（学生活动）思考：如图6所示，两个倾角相同的斜面；滑的水平地面上，小斜面；在大斜面的顶端；无初速释放后，小斜面下；滑，大斜面后退；小斜面的质量分别为M；和m，底边长分别为a；和b，试求：小斜面滑；到底端时，大斜面后退的；距离；解：水平方向动量守恒；进阶应用：如图7所示，一个质量为M，半；径为R的光滑均质半球，静置于光滑水平桌面上，；在球顶有一个质量为m的质点
（学生活动）思考：如图6所示，两个倾角相同的斜面，互相倒扣着放在光
滑的水平地面上，小斜面
在大斜面的顶端。将它们
无初速释放后，小斜面下
滑，大斜面后退。已知大、
小斜面的质量分别为M
和m ，底边长分别为a
和b ，试求：小斜面滑
到底端时，大斜面后退的
解：水平方向动量守恒。解题过程从略。 m答：（a－b）。 M?m
进阶应用：如图7所示，一个质量为M ，半
径为R的光滑均质半球，静置于光滑水平桌面上，
在球顶有一个质量为m的质点，由静止开始沿球
面下滑。试求：质点离开球面以前的轨迹。
解说：质点下滑，半球后退，这个物理情形
和上面的双斜面问题十分相似，仔细分析，由于
同样满足水平方向动量守恒，故我们介绍的“定
式”是适用的。定式解决了水平位移（位置）
的问题，竖直坐标则需要从数学的角度想一
为寻求轨迹方程，我们需要建立一个坐
标：以半球球心O为原点，沿质点滑下一侧
的水平轴为x坐标、竖直轴为y坐标。
由于质点相对半球总是做圆周运动的
（离开球面前），有必要引入相对运动中半
球球心O′的方位角θ来表达质点的瞬时位
置，如图8所示。
由“定式”，易得： Mx = Rsinθ
而由图知：y = Rcosθ
不难看出，①、②两式实际上已经是一个轨迹的参数方程。为了明确轨迹的性质，我们可以将参数θ消掉，使它们成为：
+ 2 = 1 MR2(R)M?m
这样，特征就明显了：质点的轨迹是一个长、短半轴分别为R和
五、功的定义式中S怎么取值？
在求解功的问题时，有时遇到力的作用点位移与受力物体的（质心）位移不等，S是取力的作用点的位移，还是取物体（质心）
的位移呢？我们先看下面一些事例。
1、如图9所示，人用双手压在台面上推讲台，
结果双手前进了一段位移而讲台未移动。试问：人
是否做了功？
2、在本“部分”第3页图1的模型中，求拉
力做功时，S是否可以取绳子质心的位移？
3、人登静止的楼梯，从一楼到二楼。楼梯是
4、如图10所示，双手用等大反向的力F压固
定汽缸两边的活塞，活塞移动相同距离S，汽缸中封闭气体被压缩。施力者（人）是否做功？
在以上四个事例中，S若取作用点位移，只有第1、
2、4例是做功的（注意第3例，楼梯支持力的作用点并
未移动，而只是在不停地交换作用点），S若取物体（受
力者）质心位移，只有第2、3例是做功的，而且，尽
管第2例都做了功，数字并不相同。所以，用不同的判
据得出的结论出现了本质的分歧。
面对这些似是而非的“疑难杂症”，我们先回到“做
功是物体能量转化的量度”这一根本点。
第1例，手和讲台面摩擦生了热，内能的生成必然是由人的生物能转化而来，人肯定做了功。S宜取作用点的位移；
第2例，求拉力的功，在前面已经阐述，S取作用点位移为佳；
第3例，楼梯不需要输出任何能量，不做功，S取作用点位移；
第4例，气体内能的增加必然是由人输出的，压力做功，S取作用点位移。 但是，如果分别以上四例中的受力者用动能定理，第1例，人对讲台不做功，S取物体质心位移；第2例，动能增量对应S取L/2时的值――物体质心位移；第4例，气体宏观动能无增量，S取质心位移。（第3例的分析暂时延后。）
以上分析在援引理论知识方面都没有错，如何使它们统一？原来，功的概念有广义和狭义之分。在力学中，功的狭义概念仅指机械能转换的量度；而在物理学中功的广义概念指除热传递外的一切能量转换的量度。所以功也可定义为能量转换的量度。一个系统总能量的变化，常以系统对外做功的多少来量度。能量可以是机械能、电能、热能、化学能等各种形式，也可以多种形式的能量同时发生转化。由此可见，上面分析中，第一个理论对应的广义的功，第二个理论对应的则是狭义的功，它们都没有错误，只是在现阶段的教材中还没有将它们及时地区分开来而已。
而且，我们不难归纳：求广义的功，S取作用点的位移；求狭义的功，S取物体（质心）位移。
那么我们在解题中如何处理呢？这里给大家几点建议： 1、抽象地讲“某某力做的功”一般指广义的功；2、讲“力对某物体做的功”常常指狭义的功；3、动能定理中的功肯定是指狭义的功。
当然，求解功地问题时，还要注意具体问题具体分析。如上面的第3例，就相对复杂一些。如果认为所求为狭义的功，S
取质心位移，是做了功，但结论仍
然是难以令人接受的。下面我们来这样一个处理：将复杂的形变物体（人）看成这样一个相对理想的组合：刚性物体下面连接一压缩的弹簧（如图11所示），人每一次蹬梯，腿伸直将躯体重心上举，等效为弹簧将刚性物体举起。
这样，我们就不难发现，做功的是人的双腿而非地面，人既是输出
能量（生物能）的机构，也是得到能量（机械能）的机构――这里
的物理情形更象是一种生物情形。本题所求的功应理解为广义功为
以上四例有一些共同的特点：要么，受力物体情形比较复杂（形
变，不能简单地看成一个质点。如第2、第3、第4例），要么，施
力者和受力者之间的能量转化不是封闭的（涉及到第三方，或机械
能以外的形式。如第1例）。以后，当遇到这样的问题时，需要我们慎重对待。
（学生活动）思考：足够长的水平传送带维持匀速v运转。将一袋货物无初速地放上去，在货物达到速度v之前，与传送带的摩擦力大小为f ，对地的位移为S 。试问：求摩擦力的功时，是否可以用W = fS ？
解：按一般的理解，这里应指广义的功（对应传送带引擎输出的能量），所以“位移”取作用点的位移。注意，在此处有一个隐含的“交换作用点”的问题，仔细分析，不难发现，每一个（相对皮带不动的）作用点的位移为2S 。（另解：求货物动能的增加和与皮带摩擦生热的总和。）
（学生活动）思考：
如图12所示，人站在船
上，通过拉一根固定在铁
桩的缆绳使船靠岸。试问：
缆绳是否对船和人的系统
解：分析同上面的“第
六、机械能守恒与运动合
成（分解）的综合
物理情形：如图13所示，直角形的刚性杆被固定，水平和竖直部分均足够长。质量分别为m1和m2的A、B两个有孔小球，串在杆上，且被长为L的轻绳相
连。忽略两球的大小，初态时，认为它们的位置在同一高度，且绳处于拉直状态。现无初速地将系统释放，忽略一切摩擦，试求B球运动L/2时的速度v2 。
模型分析：A、B系统机械能守恒。A、B两球的瞬时速度不等，其关系可据“第三部分”知识介绍的定式（滑轮小船）去
（学生活动）A球的机械能是否守恒？B
球的机械能是否守恒？系统机械能守恒的理
由是什么（两法分析：a、“微元法”判断两个
WT的代数和为零；b、无非弹性碰撞，无摩擦，
没有其它形式能的生成）？
由“拓展条件”可以判断，A、B系统机械
能守恒，（设末态A球的瞬时速率为v1 ）
的方程为：
L112m2g = m1v1 + m2v2
在末态，绳与水平杆的瞬时夹角为30°，设绳子的瞬时迁移速率为v ，根据“第三部分”知识介绍的定式，有：
v1 = v/cos30°, v2 = v/sin30°
两式合并成：v1 = v2 tg30°= v2/
解①、②两式，得：v2 = 3m2gL m1?m2
七、动量和能量的综合（一）
物理情形：如图14所示，两根长度均为L的刚性轻杆，一端通过质量为m的球形铰链连接，另一端分别与质量为m和2m的小球相连。将此装置的两杆合拢，铰链在上、竖直地放在水平桌面上，然后轻敲一下，使两小球向两边滑动，但两杆始终保持在竖直平面内。忽略一切摩擦，试
求：两杆夹角为90°时，质量为2m的小球的速度
模型分析：三球系统机械能守恒、水平方向动
量守恒，并注意约束关系――两杆不可伸长。
（学生活动）初步判断：左边小球和球形铰链
的速度方向会怎样？
设末态（杆夹角90°）左边小球的速度为v（1方
向：水平向左），球形铰链的速度为v（方向：和竖
直方向夹θ角斜向左），
对题设过程，三球系统机械能守恒，有： mg( L-11122L) = mv1 + mv2 + 2mv2
三球系统水平方向动量守恒，有：
mv1 + mvsinθ= 2mv2
左边杆子不形变，有：
v1cos45°= vcos(45°-θ)
右边杆子不形变，有：
vcos(45°+θ) = v2cos45°
四个方程，解四个未知量（v1 、v2 、
v和θ），是可行的。推荐解方程的步骤如下――
1、③、④两式用v2替代v1和v ，代入②式，解θ值，得：tgθ= 1/4
2、在回到③、④两式，得：
5v1 = v2 ,
3、将v1 、v的替代式代入①式解v2即可。结果：v2 = 3gL(2?2) 20
（学生活动）思考：球形铰链触地前一瞬，左球、铰链和右球的速度分别是多少？
解：由两杆不可形变，知三球的水平速度均为零，θ为零。一个能量方程足以解题。
答：0 、2gL 、0 。
（学生活动）思考：当两杆夹角为90°时，右边小球的位移是多少？ 解：水平方向用“反冲位移定式”，或水平方向用质心运动定律。 答：32L 。 8
进阶应用：在本讲模型“四、反冲……”的“进阶应用”（见图8）中，当质点m滑到方位角θ时（未脱离半球），质点的速度v
的大小、方向怎样？
解说：此例综合应用运动合成、动量守恒、机械
能守恒知识，数学运算比较繁复，是一道考查学生各
种能力和素质的难题。
据运动的合成，有：
????v点?半球 = v点?地 + v地?半球 = v点?地 -
?其中v半球?地必然是沿地面向左的，为了书写方
?便，我们设其大小为v2 ；v点?半球必然是沿半球瞬时位置切线方向（垂直瞬时半
?径）的，设大小为v相 。根据矢量减法的三角形法则，可以得到v点?地（设大小
为v1）的示意图，如图16所示。同时，我们将v1的x、y分量v1x和v1y也描绘在图中。
由图可得：v1y =（v2 + v1x）tgθ
质点和半球系统水平方向动量守恒，有：Mv2 = mv1x
1对题设过程，质点和半球系统机械能守恒，有：mgR(1-cosθ) = Mv2
12mv1 ，即： 2
1122mgR(1-cosθ) = Mv2 + m（v12x + v1y）
三个方程，解三个未知量（v2 、v1x 、v1y）是可行的，但数学运算繁复，推
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两个完全相同的质量m的木版A&B置于水平地面上　它们的间距s=2.88m.质量为2m，大小可忽略的物块Ｃ置于Ａ的左端．Ｃ与Ａ之间的动摩擦因数为０．２２，Ａ．Ｂ与水平地面之间的动摩擦因数为０．１，最大静摩擦力可以认为等于滑动摩擦力．开始时候三个物体处于静止，现在给Ｃ施加一个水平向右，大小为0.４mg的恒力Ｆ，假定ＡＢ碰撞时间急短且碰撞后粘在一起，要使Ｃ最终不脱离木版，求每块木版的长度至少是多少？&&
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三个运动过程
1.&C在A上加速&C同时加速
2.&碰撞&AB总动量守恒
3.&C在B上减速&AB一起加速&直至三个物体速度相等
要求C不掉下来&就是要求在过程1和过程3中不会掉下来
根据所给数据可以计算
---------------------------------&
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生活所迫&多谢&多谢&
高中物理及竞赛辅导&
&
&
&地点天津&
理论物理博士&
曾带一学生获物理奥赛一等奖&
带另两学生进入复赛&
&
q
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5楼动量守衡??
无摩擦冲量??
博士??
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