正弦定理、余弦定理
面积公式：S△=bcsinA=absinC=acsinB.
2.正弦定理的变形及应用
变形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
(2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c
(3)sinA=,sinB=,sinC=.
应用(1)利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：
a.已知两角和任一边，求其他两边和一角.
b.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.
一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况.
①A为锐角时
,cosB=,cosC=
在三角形中，我们把三条边(a、b、c)和三个内角(A、B、C)称为六个基本元素，只要已知其中的三个元素(至少一个是边)，便可以求出其余的三个未知元素(可能有两解、一解、无解)，这个过程叫做解三角形，余弦定理的主要作用是解斜三角形.
4.解三角形问题时，须注意的三角关系式：A+B+C=π
0＜A，B，C＜π
sin=sin=cos
sin(A+B)=sinC
特别地，在锐角三角形中，sinA＜cosB,sinB＜cosC,sinC＜cosA.
=及A=2C得=,即=,
由已知a+c=8=2b及余弦定理，得
∴=，整理得(2a-3c)(a-c)=0
∴a≠c,∴2a=3c.
∵a+c=8,∴a=,c=.
例2& 在△ABC中，如果lga-lgc=lgsinB=-lg，且B为锐角，试判断此三角形的形状.
解：∵lga-lgc=lgsinB=-lg,
又∵0°＜B＜90°，∴B=45°
由lga-lgc=-lg,得= .
由正弦定理得= .
即2sin(135°-C)= sinC
即2［sin135°cosC-cos135°sinC］=sinC.
∴cosC=0,得C=90°
又∵A=45°,∴B=45°
从而△ABC是等腰直角三角形.
例3& 如图已知：平行四边形两邻边长为a和b(a＜b)，两对角线的一个交角为θ(0°＜θ＜90°)，求该平行四边形的面积.
∴S□=4S△AOB=2xysinθ=tanθ
例4& 在△ABC中，已知4sinBsinC=1,b2+c2-a2=bc,且B＞C，求A、B、C.
分析：由于题设条件b2+c2-a2=bc十分特殊，将它与余弦定理对照可得A=60°,这样B+C=120°，于是再利用条件4sinBsinC=1，可求得B与C.
解：由余弦定理cosA===.
又∵0°＜A＜180°
∴B+C=120°,又由于4sinBsinC=1
∴4sinBsin(120°-B)=1
∴4sinB(cosB+sinB)=1
∴sin2B+2sin2B=1
∴sin2B=cos2B
∴tan2B=,∴2B=30°或2B=210°
由于B+C=120°,且B＞C，60°＜B＜120°
∴2B=210°,
∴B=105°,从而C=15°
∴A=60°,B=105°,C=15°
例5& 已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且a+c=2b，A-C=,求sinB的值.
解法一：由正弦定理和已知条件a+c=2b，得sinA+sinC=2sinB，由和差化积公式得
2sin·cos=2sinB
由A+B+C=π，得
∴cos=2sin·cos
又∵0＜＜,cos≠0
∴sinB=· =.
解法二：由正弦定理和已知条件a+c=2b，得sinA+sinC=2sinB
∵A-C=,A+B+C=π
两式相减可得B=-2C
∴sin(+C)+sinC=2sinB
得sincosC+cossinC+sinC=2sinB
∴cosC+sinC=2sinB
即cos(-C)=2sinB
∴cos=4sin·cos
∵0＜B＜π,∴cos≠0
∴sinB=·cosB=
分析：很明显，只要求cosC的值，应用余弦定理即可求出AB.
解法一：由已知条件a=5,b=4
===9，①由已知cos(A-B)= ,根据半角公式有
sin==,cos==
代入①式得tg=& ∵tg=ctg,
∴tg= ,根据万能公式cosC=
∴c2=a2+b2-2abcosC=36,AB=c=6
解法二：∵A＞B，如图，作∠BAD=∠B,∴AD=BD
∴= ,y=4,x=1
△CAD中再由余弦定理cosC=,∴c=6
评析：上述解法反映边向角的转化，也可由角向边转化直接求出边.
例2& 半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，且OA=2，B为半圆周上任意一点以AB为边向形外作等边三角形ABC(如图)，问B点在什么位置时，四边形OACB的面积最大，并求出这个最大面积.
·2·1·sinx=sinx,
AB2=OA2+OB2-2·OA·OB·cosx=5-4cosx.
S△ABC=AB2= (5-4cosx)= -cosx
∴SOACB=S△AOB+S△ABC
=sinx-cosx+
=2sin(x-)+
∵0＜x＜π,- ＜x-＜& ∴x-=时，
∴即x=时,SOACB有最大值2+(平方单位)
例3& 已知△ABC中，AB=AC=a,∠BAC=φ，等边三角形PQR的三边分别通过A，B，C三点.试求△PQR的面积的最大值.
PQ2，问题可转化为求边长PQ的最大值.为此需要建立PQ的函数式，这又必须选取适当的量作为自变量.观察图形可以发现，PQ的位置是随着∠PAB的大小变化而变化的.不妨就以∠PAB为自变量.以下的程序就是应用三角形的边角关系，求出以∠PAB的三角函数表示PQ的解析式，最后求它的最大值.
解：设∠PAB=x,那么∠PBA=120°-x,∠QAC=180°-x-φ，∠QCA=x+φ-60°.
在△PAB中，∵=，
∴PA=sin(120°-x),
在△AQC中，=
∴AQ=sin(x+φ-60°)
∴PQ=PA+AQ=［sin(120°-x)+sin(x+φ-60°)］
=sin(+30°)cos(90°--x).
因为其中a, +30°都是常量，所以当90°--x=0即x=90°-时，取得
(PQ)max=sin(+30°)
同时也就取得了
(S△)max= (PQ)2max
=a2sin2(+30°)
例4& 在△ABC中，已知A=，求证：＜c-a＜.
证明：在△ABC中，由A=，得C=2A，∴B=π-3A,∴0＜A＜
∵0＜A＜，∴＜cosA＜1，即2＜2cosA+1＜3∴＜＜,故＜c-a＜.
评析：解本题的关键是利用正弦定理及三角公式将转化为，结合角A的取值范围推得结论.
cm和4cm,面积是48cm2.
，求sinB的值.
解：根据正弦定理和已知可得：sinA+sinC=2sinB,A+B+C=π
则2sin·cos=2sinB.
又A-C=,sin=cos
∴2coscos=2sinB=4sincos
∴sinB=2··=
例2& 若△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为&&&&&&& .
解：设三角形三内角从小到大依次为B-d,B,B+d,
则B-d+B+B+d=180°∴B=60°
设最小边为x，则最大边为2x,
从而=tand=,d=30°
所以三内角分别为A=30°,B=60°,C=90°,得三内角之比为1∶2∶3.
∴应填1∶2∶3.
例3& 在△ABC中，A、B、C三顶点所对边分别为a,b,c，试证明b2=c2+a2-2accosB.
则有：2=·=(+)·(+)
=2+2+2｜｜·｜｜cos(180°-B)
=c2+a2-2ac·cosB
所以b2=c2+a2-2ac·cosB
例4& 求sin220°+cos280°+sin20cos80°的值.
解：设△ABC中的A=10°,B=20°,C=150°对应边分别为a,b,c.
△ABC的外接圆半径为2R，则由正弦定理得：
a=2Rsin10°,b=2Rsin20°,c=2Rsin150°
由余弦定理，得：
(2Rsin150°)2=(2Rsin10°)2+(2Rsin20°)2-2(2Rsin10°)(2Rsin20°)cos150°即：sin2150°=sin210°+sin220°+sin10°sin20°
则：cos280°+sin220°+sin20°cos80°=
说明：本题采用了构造法，题中余弦变正弦之后，注意到=-2cos(180°-10°-20°).高中数学课正弦定理_土豆_高清视频在线观看正弦定理怎么证_数学吧_百度贴吧
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数学书上有啊
在三角形中作出一条高 比如以c为底 然后高为h 然后有a/sinB=h=b/sinA 就得到正弦定理啦
课本上就有啊孩子
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你可能喜欢教材地位与作用：本节知识是必修五第一章《解三角形》的第一节内容，与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系与判定三角形的全等也有密切联系，在日常生活和工业生产中也时常有解三角形的问题，而且解三角形和三角函数联系在高考当中也时常考一些解答题。因此，正弦定理的知识非常重要。学情分析：作为高一学生，同学们已经掌握了基本的三角函数，特别是在一些特殊三角形中，而学生们在解决任意三角形的边与角问题，就比较困难。教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。(根据我的教学内容与学情分析以及教学重难点，我制定了如下几点教学目标)教学目标分析：知识目标：理解并掌握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。能力目标：探索正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论。情感目标：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的实际应用价值。教法学法分析：教法：采用探究式课堂教学模式，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。学法：指导学生掌握“观察――猜想――证明――应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，动手尝试相结合，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，锲而不舍的求学精神。教学过程(一)创设情境，布疑激趣“兴趣是最好的老师”，如果一节课有个好的开头，那就意味着成功了一半，本节课由一个实际问题引入，“工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如右图所示的部分，&A=47&,&B=53&,AB长为1m,想修好这个零件，但他不知道AC和BC的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗?”激发学生帮助别人的热情和学习的兴趣，从而进入今天的学习课题。(二)探寻特例，提出猜想1.激发学生思维，从自身熟悉的特例(直角三角形)入手进行研究，发现正弦定理。2.那结论对任意三角形都适用吗?指导学生分小组用刻度尺、量角器、计算器等工具对一般三角形进行验证。3.让学生总结实验结果，得出猜想：在三角形中，角与所对的边满足关系这为下一步证明树立信心，不断的使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。(三)逻辑推理，证明猜想1.强调将猜想转化为定理，需要严格的理论证明。2.鼓励学生通过作高转化为熟悉的直角三角形进行证明。3.提示学生思考哪些知识能把长度和三角函数联系起来，继而思考向量分析层面，用数量积作为工具证明定理，体现了数形结合的数学思想。4.思考是否还有其他的方法来证明正弦定理，布置课后练习，提示，做三角形的外接圆构造直角三角形，或用坐标法来证明(四)归纳总结，简单应用1.让学生用文字叙述正弦定理，引导学生发现定理具有对称和谐美，提升对数学美的享受。2.正弦定理的内容，讨论可以解决哪几类有关三角形的问题文章出自，转载请保留此链接！。3.运用正弦定理求解本节课引入的三角形零件边长的问题。自己参与实际问题的解决，能激发学生知识后用于实际的价值观。(五)讲解例题，巩固定理1.例1。在△ABC中，已知A=32&,B=81.8&,a=42.9cm.解三角形.例1简单，结果为唯一解，如果已知三角形两角两角所夹的边，以及已知两角和其中一角的对边，都可利用正弦定理来解三角形。2.例2.在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40&,解三角形.例2较难，使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能。要求学生熟悉掌握已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形。完了把时间交给学生。(六)课堂练习，提高巩固1.在△ABC中,已知下列条件,解三角形.(1)A=45&,C=30&,c=10cm(2)A=60&,B=45&,c=20cm2.在△ABC中,已知下列条件,解三角形.(1)a=20cm,b=11cm,B=30&(2)c=54cm,b=39cm,C=115&学生板演，老师巡视，及时发现问题，并解答。(七)小结反思，提高认识通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法?你对此有何体会?1.用向量证明了正弦定理，体现了数形结合的数学思想。2.它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系。3.定理证明分别从直角、锐角、钝角出发，运用分类讨论的思想。(从实际问题出发，通过猜想、实验、归纳等思维方法，最后得到了推导出正弦定理我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，我们不仅收获着结论，而且整个探索过程我们也掌握了研究问题的一般方法。在强调研究性学习方法，注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。)(八)任务后延，自主探究如果已知一个三角形的两边及其夹角，要求第三边，怎么办?发现正弦定理不适用了，那么自然过渡到下一节内容，余弦定理。布置作业，预习下一节内容。(九)作业布置P10习题1.1A组习题1。最近更新：免责声明：本文仅代表作者个人观点,与本网无关。看完本文，记得打分哦：很好下载Doc格式文档马上分享给朋友：?知道苹果代表什么吗实用文章，深受网友追捧比较有用，值得网友借鉴没有价值，写作仍需努力相关教学反思：
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