力的本质及其物理学意义
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力的本质及其物理学意义
蒋志芳著& 张哲编辑
I.Neuton1687
参考系才能进行。因此，运动与静止的意义是不相同的，应该严格区分的，具有相对性质的物理概念。如果把物理规律具有统一相同的形式称为原理，那么，动力学的相对性原理就应该而且必须将它表述为：物体在静、动状态区分的运动相对性，力学规律具有相同的形式。然而，在当今物理学上把描述物体运动的形式随着参考系选择的不同而不同，叫做运动相对性。并在此的意义上，把只能在惯性系中成立的牛顿力学规律具有相同形式的原理，称为力学相对性原理，指出这种在不同物理概念上表示的运动相对性的物理原理甚为重要，因为，爱因斯坦（A.Einstein）正是根据力学相对性原理，在惯性系存在的概念上，把光的运动与物体的匀速直线惯性运动等同起来，把力学相对性原理推广为狭义相对性原理。爱因斯坦在1919年发表《什么是相对论》的论文中说：“下面的定义是成立的：一个对惯性系做匀速直线运动的坐标系，也同样是一个惯性系。所谓狭义相对性原理就意味着这个定义的推广。”爱因斯坦为了把加速运动的参考系也包括在力学相对性原理中进行推广，在1916年发表的《广义相对论的基础》一文中把广义相对性原理表述为：“物理学的定律必须具有这样的性质，它们对于以无论哪种方式运动着的参考系都是成立的。”由此可见狭义与广义相对论中的“相对性”与牛顿力学中的运动相对性一样，都是建立在惯性系的平权等价性带来的可以选择参考系的物理基础上的。也即是说，可以把运动及其力学规律建立在随着参考系选择的不同而不同的运动相对性基础上，在参考系的性质是时、空性质的意义上，参考系的任意选择，就必然带来运动与物质和时、空相互脱离的后果，用这样的运动的相对性表示的运动及其力学规律是违背自然规律必须符合因果规律要求物理规律必须具有相同形式的统一性的，这就是牛顿力学规律是与物质无关（质量为常数）与时空无关（绝对时空），只能在惯性系中成立，而在非惯性系中不能成立的物理原因，也是狭义与广义相对论存在问题的关键所在。
所以，要使动力学的物理规律符合自然规律的因果规律的统一性，那么，就必须将运动与物质和时、空不可分割的相互联系起来。因而，参考系就是不可以任意选择的。而必须是唯一的，就只能在同一物体的静、动状态严格区分的运动的相对性意义上，以同一物体的相对静止状态为参考系，才能得到反映自然界物理真实的动力学规律。
在以物体自身的相对静止状态的参考系的意义上，就必须得出自然界中就只有静、动状态严格区分的，具有相对性的变速运动存在。时空具有绝对性质的绝对静止的物质以及绝对时空的匀速直线的惯性运动在自然界中就不存在了。速度的概念就只有在相对变速运动的极限速率概念上具有物理意义的结论。
1887年美国物理学家迈克尔逊（A·A.Michelson）—莫雷（E.W.Morley）进行了光的干涉实验，实验结果证明绝对静止的坐标系“以太”是不存在的。荷兰物理学家洛伦兹（E.Lorenz）在“以太”存在的概念上，为了解释这个实验结果，从数学分析得出干涉仪在旋转前的方程为：
△x静&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （1）
△x静、△x动表光线在干涉仪静、动状态意义上，经过的路程即空间间隔（m），是干涉仪从相对静止状态到运动状态的速度变化（m/s），c是光速（m/s）。
干涉仪在旋转90°后：因光在干涉仪中的运动路程正好彼此调换，故所得到的方程与干涉仪旋转前的方程的形式相同：
△x静 = △x动 &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（2）
迈克尔逊—莫雷实验的重大物理意义：
312G.Galileo
412cJ.C.Doppler121
FeNEJx-0mFe=dE/dFmNPkg m/st-0sFm=dp/dt
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 3
&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&4
1962cm/sJ.C.Maxwell4
E/P=c&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 5
E=c2m&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 6
dE=mvdv+v2dm&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 7
dE=c2dm& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&8
68质能联系转换规律5极限光速不变原理
dE=&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
8738Fe=dE/dx
dE=Fdx&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &10
dEFdEdxWjW=dE=Fdx109力的规律方程
F=&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&11
dmmdtdt力的规律方程可表为
F=&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&12
&&&&&&&&&&&&&&&& =&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
dv-f-dv-f减速运动的力的规律方程：
-f=&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&14
&&&&&&&&&&&&&&&& -f =&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
力的规律方程的意义：
2L.EulerF=&mF =ma13F=ma
51216F=-f12141412
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&19
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 20
&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&21
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
1623静、动状态的相对性物理规律具有相同形式的相对性原理的。
&&&&&&&&&&&&&&&&&& 24
&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&
时空速率不变原理极限光速不变原理
时空速率不变原理的物理意义：
-w=-fdx=c2dm=d=-&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
13c2f26dmdx就具有势（位）能的意义。与光速的平方等效的惯性力就具有保守内力的意义。在保守内力所做的功等于势能减少规律的意义上，就必有保守力场的存在。这个场就是以惯性势表示力，以质量变化表空间位形变化，质量具有惯性意义上的惯性场。所以物体在任一位形的势能，就等于从此位形改变到势能零点保守内力（惯性势）所做的功。惯性势能零点就在以加动质量mm
161722m=∞，则加速运动的速度变化就等于光速，在此状态的空间间隔dx，时间间隔dt都趋于零。所以是与时空速度的定义式（25）完全一致的。因此说明，时空速率不变的规律揭示了惯性场的存在，和惯性力出现的物理原因。
不久前中国科学院，对国内创新项目进行评选，张哲先生进行的“真空液柱上升实验”被评定为具有重要意义的获奖项目。张先生提出的真空力正是惯性场中的惯性力，因此，张先生的实验就是惯性场存在的有力证明。
（2）物质在任何状态的时、空速率不变就表明物体在变速运动中的空间间隔与时间间隔在静、动状态的相对变换是按相同的比率同步进行的。从式（15）到式（23）可见，物体在变速运动过程中产生的能量、动量的变化是与空间、时间的变化成反比规律联系的，是符合式（3）表示的力的全面定义规律的。
（3）若空间间隔用波长λ（m）表示，时间间隔用周期T（s）表示，在频率（s-1）是1秒时间间隔内所包含的周期数（1，2，3……正整数），波数k（m-1）是1米空间间隔内所包含的波长数（1，2，3……正整数）的物理意义上，由式（17）或（19）与式（20）或（21），式（16）或（18）与式（22）或（23）成反比联系的规律表为：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&（27）
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （28）
式（27）是普朗克（planck）、爱因斯坦（A.Einstein）、玻尔（N.Bohr）的能量量子性的表达式。式（28）是德布罗依（Louis de Brogie）物质的波粒二象性的表达式，式中h是普朗克常数，由于任何变速的曲线运动在极限意义上都有一个曲率园存在，所以在时、空是间隔意义上的空间、时间都是用曲率园的圆周弧长△x=λ=2πr，△t=T=2πr/c度量的，表明空间、时间的几何性质是弯曲的。时间、空间用频率、波数表示就直接表明时间、空间的物理性质是量子性的。在时间、空间是动力学的物理基础的意义上，物质的波、粒二象性就是由时、空的物理和几何性质决定的。在运动是时、空变化的意义上，力作用于物体做变速运动产生的能量、动量变化的效应，实质上是时、空变化的一个物理效应。即是说物体在变速运动中产生的时间间隔、空间间隔在静、动状态相对变换效应，实际上是能量、动量变换的物理效应，而不是实体时钟和标尺的快、慢、缩、伸效应。然而，在爱因斯坦的狭义相对论中，把在静、动状态严格区分具有相对性，物体在变速运动中产生的时、空在静、动状态的相对变换规律，说成是在惯性系平权等价意义上静动状态不分的时、空具有绝对性质的惯性系的变换规律。在惯性系的等价性物理规律具有相同形式的力学相对性原理的概念上，合二为一的把片面的加速运动的“尺缩”规律和减速运动的“钟慢”规律，摆在客观存在的绝对规律的位置上，而认为是钟表、标尺真实的物理效果，致使人类长期以来对时、空性质的错误理解和认识，而得出一些谬佯难解的问题，在一百多年后的今天是应该澄清的时候了。
6mFABmmm-FBAmm
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
1820H.C.Oerstedab-qa+qbF-FF
F=&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 30
缶（E?tv?s）在1908年的实验证明。惯性质量与引力质量相等或成正比的规律和前述的从作用力与反作用力得到的式（18）或式（23）表示的质量与空间间隔成反比联系的规律，全面论证了惯性场与引力场的物理规律是全面等效的。并证明了具有标量性质的能量力与电场力等效。具有矢量性质的动量力与磁场力等效。因此说明了物体在作用力作用下做加速运动，由时、空变化产生成比例的能量、动量的变化而做功，由于保守力场的存在，就要以光的速度出现一个与作用力等值反向的反作用力作用于物体，于是在物体内部就要产生保守力场的负值势能的降低，物体为了保持能量、动量平衡，就要以光的速度向外发射由在Y轴方向的正弦形式的能量波和在Z轴方向的正弦形式的动量波组成的按右手螺旋定则沿X轴方向传播的简谐波。这个简谐波就是具有惯性质量的物质做加速运动时向外发射的惯性波，具有引力质量的物体做加速运动时就要向外发射的引力波，具有电磁性质电量的电荷做加速运动时就要向外发射的电磁波。
英国物理学家麦克斯韦（J.C.Maxwell）在1864年发表的《电磁场动力论》论文中证明电场与磁场是相互垂直并和传播方向垂直，以光速传播的电磁波，并得出光波就是电磁波的结论，在1888年被赫芝（H.R.Hertz）的实验所证实。
在光速是物体变速运动的极限速率的意义上，电磁波的能量与动量比值必定等于光速如式（5）所示。在电场力与能量力，和相互垂直的磁场上与动量力相等的意义上，分别以空间（x-0）、时间（t-0）对能量力和动量力进行偏微分：
& &&（a）&&
&&&&&&&&&&&&&（b）
&& （c）&&&&&&&
&&&&&&&&（d）
据力的全面定义Fe=Fm， &， &所以
&&& （e）&&&&&&&& &&&&&&（f）
因势能ε(j)的变化以光速进行，在光速是在静、动状态严格区分意义上的以静质量（动量）等于零，静能量等于零为参考系的相对变速运动的极限速率的意义上，对力的全面定义式（3）进行积分就得到ε=cp，代入式（e），或（f）得
& &（g）&&
&&&&&&&&&&（h）
将式（h）代入式（e），得能量波方程，即电场强度表示的电场波方程：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
将式（g）代入式（f），得动量波方程，即磁场强度表示的磁场波方程：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
这里需要说明的是，势能的概念是从保守内力做功的意义上引进的，只具有由空间位形决定的，具有标量性质的单值函数。所以能量力的概念是在能量变化是力在空间间隔内的积累量意义上，与速率变化快慢相关的力，所以具有能量对空间变化率的意义。动量力的概念是在动量变化，是力在时间间隔内的积累量意义上，是与由运动方向改变引起的速度变化快慢相关的力，所以具有动量对时间变化率的意义。因此，我在《变速系相对论》一书中就直接用空间对能量力进行偏微分，用时间对动量力进行偏微分去得出式（31）和式（32）表示的能量波和动量波的波动方程。
由于在变速的曲线运动中，在极限意义上都有一个速度变化为定值（时空速度或光速）的曲率圆的圆周运动存在。因此就有相互垂直的切向加速度和法向加速度。根据这两个加速度的意义，与切向加速度相联系的力就是与电场力等效的能量力，与法向加速度相联系的力就是与磁场力等效的动量力。两者是相等且相互垂直的，根据自然坐标系表示的曲率圆的圆周运动的规律，式（31）表示的与电场波等效的能量波是以正弦波的形式沿Y轴方向传播的。式（32）表示的与磁场波等效的动量波是以正弦波的形式沿Z轴方向传播的。所以电磁波、惯性波和引力波都是由能量波和动量波组成的，按右手螺旋定则沿X轴方向以光速横向传播的简谐波。所以，在规律形式相同的意义上，惯性场、引力场和电磁场是统一的。
从以上所述可见，从力的定义及规律方程导出了能量、质量（动量）、空间间隔、时间间隔在静、动状态的相对变换规律，证明了能量、动量物理性质的量子性是由时间、空间物理性质的量子性表示的，物质的波、粒二象性是与时、空的物理和几何性质不可分割相互联系在一起的。在能量变化是力在空间间隔内的积累量、动量变化是力在时间间隔内的积累量的意义上，证明了惯性场的存在并在规律形式相同的意义上将它与引力场和电磁场统一了起来。所以在相对性原理的意义是：静、动状态具有相对性，物理规律具有相同形式的概念上，我们将静、动状态的能量变化是力在空间间隔的积累量、动量变化是力在时间间隔内的积累量，物理规律具有相同形式的原理叫做力的相对性原理。在静、动状态具有相对性的变速运动的物理规律具有相同形式的原理叫做变速系相对性原理。
从力的全面定义方程式（3）推得了变速系相对性原理普遍方程：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
变换因子&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（34）
因此，理论和实验证明，建立在这个原理基础上的变速系相对论在物理学中是一个具有重大意义的基础理论。
关于相等且相互垂直的能量力和动量力合力的方向是按右手螺旋定则指向的证明
设有沿X轴和Y轴方向做简谐运动的方程为：x=Rcosωt和y=Rsinωt。若将两个函数取平方相加得：
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&x2+y2=R2&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（1）
由于x轴与y轴相垂直，ωt角度又相等，因此，由这两个相互垂直的简谐运动组成的直角三角形中，ωt角就必然等于，因此sinωt=cosωt。因此表明，由相等且相互垂直的两个简谐运动合成的运动，是物体做半径为R的圆周运动。若将物体在任一时间的位矢r表为：
r=xi+yj=Rcosωti+Rsinωtj& &&&&&&&&（2）
&&& 则位矢的数值为& &&&&&&&&&&&&&&（3）
&&& 因此，物体在任一时间的速度v可由式（2）表示的位矢求得，在R、ω的常数时
&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&
所以沿x、y轴的分速度为：
&&&&&&&&&&&&&&&&vx=-Rωsinωt&&& vy=Rωcosωt&&& （4）
所以速度&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
如果加速度a(m/s2)的大小用表示
因在数值上&&
所以，加速度&&& （6）
用位矢表示时为a=-rω2& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&（7）
式（7）中的负号表明，由相等且相互垂直的两个方向做简谐运动合成的是物体做匀速圆周运动，只有一个与位矢的方向相反的指向圆心的，其值为ω2R的向心加速度（或法向加速度）存在，而切向加速度是不存在的。
在以物体自身的相对静止状态的参考系，自然界只有静动状态具有相对性的变速运动存在的物理概念上，就必然得出匀速直线的惯性运动和没有切向加速度的匀速圆周运动是不存在的结论。所以在自然界中只有既有法向加速度又有切向加速度的，在静、动状态具有相对性的变速运动意义上的圆周运动存在。
在任何变速的直线运动都是一条曲线运动的意义上，任何变速的曲线运动，在极限意义上都有一个曲率圆存在。因此，物体在任何瞬时的变速运动与在极限意义上的曲率圆的圆周运动相对应，现将此圆周运动用图（一）表示，图中R为半径，O为圆心，A为切点，△为圆心夹角，在lim△t→0的极限意义上有：
弧长△s与弦长ds趋向相等，因此有：
故速度&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （8）
式中叫做物体运动的角速度（rad/s）或（S-1）。即
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （9）
角速度是矢量，它的大小由式（9）决定，它的方向即圆周运动的转轴方向，即按右手螺旋定则，垂直于圆的切向和法向构成的平面指向读者。
把式（9）代入式（8），得ν=R与式（6）表示的速度公式完全相同，因此表明在极限意义上的曲率圆的圆周运动，是一个速度变化的定值的圆周运动。因此可将用角速度表示的圆周运动用自然坐标系图（二）表示。图中r是矢径，它在数量上与曲率圆的半径R相等，但在方向上是不相同的，因此圆周运动的速度应为
v=r& &&&&&&&&&&&&（10）
所以加速度
因是角加速度，其值为，是表示物体运动速度变化快慢的切向加速度，它是具有标量性质的代数量。所以
&&&&&&&&&&&&&&&& （11）
因，所以。因此，该式表示的加速度是与切向加速度相垂直的指向圆的法向加速度，它的意义是物体运动方向变化引起的速度的变化率是一个矢量。因，所以
&&&&&&&&&&&&&&&& （12）
由于曲率圆的运动是一个在极限意义上，速度变化的定值的圆周运动。所以这个速度是与运动状态无关，与参考系无关的状态速度，具有时空速度的意义。据时空速度不变原理的时空速率的惯性意义，因此，与加速度相联系的力的规律，应服从在惯性系中成立的力与加速度成正比的规律。所以与具有标量性质的切向加速度相联系的力就具有能量力和电场力的意义。与具有矢量性质的法向加速度相联系的力就具有动量力和磁场力的意义。因此要证明能量力与动量力相等，就必须证明切向加速度与法向加速度相等，证明如下：按式（11）、式（12），若=则有
&&&&&&&&&&&&&&&&&& （a）
&&&&&&&&&&&&&&&&&& （b）
两端进行积分，因所以有
&&&&&&&&&&&&&&&&& （c）
因代入式（c）得
所以有&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
在角速度ω是圆频率的意义上有，故可将式（d）表为=R=r。即式（10）的方程。因而证明相互垂直的切向加速度与法向加速度在数值上是相等的。这样就证明了两个相等和相互垂直的能量力和动量力合成的运动，是一个在极限意义上的曲率圆的圆周运动，合力的指向是按右手螺旋定则是与这两个力都垂直的圆周运动的转轴方向。
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &蒋志方著 & 张哲编辑& &&& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & 2013年9月于西安
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　　宋朝中央政府的绝大多数官员，是不能享受配备“公车”待遇的。你若不想辛苦走路上下班，只能自掏腰包买匹“私家马”。买不起一匹“私家马”，又不想买匹骒马充数，那怎么办？可以坐“出租马”。宋代开封府的“出租马”服务业很发达。
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　　戏说历史总会不经意间让人中毒，潜移默化其思维方式，现代许多文人非常向往宋代，或多或少就是受“戏说”影响。拿宋代科举屡次“扩招”来说，现代人想得太好：其一，政府求贤若渴；其二，同情并理解读书人。
　　在一千多年前，出现了人口大量聚集的城市，那个时候，大雨、暴雨出现也很频繁，却少有城市被淹的记录，特别是古都北京，城市里殿宇林立，却很少被水淹。通过考古发现，北京古城建造之初，就建立了周密高效的排水系统。
　　威武雄壮的军阵，再现了秦始皇当年为完成统一中国大业而展现的军功和军威。一个由7000多件兵马俑组成的气势磅礴的地下军阵，令全球瞩目，举世震惊。秦代这种杰出的泥塑工艺和制陶工艺，使后人佩服得五体投地。
　　那时候杭州的人太多，房太少，土地太紧张，广大市民只能用红漆马桶代替厕所，用火葬的方式代替土葬，以此来节省地皮。北宋灭亡以后，皇亲国戚和文武百官纷纷涌到杭州，也跟着南迁，分别在杭州、苏州等江南城市安家落户。
　　李鸿章是个复杂的历史人物，他从镇压太平天国起家，以一介文人投身戎马，匡扶行将倒塌的帝国大厦。他大声疾呼必须改变士大夫“沉浸于章句小楷之积习”，亲手创建了工厂、铁路和装备近代兵器的军队，努力把中国引上现代化道路。
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自然坐标 ? 切向和法向加速度
一、自然坐标
如图所示，沿质点运动轨迹建立一弯曲的坐标轴，选择轨迹上一点 为“原点”，用由原点 至质点位置的弧长 S 作为质点位置坐标，若轨迹限于平面内，弧长 S 叫做平面自然坐标。
S 的正方向：沿坐标增加的方向（人为规定）， S 可正可负。
质点的运动学方程：
利用自然坐标对矢量进行正交分解：
（ 1 ）沿切线方向：
切向单位矢量：沿曲线切线且指向自然坐标 S 增加的方向为单位矢量，通常用 表示。
（ 2 ）沿法线方向：
法向单位矢量：沿曲线切向且指向曲线凹侧的单位矢量，用 表示。
A 点的 和 如图所示 。
注意 ：任何矢量都可向 和 方向作正交分解。另外 和 不是恒矢量 ，虽然大小时时刻刻都是 1 ，但它们的方向通常随质点位置的改变而 变化。故 ，
由速度的定义 ， ， 的方向趋于位移起点处的切线。
的大小趋于对应的弧长 。如图示： 时， ， 可正可负。
∴ 的方向与 的方向相 同或相反。
为速度在切向单位矢量方向的投影，得：
讨论 ： 不同于速率 ： 可正可负，而速率 仅大于零。
因为： 。 S 增加的方向与 方向一致， ， ，即质点沿 方向运动。若 ， ，即质点逆 而运动。
即： 可正可负，而速率 v 只是正的数值。
因此，在自然坐标系中，质点任何时刻的速率沿轨迹的切线，速度 仅有切线投影 ，不存在法向投影，所以 。
三、加速度
1 、 速度的改变量
在 AC 上截取 AD=AB ，所以 （ 3 ）
若速度的方向不变， ，所以 是由速度的大小改变而引起的变化量。
若速度的大小不变， ，所以 是由速度的方向改变而引起的变化量。
总之 ： 是由速度的变化而引起的。
2 、曲率――曲线的弯曲程度
考虑质点轨迹上的两段相等的弧长 和 ，均等于 。
： A 点附近的弧 的两端点处切线的夹角。
： B 点附近的弧 的两端点处切线的夹角。
表示曲线在弧 段上的平均弯曲程度，
表示曲线在 A 点上的曲率（ k ） , (4)
曲率越大，弯曲程度就越大。
例如 ：圆的曲率 ， 半径越大， k 越小。
即：圆是各点曲率都相同的曲线。
直线的曲率： k=0 处处为零。
曲率半径： 圆的曲率半径是 ，直线的曲率半径是 。
补充 ：在平面直角坐标中，若一曲线方程为： ，则它的曲率为：
3 、加速度
见右图有：
（ 1 ） 切向加速度
注意 ：这里 v 指的是速率。
所以切向加速度 （ 方向沿质点运动方向）
（ 2 ） 法向加速度
所以： （ 8 ）
（ 1 ） 是由速度大小变化而产生的，若 ，则做匀速率运动。是由速度方向变化而产生的，若 ，则做直线运动。
（2 ）故 与 同方向。 时， ，说明质点速度大小增加，则运动越来越快， 与 同向； 时， ，说明质点运动越来越快， 与 反向。
例题一： 已知质点在椭圆上匀速率运动，即对椭圆上的两点 A 和 B ，有 ，判断二者加 速度的大小关系。
解： & ∵ ， ∴ ，
∵ ， ∴ ，
&&&&& ∴ ，
注：曲率半径 和椭圆的半长轴，半短轴无关，不要混淆。
例题二 ：若已知质点作斜抛运动，初速度为 ，与轴的夹角为 ，求：质点在最高点和落地点其运动轨迹的曲率半径。
解： 如图，建立直角坐标系
质点的速度：
& 落地点：
总结： （ 1 ） 本节的难点是推导加速度的数学表达式， 。同时理解 、 产生的原因和根源。
（ 2 ） 使用加速度公式 灵活应用解题。
练习题 1. 列车在圆孤形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，其运动学方程为 s=80t-t 2 ， ( 长度：米，时间：秒 ).t=0 时，列车在图中 O 点．此圆孤形轨道的半径 r=1500m ．求列车驶过 O 点以后前进至 1200m 处的速率及加速度。
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大学物理(1)考试试题A
导读：江西理工大学考试试卷，江西理工大学考试试卷试卷编号：班级学号姓名一、填空题(每小题3分，共36分)1、一质点沿x轴运动，其加速度为a=2t(SI制)，当t=0，时物体静止于x=10m处，则t时刻质点的速度：v=__________，位置：x=__________。2.一质点沿半径为0.1m的圆周运动,其角位置?随时间t变化规律为:??2t3,则t时质点的角速度??；??。3、已知
江 西 理 工 大 学 考 试 试 卷
试卷编号：
一、填空题(每小题3分，共36分)
1、一质点沿x轴运动，其加速度为a = 2t (SI制)，当t=0，时物体静止于x =10m处，则t时刻质点的速度：v=_________
_，位置：x =_________
_ 。 2. 一质点沿半径为0.1m的圆周运动,其角位置?随时间t变化规律为:??2t3 ,则t时质点的角速度??
3、已知mB?2kg，mA?1kg，mA与mB；mB与桌面间的摩擦系数均为??0.5。今用水平力F
推mB，则mA与
mB间的摩擦力大小f?
,mA的加速度大小aA=
4、已知地球质量为M，半径为R。一质量为m 的火箭从地面上升到距地面高度为R处，在此过程中，地球引力对火箭做的功为： A=
5、质量为m的质点在惯性系中，沿x轴正向做直线运动，设质点通过坐标点为x时的速度为v= kx (k为常数)，则作用在质点上的合力F =
。质点从x=x0处运动到x=3x0处所需的时间t=
6、质量为m的物体以初速度vO倾角α斜向抛出，不计空气阻力，抛出点与落地点在同一水平面，则整个过程中，物体所受重力的冲量大小为：
，方向为：
。 7、如图所示，一长为l质量为m的均匀细棒，绕通过A
平轴在铅直面内自由转动，则它对该水
平轴的转动惯?=
；现将棒从水平位置由静止释放，位置时的角速度?=
；棒的角加速度??
8、质点系动量守恒的条件:
； 质点系机械能守恒的条件:
质点系角动量守恒的条件:
9、质量为m，半径为R的均质圆盘，绕通过其中心且垂直于圆盘的固定轴在竖直平面内以匀角速度?转动，则圆盘对轴的动量为： _________ _；圆盘对轴的转动惯量为：
；圆盘对轴的角动量为：
10、三个相同的点电荷q，分别放在边长为L的等边三角形的三个顶点处，则三角形中心的电势U =
，电场强度大小E =
，将单位正电荷从中心移到无限远时，电场力作功A =
11、真空中半径为R的球体均匀带电，总电量为q，则球面上一点的电势U1 =
；球体外距离球心为r处的电势U2 =
12、一均匀静电场，场强E?(400i?600j)v.m?1
，则点a(3，2)和点b(1,0)之间的
电势差Uab=
二、选择题:将正确答案序号填入括号.（每小题2分，共24分）
1、一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为:r?ati?bt2j（式中，a，b为常量）则该质点作：（
(A)、抛物线运动
(B)、匀速直线运动 (C)、变速直线运动
(D)、一般曲线运动 2、某物体的运动规律为
??kvt，式中的K为大于零的常数，当t =0时，初速为v。，
则速度v与时间t的函数关系是：(
3、一质量为m的质点，自半径为R的光滑半球形碗口由静止下滑，质点在碗内某处的速率为v，则质点对该处的压力大小为：（
4、质量为20g的子弹沿x轴正向以500m/s的速度射入木块后,与木块一起以100m/s的速度沿x轴正向前进,在此过程中,木块所受的冲量的大小为：（
（A）、8N?S
（B）、-80N?S
（C）、10N?S
（D、）-100N?S
5、体重身高相同的甲、乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端，他们由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的三倍，则到达顶点情况是：（
(A)、乙先到达
(B)、甲先到达
(C)、不能确定
( D)、同时到达 6、一个质量为m＝2kg的质点，在外力作用下，运动方程为：x?5?t2，y?5t?t2，则力在t = 0到t = 2秒内作的功为：（
（B）、12J
（C）、-8J
（D）、-12J 7、一质点作匀速率圆周运动时,以下说法正确的是：（
） （A）、它的动量不变,对圆心的角动量也不变。
（B）、它的动量不变,对圆心的角动量不断改变。 （C）、它的动量不断改变,对圆心的角动量也不断改变。 （D）、它的动量不断改变,对圆心的角动量不变。
8、几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上,如果这几个力的矢量和为零,则刚体：(
（A）、必然不会转动。
（B）、转速必然不变。
（C）、转速必然改变。
（D）、转速可能不变,
9、如图所示,一静止的均匀细棒,长L,质量为M,可绕通过棒的端点且垂直于棒的光滑固定轴O在水平面内转动.一质量为 m、速率为 v的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射穿棒的自由端.设穿过棒后子弹的速率为（A）、
v,则此时棒的角速度为：(
10、真空中面积为s,间距d的两平行板s&&d2，均匀带等量异号电荷+q和-q,忽略边缘效应,则两板间相互作用力的大小是：(
11、如果在静电场中所作的封闭曲面内没有净电荷，则：(
) (A)封闭面上的电通量一定为零，场强也一定为零。 (B)封闭面上的电通量不一定为零，场强则一定为零。 (C)封闭面上的电通量一定为零，场强不一定为零。 (D)封闭面上的电通量不一定为零；场强不一定为零。 12、下列各种说法中正确的是：(
(A)电场强度相等的地方电势一定相等。
(B)电势梯度较大的地方场强较大。 (C)带正电的导体电势一定为正。
(D)电势为零的导体一定不带电。
三.计算题:(每题10分，共40分)
1. 一质点在xoy平面内运动,其运动方程:x?Rcos?t;y?Rsin?t.其中R,?为正的常数。
（1）求质点的轨道方程；t时刻质点的位置矢量，速度，加速度。
（2）若用自然坐标系描述，求质点的路程方程；t时刻质点的切向加速度和法向加速度。
2、一半径为R，质量为m的匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间的摩擦系数为?，令圆盘最初以角速度?0绕通过中心且垂直于盘面的轴旋转，求： （1）圆盘绕该轴旋转过程中受到的摩擦力矩。
（2）经过多长时间圆盘绕该轴转动的角速度变为?0/2。
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