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1矩阵的扰动问题及病态线性系统的算法研究
1矩阵的扰动问题及病态线性系统的算法研究
09-03-31 &匿名提问 发布
有扰动方程组解的误差分析
 柳怀
 　　系数矩阵的条件数刻划了线性方程组的性态,用稳定的方法求解一个良态的方程组,必得较精确的结果,反之结果可能很差。【作者单位】：岳阳广播电视大学 湖南【关键词】：条件数;病态矩阵;精度分析【分类号】：O151【DOI】：cnki:ISSN:.【正文快照】：　　1、引言2、方程组的病态分析 判断一个计算方法的好坏,可用方法是否稳定、解的精确度高度以及计算量、存贮量大小来衡量。然而,对于不同的问题,同一方法却可以产生完全不同的效果。 先看一个例子: 例1:方程组{:::犷蕊、二2 .0001............……、1){:::孺l、=2…,........…
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摘  要：求解最优潮流是一项基本而重要的工作，文中将混沌优化与线性内点法相结合，提出了一种新的混合优化算法，并应用该方法进行电力系统最优潮流的计算。混沌优化方法利用混沌运动特定的内在遍历性、随机性和规律性等特点跳出局部最优点，接近最优点；同时，利用预测－校正原－对偶内点法在最优点的邻域内局部寻优，提高了收敛速度和求解精度。通过对IEEE 14、30和57节点试验电力系统的数值计算，验证了算法的有效性。   关键词：最优潮流；混沌优化；逐次线性规划；内点法；预测—校正方法1  引言   建立在严格的数学基础之上的最优潮流模型首先是法国电力公司的J. Carpentier 于60年代初提出的。此后，人们在最优潮流（OPF）这一领域做了大量的研究工作，归纳起来主要有以下几种： ① 基于梯度的方法[1]，简化梯度法是第一个成功的OPF算法，建立在Newton法潮流计算基础之上，但该方法收敛性较差； ② 逐次线性规划方法[2]，这类算法将OPF问题转为线性规划子问题求解，不需形成Hesse矩阵，应用较为广泛； ③ 逐次二次规划方法[3]，将目标函数用二次模型，将约束线性化处理，求解二次规划子问题，该类算法求解精度较高； ④ 直接满足Kuhn-Tucker条件的非线性规划方法[4]，Newton法OPF算法被公认为是实用化方面的一大飞跃，但其不等式约束的处理较为困难。近年来，内点法逐渐引入到电力系统优化问题中来，其本质是Lagrangian函数、牛顿方法和对数障碍函数三者的结合，在上述提及的后三种类型的OPF算法中，内点法得到了广泛的应用[5]。   然而，OPF问题是一个大规模、非线性、不可分、离散化的优化问题，存在着许多局部极小点。随着电力工业的解除管制，电力系统经常要在高负荷下运行，同时，电力电子技术的发展，FACTS等元件也相继引入到电力系统中，这些情况更加剧了OPF问题的非凸性。沿着非单调的求解曲面，经典优化方法具有对初始点的高敏感性，极有可能收敛到局部最优点，或者发散。基于上述原因，文献[6]将模拟生物进化过程的进化算法引入到最优潮流问题中，提出了基于进化规划的OPF算法。由于它是一种随机搜索方法，因此求解时间较长，为此文献[6]开发了基于梯度信息的加速策略。文献[7]提出了基于进化规划和进化策略的最优无功调度。基于进化计算的OPF算法是求解OPF问题的又一新型算法，不同于传统的规划方法，本文的算法思想就是建立在这种类型算法的基础上。   混沌优化方法是一个崭新的优化技术，搜索过程按混沌运动自身的规律和特性进行，内在的随机性和遍历性使其搜索效率更高。文献[8]提出了基于混沌优化和BFGS方法的OPF算法，结果表明，通过全局寻优与局部寻优两种方法的结合，使得混合算法的性能有较大的提高。然而，由于BFGS方法没有考虑稀疏结构，而且它将OPF问题转化为无约束优化问题，其求解速度和收敛精度均有待进一步提高。   本文提出了一种新的基于混沌优化和线性内点法的OPF算法。该算法首先由混沌优化全局寻优，然后在最优点的邻域内连续应用预测－校正原－对偶内点法求解OPF问题的线性化子问题，以加快局部收敛。对具有复杂目标函数的3个IEEE试验系统的数值计算，验证了算法的有效性。2  OPF问题的数学模型   OPF问题数学上可描述为：在网络结构和参数给定的条件下，确定系统的控制变量，使得描述系统运行效益的某一给定的目标函数取得最优，同时满足系统的运行和安全约束，可以用简洁的数学形式描述如下：其中，u是控制变量（包括发电机有功、无功输出功率、发电机机端电压和变压器变比等）；x是状态变量（如节点电压幅值和相角）；f (x, u)是标量目标函数，常为发电费用或网损；g(x, u)是潮流方程等式约束；h(x, u)是不等式约束，分为变量不等式和函数不等式，常为系统的安全约束和元件的运行限值约束。3 基于混沌优化和线性内点法的OPF算法3.1  概述   该算法分为两个阶段，首先利用混沌优化方法的大范围全局寻优能力，使最优潮流解到达最优点的邻域；然后，在最优点的领域内将OPF问题逐次线性化，并通过预测－校正原－对偶内点法求解线性化子问题，从而获得或更加接近最优解，提高解的精度。   由于采用了全局寻优和局部寻优相结合的方式，在获得精确解上混沌优化方法并不需要花费较多的时间，只需将解带到最优解的邻域；而在最优解的邻域内将OPF问题逐次线性化，线性化的精度较高，由逐次线性规划方法求解，只需很少的迭代步数即可获得最优解或更加接近最优解，提高解的精度。3.2  混沌优化阶段   该阶段利用混沌优化方法的大范围全局寻优能力，使最优潮流解到达最优点的邻域。在实施过程中，应注意以下几个问题：   （1）优化变量的选取。对于OPF问题的数学模型，其解向量中的元素包括控制变量和状态变量。由于本文考虑以系统购电成本最小为目标函数，所以控制变量包括除了松弛节点以外的所有发电机的有功功率PGi和电压幅值VGi，而状态变量包括所有未知的节点电压幅值Vi和相角qi。在该阶段，将控制变量取为优化变量。待优化的控制变量可以通过混沌变量的“载波”映射得到，并进而得到优化。   （2）OPF问题形式的转换。在该阶段，采用l1不可微精确罚函数，将原问题形式(1)转化为混沌优化所需的形式(2)：这里，σ是不等式约束的惩罚参数，m1是不等式约束的个数，n1是控制变量的个数。由于优化变量的取值通过“载波”自动适应其定义域范围，所以不等式约束中不包括控制变量的限值约束，而包括状态变量的限值约束（变量不等式约束）和松弛节点的有功功率Pslack、发电机节点的无功功率QGi和输电线路有功、无功潮流限值约束（函数不等式约束）。n2是状态变量的个数。   （3）潮流计算。式(2)未考虑潮流等式约束g(x, u)=0，这可通过潮流计算来处理。潮流方程求解，一方面保证了潮流等式约束g(x, u)=0，另一方面可获得与当前控制变量相对应的状态变量，进而可求出用于混沌优化所需的评价函数P(x, u)。3.3  逐次线性优化阶段   在该阶段，将混沌优化所获得的最优潮流解xk（此处的xk不同于上述的状态变量x，它包括控制变量和状态变量）作为逐次线性规划方法的初始迭代点，然后在点xk将OPF问题式(1)线性化，形成线性规划（LP）子问题：若求得的LP子问题的解为△xk，则xk+1=xk+△xk。然后在点xk+1处，重新执行潮流计算，获得严格满足等式约束的迭代点，再将OPF问题式(1)线性化，重复这一过程，直至4 OPF算法的流程4.1 混沌优化方法     非线性科学是国内外科学研究的热点，而混沌动力学是非线性科学中的一个重要组成部分。混沌是确定性系统中由于内禀随机性而产生的一种外在复杂、貌似无规的运动。混沌并不是无序和紊乱，更像是没有周期性的秩序[9, 10]。在理想模型中，它可能包含着无穷的内在层次，层次之 存间 在着“自相似性”。     混沌运动具有遍历性、随机性、规律性等特点，能在一定范围内按其自身的规律不重复地遍历所有状态。混沌优化方法[11]就是利用混沌变量的这种特性，通过载波的方法将混沌运动的遍历范围“放大”到优化变量的取值范围，使优化搜索更加有效。  选择Logistic映射[9, 10]来产生混沌变量 其中，μ是控制参数，0≤γ(0)γ≤1。当μ=4时，系统(4)完全处于混沌状态。利用混沌运动对初值敏感的特点，赋给式(4)若干个微小差异的初值即可得到若干个混沌变量。   考虑如下的优化问题：其中，x是n维向量，ai和bi是向量x的第i个分量xi的下限和上限。混沌优化算法如下：   Step1 初始化γi(0),0≤γi(0)≤1(i=1,...n) ,产生n个不同轨迹的混沌变量。给定两个正整数N1和N2。   Step2  将混沌变量γi(0)映射到优化变量xi的取值区间：其中，x*和P*分别为当前最优解和最优函数值；Step5中的ai为调节常数，以使 aiγi(k)为遍历区间很小的混沌变量。混沌变量初值的选取，对于不同的优化变量，只需在0~1范围内随机选取，彼此相异，但不能取为0、0.25、0.5、0.75、1，因为这些点是Logistic映射的不动点[9]。4.2  预测－校正原－对偶内点法   自1984年Karmarkar提出一种求解线性规划的具有多项式时间复杂性的算法以来，内点法成为求解大规模线性优化问题的有效工具。其中，预测－校正原－对偶内点法[12]应用较为广泛。   可以将线性化的OPF子问题(3)转化为如下的LP问题形式为了消除非负性约束，引入对数障碍函数，并对等式约束引入Lagrangian乘子向量y∈Rm、w∈ Rn，得到(6)的Lagrangian函数 由Karush-Kuhn-Tucher最优性条件，得到元素的对角矩阵；e是所有元素均为1的n维向量；m 是障碍参数，随着迭代的进行逐渐减小到0。然后，求得在保持原变量和对偶变量非负性要求下的最大步长aP和aD，修正原变量和对偶变量其中，a0为步长削减因子。修正障碍参数m，重复迭代过程。   以上为原－对偶内点法的求解过程，在此基础上，Mehrotra开发了目前应用较为广泛的预测－校正技术。可将修正方向△x,△y,△s,△z,△w,（记为D）分为两部分   △=△a+△c      (12)   其中，△a为仿射－尺度方向（预测项），用于削减原－对偶不可行性和对偶间隙；△c为中心方向（校正项），用于保持当前迭代点远离可行域的边界。应用ga确定障碍参数μ利用求得的m值，通过求解下式获得中心方向△c 最后，利用式(12)求得最终修正方向△。   预测－校正原－对偶内点法的每一步迭代，需要求解两次右端向量不同的同样规模、同样稀疏性的线性系统方程，分别为μ=0的式(10)和式(14)，但只需要一次因子化。预测－校正技术的优势在于很好的估计了障碍参数；在近似表达中心轨迹和求取修正方向时，包含了高阶信息。5  算例分析5.1  目标函数的选取   由于一种全局优化算法需要复杂目标函数来给予验证，因此，本文采用的发电机组的报价函数类似于考虑系统中部分发电机组的阀点影响[6]，除二次函数外，有的发电机组还采用二次函数与正弦函数混合的报价函数形式，由正弦函数分量近似表达发电机组的阀点影响。两种报价函数形式如下由式(15)~(17)可知，由于含有正弦分量，目标函数变得非常复杂，存在众多的局部极小点，由经典优化算法求解，只能求得局部最优解。5.2  数值结果说明与分析   基于混沌优化和线性内点法的OPF算法由C++语言实现，在Visual C++ 6.0环境下编译。采用该算法分别对IEEE 14，30和57节点系统进行了计算，系统的基本参数见表1，运行于Pentium III 800 MHz PC机。               　分别采用混沌优化算法和逐次线性规划方法求解OPF问题，以获得全局最优解和局部最优解。相关参数设置如下：在混沌优化方法中，对于IEEE14和30节点系统，N1和N2均取为100，对于IEEE 57节点系统，N1取500,N2取200，“二次载波”中的调节常数ai对于混沌优化非常重要，经验表明ai取为控制变量上限与下限之差的0.01是非常适宜的；惩罚参数s 取为1000；对于逐次线性规划方法，收敛判据为ε≤0.001；所有节点电压幅值的下限和上限值均取为0.95和1.10，潮流收敛的允许误差取为0.001；算例系统采用的货币单位为美元。由于混沌优化算法的内禀随机性，为客观对待计算结果，对每个算例系统均独立进行100次优化计算。   表2给出了两种优化算法的计算结果，对于混沌优化方法分别列出了100次优化计算结果的最小值、最大值和平均值。从中可以看出，对于IEEE 14节点系统，两种优化方法均得到了全局最优解；但对于IEEE 30和57节点系统，逐次线性规划方法只得到了局部最优解，而混沌优化方法却找到了全局最优解，两系统购电成本费用相差较多，从局部最优到全局最优，成本费用分别增加37.29%和7.69％。因此，经典优化方法是否能得到全局最优解，取决于初始迭代点是否在最优点的邻域，而混沌优化方法的全局寻优对初始点并无要求，但其为获得较为精确的最优解，需要较多的迭代次数和求解时间。表3给出了混沌优化方法平均的迭代次数和计算时间。               表4给出了基于这两种优化方法的OPF算法的计算结果。在100次的计算结果中，该OPF算法得到了较为精确的最优解，同混沌优化方法的结果相比得到了明显的改进，证明了该算法的有效性。在获得的最终结果中，算例系统的最小与最大费用值相差甚小，这说明算法的数值稳定性较好，每次运行结果都非常接近最优解，其原因在于混沌全局寻优之后引入逐次线性化的局部寻优。                 表5分别列出了该OPF算法中混沌优化方法和逐次线性规划法各自的平均迭代次数和算法计算时间的平均值，可以看出，混沌优化方法由于不需要得到精确的最优解，因此迭代次数（评价函数P(x,u)的计算次数）大为减少；而逐次线性规划法由于初始迭代点在最优点的邻域，所以也只需较少的迭代次数即可收敛，获得最优解。由于全局寻优和局部寻优两个方法的结合，使得总的计算时间较少，同混沌优化方法相比（表3），IEEE 14、30和57三个算例系统的计算时间分别下降了17.86％、19.30％和43.90％。                                 6  结语本文提出了一种新的基于混沌优化和线性内点法的OPF算法。由于OPF问题是一个复杂的高维数的非线性优化问题，经典优化方法很容易陷入局部最优，通过混沌优化方法全局寻优，将OPF解带入全局最优点的邻域，然后通过逐次线性局部寻优来提高解的精度。具有复杂目标函数的算例表明，该算法通过将混沌优化和逐次线性规划法的优势互补，不仅可以获得全局最优解，而且极大地提高了算法的数值稳定性和收敛速度，使其具有广泛的应用前景。
请登录后再发表评论!Hess 矩阵是什么啊？_百度知道
Hess 矩阵是什么啊？
最优化方面的好像是
求导数的导数，不知道正确否
是的 Hesse 矩阵相当于函数的“二阶导数”f(x)：一个n元函数那么f(x)的梯度g(x)是一个n维向量，然后再对g(x)每一个分量求梯度得到Hesse矩阵H(x)，它是一个n*n的矩阵。
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function l = rqrtz(A,M)%QR算法求矩阵全部特征值%已知矩阵:A%迭代步数:M%求得的矩阵特征值:lA = hess(A);for i=1:MN = size(A);n = N(1,1);u = A(n,n);[q,r]=qr(A-u*eye(n,n));A = r*q+u*eye(n,n);l = diag(A);end------------------------------------A=[0 5 0 0 0 0;1 0 4 0 0 0;0 1 0 3 0 0;0 0 1 0 2 0;0 0 0 1 0 1;0 0 0 0 1 0]A =
0&& rqrtz(A,50)ans =
0.6167&& eig(A)ans =
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&&&&& 梯度下降法又叫最速下降法，英文名为steepest descend method.估计搞研究的人应该经常听见这个算法吧，用来求解表达式最大或者最小值的，属于无约束优化问题。
&&&&& 首先我们应该清楚，一个多元函数的梯度方向是该函数值增大最陡的方向。具体化到1元函数中时，梯度方向首先是沿着曲线的切线的，然后取切线向上增长的方向为梯度方向，2元或者多元函数中，梯度向量为函数值f对每个变量的导数，该向量的方向就是梯度的方向，当然向量的大小也就是梯度的大小。
&&&&& 现在假设我们要求函数的最值，采用梯度下降法，如图所示：
& &&& 梯度下降法的基本思想还是挺简单的，现假设我们要求函数f的最小值，首先得选取一个初始点后，然后下一个点的产生时是沿着梯度直线方向，这里是沿着梯度的反方向(因为求的是最小值，如果是求最大值的话则沿梯度的方向即可)。梯度下降法的迭代公式为：
&&&&& 其中表示的是梯度的负方向， 表示的是在梯度方向上的搜索步长。梯度方向我们可以通过对函数求导得到，步长的确定比较麻烦，太大了的话可能会发散，太小收敛速度又太慢。一般确定步长的方法是由线性搜索算法来确定，即把下一个点的坐标ak+1看做是的函数，然后求满足f(ak+1)的最小值的 即可。
&&&&& 因为一般情况下，梯度向量为0的话说明是到了一个极值点，此时梯度的幅值也为0.而采用梯度下降算法进行最优化求解时，算法迭代的终止条件是梯度向量的幅值接近0即可，可以设置个非常小的常数阈值。
&&&&& 下面是网上下的一个求2元函数最小值的matlab函数实现代码，在上面添加了少许注释。代码中关于步长的计算公式还是没有弄很清楚，用到了hessian矩阵，有点像牛顿法，先不管了，以后有时候慢慢研究。
1 function y=fs2steep(f,e,a,b) %返回的是点坐标的2个分量
2 % fs2steep函数 最速下降法
3 % x=fs2steep(f,e,a,b)为输入函数 f为函数 e为允许误差 (a,b)为初始点;
4 % fsx TJPU 2008.6.15
5 x1=a;x2=b;
6 Q=fs2hesse(f,x1,x2);
7 x0=[x1 x2]';
8 fx1=diff(f,'x1'); %对x1求偏导数
9 fx2=diff(f,'x2'); %对x2求偏导数
10 g=[fx1 fx2]'; %梯度
11 g1=subs(g); %把符号变量转为数值
12 d=-g1;%d为搜索方向
13 while (abs(norm(g1))&=e)
%norm(g1)为g1的2范数，即sqrt(x1^2+x2^2)，因为梯度其各分量=0，所以其梯度幅值=0
t=(-d)'*d/((-d)'*Q*d);%求搜索步长，方法是？
x0=x0-t*g1; %搜索到的点
a=[1 0]*x0;
b=[0 1]*x0;
Q=fs2hesse(f,x1,x2);
x0=[x1 x2]';
fx1=diff(f,'x1'); %对x1求偏导数
fx2=diff(f,'x2'); %对x2求偏导数
g=[fx1 fx2]'; %梯度
g1=subs(g);
31 function x=fs2hesse(f,a,b)
32 % fs2hesse函数 求函数的hesse矩阵；
33 % 本程序仅是简单的求二次函数的hesse矩阵！；
34 % x=fs2hesse(f)为输入函数 f为二次函数 x1,x2为自变量；
35 % fsx TJPU 2008.6.15
36 x1=a;x2=b;
37 fx=diff(f,'x1');
%求f对x1偏导数
38 fy=diff(f,'x2');
%求f对x2偏导数
39 fxx=diff(fx,'x1');
%求二阶偏导数 对x1再对x1
40 fxy=diff(fx,'x2');
%求二阶偏导数 对x1再对x2
41 fyx=diff(fy,'x1');
%求二阶偏导数 对x2再对x1
42 fyy=diff(fy,'x2');
%求二阶偏导数 对x2再对x2
43 fxx=subs(fxx);
%将符号变量转化为数值
44 fxy=subs(fxy);
45 fyx=subs(fyx);
46 fyy=subs(fyy);
47 x=[fxx,fyx,fyy]; %求hesse矩阵
&&&&& 在matlab命令行窗口验证函数，结果如下：
&&&&& 最优化应用很广，有很多东西要学，且自己对matlab编程还不熟悉，以后慢慢积累吧！
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