，∵，∴，，
得，∴取值范围．
（2）的中点，∴线段垂直平分线方程：，∴，，
当时面积的最大值．
9. (1)依题意,曲线M是以点P为焦点,直线l为准线的抛物线,所以曲线M的方程为.
　(2)(i)由题意得,直线AB的方程为　消y得　
　所以A点坐标为,B点坐标为(3,),　　假设存在点C(－1,y),使△ABC为正三角形,
　则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,　即　　由①－②得
　但不符合①,所以由①,②组成的方程组无解.
　因此,直线l上不存在点C,使得△ABC是正三角形.
　(ii)设C(－1,y)使△ABC成钝角三角形,由,
　即当点C的坐标为(－1,)时,A,B,C三点共线,故.
当,即,即为钝角. 当,即,即为钝角.又
该不等式无解,所以∠ACB不可能为钝角.
　 因此,当△ABC为钝角三角形时,点C的纵坐标y的取值范围是.
直线与圆锥曲线的位置关系
7. (1)由C与l相交于两个不同的点,故知方程组
有两个不同的实数解.消去y并整理得
　　(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.
双曲线的离心率（2）设由于x1，x2都是方程①的根，
且1-a2≠0,
8. （1）设双曲线方程为
　　由已知得
　　故双曲线C的方程为
　　（2）将
　　由直线l与双曲线交于不同的两点得即
①　　设，则　　　　而　　　　于是
　　由①、②得
故k的取值范围为
9. (1)由题设有m&0,c=.设点P的坐标为(x0,y0),由PF1⊥PF2,得
化简得 x02+y02=m.
将①与联立,解得由 所以m的取值范围是m≥1.
(2)准线L的方程为设点Q的坐标为(x1,y1),则∴
②将 代入②,化简得
由题设,得 , 无解.
将 代入②，化简得
　由题设,得 .
　解得m=2. 从而,得到PF2的方程
轨迹方程的求法
圆的一部分
7. (1)由点A(2,8)在抛物线上,有
所以抛物线方程为,焦点F的坐标为(8,0)
(2)如图,由F(8,0)是的重心,M是BC的中点,所以F是线段AM的定比分点,且，设点M的坐标为,则．
　解得,所以点M的坐标为．　(3)由于线段BC的中点M不在x轴上,所以BC所在的直线不垂直于x轴.
　设BC所成直线的方程为　　由消x得　　所以.
　由(２)的结论得,　解得.　因此BC所在直线的方程为
8. (1)直线l过点M(0,1)设其斜率为k,则l的方程为记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组
的解. 将①代入②并化简得,,所以于是＝＝．设点P的坐标为则消去参数k得
当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P的轨迹方程为
(2)由点P的轨迹方程知所以＝＝
＝,故当,取得最小值,最小值为时,取得最大值,最大值为
9. 由题意,直线AB不能是水平线,
　故可设直线方程为：.
　又设,则其坐标满足
　由此得,因此.即OA⊥OB．
故O必在圆H的圆周上.又由题意圆心H()是AB的中点,故,由前已证,OH应是圆H的半径,且.
从而当k=0时,圆H的半径最小,亦使圆H的面积最小.
此时,直线AB的方程为：x=2p.
圆锥曲线的应用
用代数的方法研究图形的几何性质．
7. (1)由条件得直线AP的方程即
因为点M到直线AP的距离为1, ∴　即.∵∴
解得+1≤m≤3或-1≤m≤1-.
∴m的取值范围是
(2)可设双曲线方程为由得.又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45o,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.因此,(不妨设P在第一象限)直线PQ方程为.直线AP的方程y=x-1,∴解得P的坐标是(2+,1+),将P点坐标代入得,,所以所求双曲线方程为即8. ⑴解方程组,得或,即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由kAB=,直线AB的垂直平分线方程y－1=-2(x－2).令y=－5, 得x=5,
∴Q(5,－5)
(2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x2－4).∵点P到直线OQ的距离d==,
,∴SΔOPQ＝＝.∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上,
∴－4≤x&4－4或4－4&x≤8.
∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增,
∴当x=8时, ΔOPQ的面积取到最大值30.
9. (1)设椭圆的方程为,由题设条件得
解得. 所以.
所以椭圆的方程为.
(注:由得椭圆的方程为,也是正确的.)
(2)从15日9时到16日6时共21个小时,合21×3600秒,减去开始的9分50秒,即9×60＋50＝590(秒),再减去最后多计的1分钟,共减去590＋60＝650(秒).
得飞船巡天飞行的时间是
平均速度是(千米/秒)
所以飞船巡天飞行的平均速度是8km/s.
本章测试题
一、选择题
二、填空题
三、解答题
18．（1）；（3）19．（2）算出，直线经过点P，求出
，所以直线的倾斜角
20.（1）设点到抛物线的准线：的距离为，由抛物线的定义知，
　　抛物线的方程为.
（2）由（1）得，设直线的方程为，显然，。把直线方程代入抛物线，得，　, 即,直线斜率的取值范围为,所以，直线倾斜角的取值范围为.
21．（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5），
椭圆方程为.
将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得.因此隧道的拱宽约为33.3米.
　（2）由椭圆方程，得
故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.
22．（1）设得
所以v－3&0,得v=8,故=（6，8）.
　（2）由=（10，5），得B（10，5），于是直线OB方程：
由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为.设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则
　故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10.
　（3）设P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直线OB对称两点，则
故当时，抛物线y=ax2－1上总有关于直线OB对称的两点.
高二数学圆锥曲线
品德与社会
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