抽屉原理（二）
前面数例我们看到，抽屉原理的应用多么奇妙，其关键在于恰当地制造抽屉，分割图形，利用自然数分类的不同方法如按剩余类制造抽屉或按奇数乘以2的方幂制造抽屉，利用奇偶性等等，都是制造“抽屉”的方法。大家看到，抽屉原理的道理极其简单，但“于无声处听惊雷”，恰当地精心地应用它，不仅可以解决国内数学竞赛中的问题，而且可以解决国际中学生数学竞赛，例如IM0中的难题。本节我们就来看几个这样的例子。
　　例7．（第6届国际中学生数学奥林匹克试题）17名科学家中每两名科学家都和其他科学家通信，在他们通信时，只讨论三个题目，而且任意两名科学家通信时只讨论一个题目，证明：其中至少有三名科学家，他们相互通信时讨论的是同一个题目。
　　证明：视17个科学家为17个点，每两个点之间连一条线表示这两个科学家在讨论同一个问题，若讨论第一个问题则在相应两点连红线，若讨论第2个问题则在相应两点连条黄线，若讨论第3个问题则在相应两点连条蓝线。三名科学家研究同一个问题就转化为找到一个三边同颜色的三角形。
　　考虑科学家A，他要与另外的16位科学家每人通信讨论一个问题，相应于从A出发引出16条线段，将它们染成3种颜色，而16=3×5+1，因而必有6=5+1条同色，不妨记为AB1，AB2，AB3，AB4，AB5，AB6同红色，若Bi（i=1，2，…，6）之间有红线，则出现红色三角线，命题已成立；否则B1，B2，B3，B4，B5，B6之间的连线只染有黄蓝两色。
　　考虑从B1引出的5条线，B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B1B6，用两种颜色染色，因为5=2×2+1，故必有3=2+1条线段同色，假设为黄色，并记它们为B1B2，B1B3，B1B4。这时若B2，B3，B4之间有黄线，则有黄色三角形，命题也成立，若B2，B3，B4，之间无黄线，则△B2，B3，B4，必为蓝色三角形，命题仍然成立。
（1）本题源于一个古典问题--世界上任意6个人中必有3人互相认识，或互相不认识。（美国普特南数学竞赛题）。
（2）将互相认识用红色表示，将互相不认识用蓝色表示，（1）将化为一个染色问题，成为一个图论问题：空间六个点，任何三点不共线，四点不共面，每两点之间连线都涂上红色或蓝色。求证：存在三点，它们所成的三角形三边同色。
（3）问题（2）可以往两个方向推广：其一是颜色的种数，其二是点数。
　　本例便是方向一的进展，其证明已知上述。如果继续沿此方向前进，可有下题：
　　在66个科学家中，每个科学家都和其他科学家通信，在他们的通信中仅仅讨论四个题目，而任何两个科学家之间仅仅讨论一个题目。证明至少有三个科学家，他们互相之间讨论同一个题目。
　　（4）回顾上面证明过程，对于17点染3色问题可归结为6点染2色问题，又可归结为3点染一色问题。反过来，我们可以继续推广。从以上（3，1）→（6，2）→（17，3）的过程，易发现
　　6=（3-1）×2+2，17=（6-1）×3+2，66=（17-1）×4+2，
　　同理可得（66-1）×5+2=327，（327-1）×6+2=1958…记为r1=3，r2=6，r3=17，r4=66，r5=327，r6=1958，…
　　我们可以得到递推关系式：rn=n(rn-1-1)+2，n=2,3,4…这样就可以构造出327点染5色问题，1958点染6色问题，都必出现一个同色三角形。
　　（三）抽屉原理的其他形式。
　　在例7的证明过程中，我们实际上用到了抽屉原理的其他形式，我们把它作为定理2。
　　定理2：把m个元素分成n个集合（m＞n）
（1）当n能整除m时，至少有一个集合含有个元素；
（2）当n不能整除
m时，则至少有一个集合含有至少[]+1个元素，（[]表示不超过
的最大整数）
定理2有时候也可叙述成：把m×n+1个元素放进n个集合，则必有一个集合中至少放有m+1个元素。
　　例8．在边长为1的正方形内任意放入九个点，求证：存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过0.125（1963年北京市数学竞赛题）。
　　说明：把正方形分成四个区域，可以得出“至少有一个区域内有3个点”的结论，这就为确定三角形面积的取值范围打下了基础。本题构造“抽屉”的办法不是唯一的，还可以将正方形等分成边长为0.5的四个小正方形等。但是如将正方形等分成四个全等的小三角形却是不可行的（想一想为什么？）。所以适当地构造“抽屉”，正是应用抽屉原则解决问题的关键所在。
　　以下两个题目可以看作是本例的平凡拓广：
　　（1）在边长为2的正方形内，随意放置9个点，证明：必有3个点，以它们为顶点的三角形的面积不超过0.5。
　　（2）在边长为1的正方形内任意给出13个点。求证：必有4个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1/4。
例9．9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2∶3。证明：这9条直线中至少有3条通过同一个点。
　　证明：设正方形为ABCD，E、F分别是AB，CD的中点。设直线L把正方形ABCD分成两个梯形ABGH和CDHG，并且与EF相交于P（如图6）梯形ABGH的面积：梯形CDHG的面积=2∶3&&
EP是梯形ABGH的中位线，PF是梯形CDHG的中位线，由于　　梯形的面积=中位线×梯形的高，并且两个梯形的高相等（AB=CD），所以梯形ABGH的面积∶梯形CDHG的面积=EP∶PF，也就是EP∶PF=2∶3
　　这说明，直线L通过EF上一个固定的点P，这个点把EF分成长度为2∶3的两部分。这样的点在EF上还有一个，如图上的Q点（FQ∶QE=2∶3）。
　　同样地，如果直线L与AB、CD相交，并且把正方形分成两个梯形面积之比是2∶3，那么这条直线必定通过AD、BC中点连线上的两个类似的点（三等分点）。
　　这样，在正方形内就有4个固定的点，凡是把正方形面积分成两个面积为2∶3的梯形的直线，一定通过这4点中的某一个。我们把这4个点看作4个抽屉，9条直线看作9个苹果，由定理2可知，　　9=4×2+1，
　　所以，必有一个抽屉内至少放有3个苹果，也就是，必有三条直线要通过一个点。
　　说明：本例中的抽屉比较隐蔽，正方形两双对边中点连线上的4个三等分点的发现是关键，而它的发现源于对梯形面积公式S梯形=中位线×梯形的高的充分感悟。
　　例10．910瓶红、蓝墨水，排成130行，每行7瓶。证明：不论怎样排列，红、蓝墨水瓶的颜色次序必定出现下述两种情况之一种：
　　1．至少三行完全相同；
　　2．至少有两组（四行），每组的两行完全相同。（北京市高中一年级数学竞赛1990年复赛试题）
　　证明：910瓶红、蓝墨水，排成130行，每行7瓶。每行中的7个位置中的每个位置都有红、蓝两种可能，因而总计共有27=128种不同的行式（当且仅当两行墨水瓶颜色及次序完全相同时称为“行式”相同）
　　任取130行中的129行，依抽屉原理可知，必有两行（记为A，B）“行式”相同。
　　在除A、B外的其余128行中若有一行P与A（B）“行式”相同，则P，A，B满足“至少有三行完全相同”；在其余（除A，B外）的128行中若没有与A（B）行式相同者，则128行至多有127种不同的行式，依抽屉原则，必有两行（不妨记为C、D）行式相同，这样便找到了（A，B）、（C，D）两组（四行），每组两行完全相同。
　说明：本例构造抽屉时用到了乘法原理，2×2×2×2×2×2×2=27=128个“行式”是制造和应用抽屉原理的关键。
（四）抽屉原理的无限形式
　　定理3.如果把无穷多个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都至少存在一个集合，其中有无穷多个元素。
　　例11．在坐标平面上给出无限多个矩形，它们的顶点的直角坐标都具有如下形式：
　　　（0，0），（0，m ），（n，0），（n，m）
　　其中m，n是正整数，并且m＞3，n＜6，求证：在这些矩形中一定存在无限多个矩形，其中任意两个矩形必有一个被包含在另一个之中。
　　证明：由n＜6知，n=1,2,3,4,5，只有5种情形，由定理3知，将所给的无穷多个矩形按n的取值分成5类，当作5个抽屉，其中必有一个抽屉（一类）里包含有无穷多个矩形。不妨设这一类矩形的n的取值为n。对于这一类矩形中的任意两个矩形而言，由于n的取值相同，因此m取值较小的一个矩形必然被包含在m取值较大的一个矩形之中。
　　（五）抽屉原理的多次使用。
　　在例7的解答中，我们已经看到了多次使用抽屉原理的方法，下面再看两例。
例12．有苹果、梨、桔子若干个，任意分成9堆，求证一定可以找到两堆，其苹果数、梨数、桔子数分别求和都是偶数。
　证明：因为每一堆里的每一种水果数或为奇数或为偶数（两个抽屉），而9=2×4+1，故对于苹果，9堆中必有5堆的奇偶性相同；这5堆对于梨数来说，由于5=2×2+1，故必有3堆的奇偶性相同；这3堆对于桔子数也必有2堆的奇偶性相同。于是，就找到这样的两堆，它们的苹果数、梨数，桔子数的奇偶性都分别相同，从而其和数分别都是偶数。
　　说明：为了得出和是偶数，需要两加数的奇偶性相同。对3类水果逐一找用了3次抽屉原理，若将过程合并简化可将苹果数、梨数、桔子数作为3锥坐标（X，Y，Z），按其坐标的奇偶性构造8个抽屉：
　　（奇，奇，奇），（奇，奇，偶），（奇，偶，奇），（偶，奇，奇），
　　（奇，偶，偶），（偶，奇，偶），（偶，偶，奇），（偶，偶，偶），9堆当中必有2堆属于同一抽屉，其坐标的奇偶性完全相同。（参考例5说明）
　　例13．（1995年全国高中数学联赛试题）将平面上每个点以红蓝两色之一着色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色。
　　证明：如图7，作两个半径分别为1和1995的同心圆，在内圆上任取9个点，必有5点同色，记为A1，A2，A3，A4，A5。连半径0Ai交大圆于Bi（i=1,2,3,4,5），对B1，B2，B3，B4，B5，必有3点同色，记为Bi,Bj,Bk，则△BiBjBk与△AiAjAk为三项点同色的位似三角形，位似比等于1995，满足题设条件。
　　说明：这里连续用了两次抽屉原理（以染色作抽屉）。也可以一开始就取位似比为1995的9个位似点组（Ai,Bi）（i=1,2,3,…,9），对4个抽屉（红，红），（红，蓝），（蓝，红），（蓝，蓝）应用抽屉原理，得出必有3个位似点属于同一抽屉，从题目的证明过程中可以看出，位似比1995可以改换成另外一个任意的正整数、正实数。当然，不用同心圆也可证得，如在平面上取任三点都不共线的9点，由抽屉原理必有5点同色，设为A、B、C、D、E；以A为位似中心，以1995为位似比作ABCDE的位似形A'B'C'D'E'，则5点A,B',C',D',E'中必有3点同色，设为B'D'E'，则即为所求。
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转氨酶高一般代表肝脏出现损伤,但转氨酶不是特异指标,心脏,肾功能出现损伤也会升高。所以说单独看这张化网友1的回答
您好: 冠心病的病因至今尚未完全清楚但认为与高血压高脂血症高粘血症糖尿病内分泌功能低下及年龄大等因素网友2的回答
肋间神经痛网友1的回答
冠心病的诊断主要依靠冠脉造影,心电图也有价值。生化验血的作用不大。网友0的回答
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